数学建模竞赛论文储油罐的变位识别与罐容表标定

1、储油罐的变位识别与罐容表标定摘 要：通常加油站的地下储油罐，在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化，从而导致罐容表所测得的储油量会存在一定误差。本问题主要针对此现象建立数学模型，分别运用解析和拟合的方法对模型进行求解。 问题一回答：此问题中首先在储油罐不发生变位的情况下，建立三维坐标系（图a），确立模型，运用解析法得到罐容表与储油量的关系。将得到的数据与文中所给数据进行比较分析，对模型的可靠性、可行性进行评价。在储油罐不变位的模型中，加入纵向倾斜的影响，运用同样的方法得到表达式。运用matlab拟合求解得体积与高度的对应变化分布图，见附录（图d）=；问

2、题二回答：建立同问题一的坐标系，忽略储油量在浮标零点以下和高度大于等于的部分实际取值，在第一问的模型中加入横向偏转，并且把储油罐两端的冠球体进行等体积延伸，使模型成为标准的圆柱体，利用题一的模型进行求解。但在误差分析中需对其进行误差分析。由于本文模型在求解的过程中，数字运算很复杂，很难作出准确的解答，在解答过程中，采用了近似等价的方法。关键词：储油罐；罐容表；非线性拟合；解析算法一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时

3、计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数

4、学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。（以上所说图1，图2，图3，图4均见附录）二、问题分析建立如图a所示的三维坐标系，在第一问中，首先不考虑储油罐的变位，利用理想模型，可

5、将其转化成求椭圆柱体体积,图见附录(图a)，得到与的关系表达式，再进行可行性分析。其次，在模型中加入纵向倾斜变量，进一步得到与的关系式。在求解与的关系式过程中，可设储油罐中油面线的方程为，并且此方程过定点（2.05，），故该方程式已知。将此方程带入模型一的方程中二次积分即可得到与的关系式。问题二中，在同一坐标系中，此时储油罐的纵向倾斜和横向偏转同时发生。首先，不考虑储油罐的纵向倾斜，只考虑它的横向偏转，建立读数与真实值之间的关系。其次，利用第一问中的纵向偏转模型，将带入式中的，即可得到在储油罐发生变位是与的关系。 1问题一的关键1决定预案的因素：理想化模型的建立，储油罐的纵向偏转角度，储油罐的

6、形状，储油量体积的计算； 2.分析预案的目标：建立出油量体积与的关系式；3.预案的给出方法 ：不考虑偏转及灌容表体积等客观因素外，忽略在部分忽略了在部分点处不能读取出实际准确的值（如零点与），部分点取值不准确，存在的误差，转化成一个理想的求解体积及两次积分问题。运用解析法和非线性拟合法将其转化为求解体积的问题，建立一个三维坐标系，讨论的取值情况，并进行分段，求出两端的被截的曲面面积，可先运用函数关系，求在对其沿着储油罐体长度方向取积分，即可得其储油量。2问题二 基于储油罐横向偏转对读数的影响，假设该储油罐向右偏转，建立同问题一的坐标系，并且将对储油罐两端的冠球体做等体积延伸,图形抽象为见附录（

7、图b）。运用问题一的解题方法，分别讨论的取值情况 ，将其分两部分分别进行讨论求解，运用解析法和matlab对所求解得罐体两端的曲面所截得的曲线取双重积分，即可算得其体积，便可得到实际储油量与之间的关系式,罐体两端的曲面可抽象为见附录（图c）。 为方便求解模型，首先要清楚几个概念：截面所截得的曲面面积，是指对应罐容表所表示高度为时，所对应的截得的两端罐球体的曲面面积，是指经过拟合后，灌油表读出的高度为时的储油罐实际所存储的油量；储油罐倾斜线是指储油罐倾斜时，在轴和轴平面上，以偏转角为斜率的直线。三、模型假设1.假设储油罐罐体皆均匀无损耗，不考虑储油罐不能工作的情况；2.忽略罐容表、进油口、出油口

8、等其它器件的体积对储油罐内储油量的影响。 3.第一问、第二问的模型中均不考虑由于倾斜而导致不能测量的部分；4.假设问题二中储油罐向右偏转；5.题目所给数据均真实有效。四、符号说明分别为椭圆的长半轴和短半轴罐容表上读出的油位高的刻度；分别为油罐纵向和横向偏转角；第二问圆柱体两端截面圆的半径；实际的油位高度；倾斜直线的斜率；罐球体对应油位高度为的截面的面积；实际油罐所存储的油量；储油罐两端管球体的体积；等价圆柱体的体积；将冠球体等价为圆柱体，等价圆柱体的高度。五、模型建立与求解假设罐容表的体积足够小，可以忽略不计，椭球体的长半轴、短半轴的长分别为a、b.建立坐标系如图a，若储油罐上刻度计的刻度为h

9、, 而此时储油罐内的储油量为 , 那么问题归结为求出函数，其中满足. .而储油罐是由椭圆柱体和两个椭半球体焊接而成的, 故有换言之, 要求油量关于刻度计的刻度函数 v = v (h) ，的反函数.方法一：解析法求解问题一模型：积分方法建模（只把储油罐考虑成一个椭圆柱体）记v(h) = v椭圆柱(h), 其中v椭圆柱(h)，表示当刻度为h 时储油罐内的储油量.如图1 所示,椭圆柱体储油部分的高度为h 时, 横截面的面积为s (h) , 建立图a坐标系，又椭圆方程为，其中，那么，可设储油罐的倾斜线为： （）又过定点,故把z点代入直线方程中有 将代入中得 又由椭圆方程可解得 ， 故1、当时，则有 将

10、代入并用matlab求解积分得 (a的具体值见附录) 2、当时，则有 将代入并用matlab求解积分得 (b的具体值见附录)问题二模型：考虑到储油罐位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变，在此题可假设向右偏转。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，半径为r，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。要求罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b之间的一般关系。根据等体积延伸成圆柱体计算其储油量，首先建立同问题一中的坐标系,设灌容计测得的高度为,实际高度应为，两端圆截面半径。设储油

11、罐两端圆截面的方程为，且储油罐的倾斜线为两端冠球体的体积，其中，。等价圆柱体的体积，经计算。过定点，则可得，且 (a)又由圆方程可解得 故 1、当时，则有将(a)式代入并用替换用matlab求解积分得 h (h具体的值见附录)则实际储油量 2、当时，将(a)式代入并用替换用matlab求解积分得 （m的具体值见附录） 则实际储油量 方法二：利用matlab进行拟合法求解第一问：用matlab求得结果为=，拟合出的结果分布图形见附录（图d），具体程序及其运行结果见附录（程序一）第二问：解法同问题一，只需把一中的的坐标分别改为偏转后的累加进油量高度和罐容表所测得的高度即可。拟合后的结果分布图见附录

12、（图e），具体程序见附录（程序二）六、误差分析1、采用等体积延伸拟合算体积时，由于并不均匀，存在误差；2、用解析法解此模型时，认为每个点均是连续的，而实际上在两端有部分点并不满足此模型；3、在零点和两处，在罐容表并不能准确的读出油面的高度值，并且不满足此模型求解，在计算时，忽略不计，此处求解存在误差4、用解析法求解过程中的误差。七、模型推广一、对问题二的进一步的讨论在储油罐向该题假设的另一方向偏转，同样适用于此模型求解，可用相同的解析法，求得储油量与高度之间的函数关系，同时也可以计算出储油量在浮标零点以下的储油量以及储油高度大于等于3的部分。由于时间问题不再这给出详尽的解析。八、模型的应用本模

13、型可用于求解不规则图形的体积问题，在工程计算中用matlab进行双重积分，可用于估算矿山的矿石含量，湖泊的储水量等问题。求解中用到的最小二乘法拟合，在现实中具有广泛的应有，能够找出连续变化的散点之间变化关系。九、模型评价模型的优点：1、使本来用解析法无法计算的不规则体积，经过等体积拟合后，转化成规则的常见的体积算法，方便求解；2、第一问模型和第二问模型属于同一类算法，都是进行积分计算，减少了多次计算的麻烦；3、无复杂的变量，都是题中给出的或可以直接表示的量，减少了计算难度；4、只用到非线性拟合和matlab求解算法，简单明了，直接可以从图中很明显观察出随的变化特点；模型的缺点：1、采用等体积拟

14、合时，忽略了屋顶义点的误差；2、再用解析法求解时，变量过多，容易混淆，而且计算量大，容易出错；3、忽略了在部分点处实际上并不能在罐容表上读出准确值，在零点和两处有一定的实际储油量，但在文中计算中并没有给出，存在误差，未把此情况考虑进去。十、参考文献1叶其孝 姜启元，数学建模，北京：机械工业出版社,2005.2 姜启元，谢金星，叶俊数学模型，北京：高等教育出版社，2003. 3龚纯，王正林，精通matlab最优化计算，北京：电子工业出版社，2009.4冯杰，黄力伟等，数学建模原理与案例，北京：科学出版社，2007.十一、附 录 等效体积拟合后罐柱体 图b图a罐球体的切面 图c程序一：a1=501

15、0015020025030035040045050055060065070075080085090095010001050110011501200125013001350140014501500155016001650170017501800185019001950200020502053.832103.832105.062155.062205.062255.062305.062355.062404.982406.832456.832506.832556.832606.832656.832706.832756.832806.832856.832906.832906.912956.913006.

16、913056.913106.913156.913206.913256.913306.913356.913406.913456.913506.913556.913606.913656.913706.91;a0=262;a=a0+a1;b=159.02176.14192.59208.50223.93238.97253.66268.04282.16296.03309.69323.15336.44349.57362.56375.42388.16400.79413.32425.76438.12450.40462.62474.78486.89498.95510.97522.95534.90546.8255

17、8.72570.61582.48594.35606.22618.09629.96641.85653.75665.67677.63678.54690.53690.82702.85714.91727.03739.19751.42763.70764.16776.53788.99801.54814.19826.95839.83852.84866.00879.32892.82892.84906.53920.45934.61949.05963.80978.91994.431010.431026.991044.251062.371081.591102.331125.321152.361193.49;c=po

18、lyfit(b,a,12)x1=0:0.1:1200;y=c(1)*x1.12+c(2)*x1.11+c(3)*x1.10+c(4)*x1.9+c(5)*x1.8+c(6)*x1.7+c(7)*x1.6+c(8)*x1.5+c(9)*x1.4+c(10)*x1.3+c(11)*x1.2+c(12)*x1+c(13);plot(b,a,r*,x1,y,b-)grid on运行结果为c =columns 1 through 9 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000columns 10 through

19、13 0.0002 -0.0238 3.5994 -106.0129（图d）程序二：a1=747.86797.86847.86897.86947.86997.861047.861097.791147.791197.731247.731297.731347.731397.731447.731497.731547.731597.731647.731697.731747.731797.731847.731897.731947.731997.732047.732097.732147.732197.732247.732297.732347.732397.732447.732497.732547.7325

20、97.732647.732697.732747.732797.732847.732897.732947.732997.733047.733097.733147.733197.733247.733297.733299.74;a0=215;a=a0+a1;b=411.29423.45438.33450.54463.90477.74489.37502.56514.69526.84538.88551.96564.40576.56588.74599.56611.62623.44635.58646.28658.59670.22680.63693.03704.67716.45727.66739.39750.

21、90761.55773.43785.39796.04808.27820.80832.80844.47856.29867.60880.06892.92904.34917.34929.90941.42954.60968.09980.14992.411006.341019.071034.241035.36;a0=215;a=a1+a0;b=411.29423.45438.33450.54463.90477.74489.37502.56514.69526.84538.88551.96564.40576.56588.74599.56611.62623.44635.58646.28658.59670.22

22、680.63693.03704.67716.45727.66739.39750.90761.55773.43785.39796.04808.27820.80832.80844.47856.29867.60880.06892.92904.34917.34929.90941.42954.60968.09980.14992.411006.341019.071034.241035.36;c=polyfit(b,a,12);x1=400:0.1:1100;y=c(1)*x1.12+c(2)*x1.11+c(3)*x1.10+c(4)*x1.9+c(5)*x1.8+c(6)*x1.7+c(7)*x1.6+

23、c(8)*x1.5+c(9)*x1.4+c(10)*x1.3+c(11)*x1.2+c(12)*x1+c(13);plot(b,a,r+,x1,y,b)图ea的值：a=b的值b= h的值h=5165152565082871/2596148429267413814265248164610048000*z*(1431082560970020402513484227992396938271-6669700255145540485358774400660250000*z2+199349758958264667538819055615157767000*z-18609423333935183539553

24、6482992128000000*z*h+2781072547533347254449405737956278272000*h-1298074214633706907132624082305024000000*h2)(1/2)-1/2596148429267413814265248164610048000000*(1431082560970020402513484227992396938271-6669700255145540485358774400660250000*z2+199349758958264667538819055615157767000*z-186094233339351835

25、395536482992128000000*z*h+2781072547533347254449405737956278272000*h-1298074214633706907132624082305024000000*h2)(1/2)*(2582576282541435500*z-38595134692805777777+36028797018963968000*h)2)(1/2)-38595134692805777777/1298074214633706907132624082305024000000*(1431082560970020402513484227992396938271-66

26、69700255145540485358774400660250000*z2+199349758958264667538819055615157767000*z-186094233339351835395536482992128000000*z*h+2781072547533347254449405737956278272000*h-1298074214633706907132624082305024000000*h2)(1/2)+1/36028797018963968000*h*(1431082560970020402513484227992396938271-666970025514554

27、0485358774400660250000*z2+199349758958264667538819055615157767000*z-186094233339351835395536482992128000000*z*h+2781072547533347254449405737956278272000*h-1298074214633706907132624082305024000000*h2)(1/2)-9/8*asin(1/54043195528445952000*(1431082560970020402513484227992396938271-666970025514554048535

28、8774400660250000*z2+199349758958264667538819055615157767000*z-186094233339351835395536482992128000000*z*h+2781072547533347254449405737956278272000*h-1298074214633706907132624082305024000000*h2)(1/2)m的值：m=9/4*pi-9/4*asin(89/3242591731706757120000*(1431082560970020402513484227992396938271-666970025514

29、5540485358774400660250000*z2+199349758958264667538819055615157767000*z-186094233339351835395536482992128000000*z*h+2781072547533347254449405737956278272000*h-1298074214633706907132624082305024000000*h2)(1/2)-3434966987659714222153/38942226439011207213978722469150720000000*(14310825609700204025134842

30、27992396938271-6669700255145540485358774400660250000*z2+199349758958264667538819055615157767000*z-186094233339351835395536482992128000000*z*h+2781072547533347254449405737956278272000*h-1298074214633706907132624082305024000000*h2)(1/2)-89/4673067172681344865677446696298086400000000*(1431082560970020402513484227992396938271-6669700255145540485358774400660250000*z2+199349758958264667538819055615157767000*z-186094233339351835395536482992128000000