眼科病床利用的合理安排数学建模优秀论文

1、2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从a/b/c/d中选择一项填写）： b 我们的参赛报名号为（如果赛区设置

2、报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 北京石油化工学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 谢文凤 2. 陈红革 3. 王袁俊伟 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 指导小组 日期： 2009 年 9 月 14 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：眼科病床利用的合理安排摘要医院病床合理安排问题是医院建设的一个非常重要的管理指标，只有

3、合理安排医院床位，使医院床位得到充分利用，才能增大医院的收益。怎样有效利用病床资源，发挥其作用以合理利用医疗资源是本文主要研究的内容。本文针对某一眼科医院实际病床合理安排进行分析，给出一个基于病床周转率、实际床位平均使用率以及病人满意度的评价指标体系，并根据住院病人数及等待住院病人数的统计情况，对门诊病人能住院的等待时间给出了估计区间。针对问题（1），通过建立病床周转率、平均实际床位使用率和病人满意度三个评价指标，得出当前医院的病床周转率为，平均实际床位使用率为，病人满意度：单眼白内障，双眼白内障，青光眼，视网膜疾病。针对问题（2），根据每天医院来门诊的人数和病种，建立病床利用率最大模型，使医

4、院病床资源得到充分利用。同时利用问题（1）中的评价指标，通过excel计算，得出床位周转率为，平均实际床位使用率为。与问题（1）中模型进行比较，结果显示该模型的床周转率提高了,平均实际床位使用率病床利用率提高了。对于问题（3），根据住院病人及等待住院病人的统计情况，利用（2）中的模型估计出了病人门诊时需等待入住时间区间。计算结果显示：病人在8月6日前门诊时，等待入院时间区间为0，2天，而在8月6日之后门诊，等待时间区间大致在1，4天。对于问题（4），若周末不安排手术时，根据病床的利用率最大模型，计算出床位周转率、实际床位平均使用率都有相应的提高，而病人住院后等待手术的时间相应变长。若从医院利益

5、方面考虑，不调整医院的手术时间安排；从病人角度考虑，应该调整医院的手术时间安排，即周末也应该安排手术时间。对于问题（5），建立了病床比例分配模型，使所有病人在系统内的平均逗留时间最短，病床比例分配为白内障疾病：青光眼疾病：视网膜疾病：外伤病=33：10：31：5。关键词病床配置；评价指标；利用率；周转率；excel一 问题的重述医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。我们是通过研究某一眼科医院的病人安排情况模型来进行讨论分析。该医院眼科门诊每天开放，住院部共有

6、病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少

7、，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照fcfs（first come, first serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长。为提高对医院资源的有效利用，需解决以下问题：问题一：分析确定一个合理的评价指标体系，用以评价当前该院病床安排模型的优劣。问题二：就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对所建立模型利用问题一中的指标

8、体系作出评价。问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。试根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。 问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，重新回答问题二，考虑医院的手术时间安排是否应作出相应调整。问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。二 基本假设假设1：来门诊的病人如果需要住院，不会因等待时间长而去别的医院就诊。假设2：安排病人住院和手术时，外伤病人优先，其它病种病人优先级

9、相同。假设3：双眼白内障病人在周一做一只眼的手术，在同周的周三做第二只眼的手术。假设4：该医院医生数目比较多，不会出现因医生不够导致病人在医院逗留时间。假设5：除外伤病人以外，其他病种病人不考虑有急诊。三 模型建立与求解1、问题一的分析和求解1.1问题一的分析病床使用情况是反映医院工作质量和管理效益的主要内容之一，病床利用效率与医院业务收入有着非常直接的联系，合理安排病床是每个医院所关心的问题。本题是选择床位周转率、平均实际床位使用率和病人满意度函数三个参数指标作为评价指标体系，用以评价当前该院病床安排模型的优劣。1.2符号说明：每天的病床使用数目：两个月内每天可以使用的床位之和：平均每天床位

10、的利用率，即每天用的床位数比实有床位数a：医院的总床位数：门诊后病人等待住院的天数：等待住院天病人的人数：病人住院后等待手术的天数：等待手术天病人的人数：床位周转率：平均实际床位使用率：病人满意度1.3问题一的求解（1）代表床位周转率1：即平均每张床位一定时期内（这里是两个月）的工作天数所占比例，反映床位的使用情况，这里通过计算医院每天使用病床数之和，除以病床在这两个月总共可以使用的数目来求平均病床工作日。在计算附录1中每天使用的病床数都以9月11日作为被减数，可得出床位周转率计算公式为： 该医院7月13日所有床位全是空的，8月8日后，病床数才开始全部用上。图1表示的是从7月13日到8月8日每

11、天剩余的床位数：图1 7月13日-8月8日每天剩余的床位数利用公式可计算出该院床位周转率（79为医院的总床位数，61为两个月的总天数）。(2)代表平均实际床位使用率2：它反映平均每天使用床位与实有床位的比例情况。使用率越高，表示病床越被充分使用；反之，则说明病床空闲较多。通过计算求得病床的利用率： 该院在7月13日没有安排病人住院，床位的利用率最小为0，随着时间的推移，直到8月8日床位利用率达到最大为1。图2中给出了7月13日到8月8日这26天每天床位的利用率情况图。图2 7月13日-8月8日每天床位的利用率根据附录4中算出的每天医院病床的利用率，利用公式可计算出该院平均实际床位使用率（前25

12、天即8月8日之前每天床位的利用率小于1，8月8日之后床位每天的利用率为100%）(3)病人满意度：通过计算两个等待时间，一个是门诊后等待住院的时间，一个是住院后等待手术的时间。等待时间越短，病人的满意度越高。这里需分情况讨论，外伤属于急诊，根据假设2可以知外伤病人门诊后第二天便可以住院，第三天可以进行手术，满意度是一定的。而其他病种需通过计算求得，通过计算两者时间和，再求其倒数，得满意度,用加权求平均的方法进行求解。其中,由此可计算出： 单眼白内障，双眼白内障， ，青光眼 ， ，视网膜疾病， ，从以上三个评价指标参数可以看出该医院此时床位周转率、平均实际床位使用率都比较低，病人的满意度也很低，

13、说明病人在系统内的平均逗留时间比较长。2、对问题二模型的建立与求解2.1问题二的分析从第(1)问中的评价指标体系可以看出该医院床位的利用率比较低，约为50%，床位周转率也比较低，不到75%。针对以上两个问题，提出床位利用率最大模型。已知该院现在实施的策略是在安排手术时周一、周三只看白内障疾病，且双眼白内障患者只能周一先看一只，同周的周三再看另一只，其余两种病则安排在剩余的五天看。外伤属于急诊可以优先考虑。经过整理数据可以发现每天各种病种的病人来门诊是随机的，医院给病人做手术时是按星期制来安排的。所以我们设计该模型是建立星期制上的。建立模型的数据是原始表格中每天门诊的人数，需要确定的是每天安排多

14、少人住院、多少人出院，可使床位的利用率达最大。通过分析数据可以知道开始医院的床位是空着的，前几周安排病人住院时可以是病人来门诊时就可安排住院。再过几周后当医院病床达到饱和，没有空余床位，每天入院人数和出院人数相等时，此时床位的利用率达到1。2.2模型假设：假设2.2.1：当有病人来门诊时，此时若有空床铺则可当天安排住院。假设2.2.2：每位病人在门诊后等待住院这段时间内不会再到医院去门诊，即一个人只去一次门诊。假设2.2.3：该医院医生人员比较充足，不会出现因医生不够而减少病人做手术的数目。当有急诊病人时，不会出现医生人员不够的情况。假设2.2.4： 病人手术后已观察数日，没有问题时就会选择出

15、院而不会在医院继续住下去，且同种病种的人术后观察的天数是相同的。假设2.2.5： 在考虑病床利用率最大时暂不考虑病人满意度，即不考虑住院人员等待做手术的时间。2.3符号说明：每天安排病人入院的人数：每天床位本来的剩余：每天病人出院的人数：床位周转率：平均实际床位使用率：病人满意度2.4模型的建立 根据假设2.2.1,只要有空床铺即可安排门诊的病人住院，建立一个床位的利用率达最大的数学模型。2.5模型求解根据假设2.2.4先求出不同病种病人手术等待出院的时间，通过分析题目表格中的数据，求出不同病种病人手术后的平均等待时间，即数学期望3,4。由于天数不可以用小数来表示，故我们用四舍五入法对天数取整

16、。根据附录2，不同病种病人手术后出院的平均时间为：单眼白内障病人为3天，双眼白内障第一手术后到出院时间病人为5天，青花眼病人为8天，视网膜疾病病人为10天，外伤病人为6天。通过分析原始数据可以发现该医院7月13日之前没有住院的人数，所有的床位都是空着的。故在建模时分阶段考虑： 7月13日到7月20日这段时间内总共来门诊的人共有77人，小于医院固有床位数，这段时间内只要有病人门诊当天即可安排床位的要求。从7月17日开始陆续有病人出院，为保证病人门诊后等待住院时间最短，医院床位利用率达到最大，当有病人出院时，该床位就安排给新来的门诊的人。每天安排病人入院的人数是通过计算床位本来的剩余和每天病人出院

17、的人数之和来求得的。确定某一天的病人出院人数的方法： 先计算入院后每种病种病人到出院所需的天数，这包括术前准备期、手术期和术后观察期。以7月13日（周日）病人为例：这一天来门诊的人共有7个，当天就可以入院。病人病种分别是1个白内障（单眼）、1个白内障（双眼）、1个青光眼、3个视网膜疾病和1个外伤。入院后白内障（双、单眼）、外伤病人于周一进行治疗，单眼的在3天后即7月17日出院，双眼的5天后7月19日出院，外伤的在术后6天7月20日出院；青光眼和视网膜疾病需在入院后23天进行手术，且手术时间不能安排在周一和周三，故安排在周二，青光眼在术后8天7月23日出院，视网膜疾病在术后10天25日出院。将在

18、i天前手术后能出院的人数累加起来就可得到第i天医院出院的人数。 从7月23日开始出院人数和住院人数基本上相等，但当门诊大于住院人数时，就会有等待入院的人。=第i-1天所用病床的数目+第i天住院的人数-第i天出院的人数根据上述理论用excel软件可以计算每天安排入院人数和出院人数，如表1，表1：床位利用率最大时每天安排住院和出院人数日期每天安排入院的人数每天安排出院的人数日期每天安排入院的人数每天安排出院的人数2008-7-13702008-8-13662008-7-14902008-8-1413132008-7-15102008-8-1511112008-7-1672008-8-1619192

19、008-7-171212008-8-17552008-7-18122008-8-18552008-7-191042008-8-19442008-7-20912008-8-20662008-7-2192008-8-21552008-7-2202008-8-22442008-7-23222008-8-2326262008-7-2411112008-8-24992008-7-25882008-8-2510102008-7-2617262008-8-26112008-7-27932008-8-27222008-7-28852008-8-28552008-7-29442008-8-29882008-7-

20、30772008-8-3022222008-7-3112122008-8-31882008-8-1772008-9-1552008-8-213132008-9-2332008-8-3442008-9-3882008-8-4772008-9-4772008-8-5442008-9-5772008-8-6772008-9-617172008-8-7772008-9-7552008-8-811112008-9-8662008-8-9662008-9-9552008-8-10992008-9-10332008-8-11332008-9-11662008-8-1255利用第（1）问中评价指标体系对建立的

21、病床利用率达最大的模型做出评价，通过用第（1）问中的计算公式可计算出改进后模型各参数值：床位周转率： 平均实际床位使用率：病人满意度：白内障（单眼）白内障（双眼）青光眼 视网膜疾病 表2 已有模型与病床利用率最大化模型对比表评价指标原来的模型病床利用率最大化模型床位周转率平均实际床位使用率单眼白内障住院后等待手术时间双眼白内障住院后等待手术时间青光眼住院后等待手术时间视网膜疾病住院后等待手术时间通过对比可以发现病床利用率最大模型的床位周转率和平均床位的使用率明显提高了，即床位的利用率增大了，这充分说明模型设计的合理性。但白内障病人住院后等待手术的时间却延长了，这主要是因为白内障的治疗只有在周一

22、和周三进行，在考虑床位利用率最大时，不能同时兼顾到病人满意度。但青光眼和视网膜住院后等待手术的时间却缩短了，因为无论这两种病种人哪天到都可以在2-3 天内进行手术。3问题三求解3.1问题假设假设1：医院在安排病人住院时，除急诊外，仍是按先到先服务原则，即第k天来门诊的人住院时间应早于第k+1天来门诊的人。假设2：同一天来门诊的人不考虑先到先服务原则，即安排入院时间没有优先级，安排哪天入院的概率相等。假设3：这位病人是普通的病人，不需急诊。3.2问题求解由于该院在7月13日之前所有床位全是空着的，直至7月21日才住满，所以要对病人到达该院的时间进行分情况讨论。在7月21日之前门诊的当天就可以入院

23、。下面对7月21日以后的情况进行分析。通过计算7月21日后每天来门诊的人等待入院的区间，再来考虑随机来门诊的人等待入院的时间区间。根据假设3，不用考虑急诊情况，求第k天来门诊的人等待入院的时间的方法： 设k-1天有x人在等待门诊，当天有v人来门诊，有w人出院，(1)当x+vw时，当天来门诊的人都可在当天安排住院，不用等待；(2)当xw,则当天来门诊有部分人可安排入院，其他的人要看第k+1,k+2天的出院人数,直到,那么第k天来门诊人等待入院的时间区间为0，n;(3)当xw时，根据假设1第k，k+1，k+2，.k+n天所有的出院人数床位要先满足第k-1天的x 人,第k天来门诊的人数要等第k+n+

24、1,k+n+2,k+n+m天的人出院后才能安排入院,根据假设3此时第k天来门诊人等待入院的时间区间为n+1，n+m。利用上述方法计算每天来门诊的人等待入院的时间区间，见附录3。如对于2008年7月23日这一天来门诊的人等待入院的天数有0天、1天、2天的，则等待区间为0，2 9月7日后要用到9月12日出院人数的数据，故9月7日后就不再考虑。从附录3中可以得出病人在7月13日到8月6日这段时间内，门诊后到入院等待时间区间大致在0，2，在8月6日之后医院床位数利用率达到1时，病人门诊后到入院等待时间区间大致在1，4。4问题四求解利用第(2)问中的计算方法，只是每天出院的人数有所变化了，可得出如下的数

25、据：表3 周末不安排手术时每天入院和出院人数日期每天门诊人的总数每天入院的人数每天出院的人数日期每天门诊人的总数每天入院的人数每天出院的人数2008-7-13 772008-8-1313882008-7-14 992008-87-15 10102008-8-151017172008-7-16 772008-8-16718192008-7-17 121212008-8-178652008-7-18 12122008-8-1812552008-7-19 101052008-8-191402008-7-20 9912008-8-209332008-7-21 992008-8

26、-213552008-7-22 612008-8-22513132008-7-23 16222008-8-23826262008-7-24 711112008-8-247442008-7-25 5552008-8-25913132008-7-26 417172008-8-267222008-7-27 911122008-8-278332008-7-28 12542008-8-289662008-7-29 5112008-8-291112122008-7-30 6662008-8-30921212008-7-31 1112122008-8-318882008-8-1 1113132008-9-1

27、11772008-8-2 615152008-9-26222008-8-3 11322008-9-39772008-8-4 6772008-9-415772008-8-5 502008-9-513772008-8-6 14882008-9-6517172008-8-7 15442008-9-73442008-8-8 822222008-9-89442008-8-9 4772008-9-9702008-8-10 8662008-9-109882008-8-11 6552008-9-1113662008-8-12 70计算该模型的各项评价指标体系参数：床位周转率： 平均实际床位使用率：病人满意度：

28、白内障（单眼）白内障（双眼）青光眼 视网膜疾病 表4 三种模型的各种指标的比较原来的模型改进后的模型周六日不安排手术模型床位周转率0.932974平均实际床位使用率0.720397白内障（单眼）住院后等待手术时间3.68白内障（双眼）住院后等待手术时间4.135338青光眼住院后等待手术时间3.238095视网膜疾病住院后等待手术时间3.058824通过上述对比可以发现周六、日不安排手术时，床位周转率、平均实际床位使用率都相应提高了。但病人住院后等待手术的时间（除白内障双眼的，它不受周末是否安排手术的影响）都相应变长了。从医院利益方面出发6，医院床位利用率增加了，且医生工作效率也相就提高了，不

29、希望调整医院的手术时间安排；但从病人角度出发，首先给周末外伤病人带来很大不便，且入院后等待手术的时间变长了，病人希望调整医院的手术时间安排，即周末也应该安排手术时间。5问题五分析求解5.1模型的假设假设5.1.1：在考虑病人在系统内的平均逗留时间（门诊到入院等待时间及住院时间）最短时，则病人来门诊时就给其安排床位，且能尽快给其安排手术，医生足够用；假设5.1.2：考虑病人在系统内的平均逗留时间最短时，求出满足该情况所需床位的最小数目，不考虑医院现有床位的数目；假设5.1.3：病人来医院门诊时是随机的，每周的周几不同病种的病人来门诊的人数相同；假设5.1.4：不同病种的病人手术后在医院的观察时间

30、可以认为是一定的，和原始数据计算出的平均值相同。5.2模型的建立通过分析原始数据可以发现每天每个病种来看病的病人数目基本上是一定的，没有很大变动。病人做手术时和该天是星期几有关，所以这里病床比例分配模型，依据该天是周几来建立7，8。5.3模型的求解由假设5.5.1，5.1.4,并利用附录2中的数据。通过计算7月13日到9月8日这八周内不同星期的总人数，计算其平均值，可认为是每周几来医院门诊的人数。表5 7月13日到9月8日8周内星期相同时各种病种总共人数星期白内障白内障(双眼)青光眼视网膜疾病外伤周日121592410周六10138184周五82582212周四102015295周三18185

31、3011周二19129175周一12229257现针对不同病种的病人分类进行研究，各病种病人手术后到出院需间隔的天数参照附录2中给出的数据。单眼白内障病人（手术后到出院时间为3天）：表6 单眼白内障病人安排入院和出院的时间来门诊的日期来均来门诊的人安排入院的时间手术时间出院时间从门诊到出院共花时间周日15周日本周一本周四5周一15周一本周三本周六6周二238周二本周三本周六5周三225周三下周一下周四9周四125周四下周一下周四8周五1周五下周一下周四7周六125周六下周一下周四6下周来门诊的人周日、周一、周二、周五、周六的人都可以住出院的人的床，其中周四门诊的人入住双眼白内障病人出院的床。所

32、以只有周三来门诊的人还需安排床位。双眼白内障（第一次手术后到出院的时间5天）表7 双眼白内障病人的入院和出院安排时间来门诊的日期来均来门诊的人安排入院的时间手术时间出院时间从门诊到出院共花时间周日188周日周一周六7周一275周一下周一下周六13周二15周二下周一下周六12周三225周三下周一下周六11周四25周四下周一下周六10周五313周五下周一下周六9周六163周六下周一下周六8双眼白内障病人下周来门诊的人只有再多加床位因为没有补偿的，故白内障病人所安排的床位为42.41。青光眼病人（手术后到出院时间为8天）表8 青光眼病人入院和出院安排时间来门诊的日期来均来门诊的人安排入院的时间手术时

33、间出院时间从门诊到出院共花时间周日113周日本周二下周三11周一113周一本周四下周五12周二113周二本周四下周五11周三063周三本周五下周六11周四188周四本周六下周日11周五1周五本周日下下周一11周六1周六下周二下下周三12下周来门诊的人周日、周一、周二、周三来门诊的都得加床位，到下周四时可以利用下周三出院的部分床位再另加一些床位。其后每天都可表成互补。青光眼所安排的床位数为12.57。视网膜疾病（病人手术后到出院时间为10天）表9 视网膜疾病病人的入院和出院安排时间从以上表格可以看出下周视网膜疾病病人来门诊时，周日、周一、周二、周三、周四、周六的人都需要单加床位。视网膜疾病所安排的床位数为39.125张床来门诊的日期来均来门诊的人安排入院的时间手术时间出院时间从门诊到出院共花时间周日3周日本周二下周五13周一3.125周一本周四下下周日14周二2.125周二本周四下下周日13周三3.