静电场之均匀带电球面球体和球壳的电场

1、范例范例9.6 均匀带电球面、球体和球壳的电场均匀带电球面、球体和球壳的电场 (1)一均匀带电球面，半径为一均匀带电球面，半径为R，带电量为，带电量为Q，求电荷产生的电场强，求电荷产生的电场强 度和电势。如果电荷均匀分布在同样大小的球体内，求球体的电度和电势。如果电荷均匀分布在同样大小的球体内，求球体的电 场强度和电势。场强度和电势。(2)一均匀带电球壳，内部是空腔，球壳内外半径一均匀带电球壳，内部是空腔，球壳内外半径 分别为分别为R0和和R，带电量为，带电量为Q，求空间各点的电场强度和电势，对于，求空间各点的电场强度和电势，对于 不同的球壳厚度，电场强度和电势随距离变化的规律是什么？不同的球

2、壳厚度，电场强度和电势随距离变化的规律是什么？ 解析解析(1)如图所示，不论球面还是球体，由如图所示，不论球面还是球体，由 于电荷分布具有球对称性，所激发的电场于电荷分布具有球对称性，所激发的电场 也是球对称的，用高斯定理求解比较简单。也是球对称的，用高斯定理求解比较简单。 设设Q 0，不论场点在球内还是，不论场点在球内还是 在球外，由于对称的缘故，电场在球外，由于对称的缘故，电场 线都沿着球心到场点的连线。线都沿着球心到场点的连线。 对于球外的点对于球外的点P1，以，以O为球心，过为球心，过 P1点作一个半径点作一个半径r的高斯球面的高斯球面S1。 在在P1点取一个面积元点取一个面积元dS，

3、其法线方向与场强方，其法线方向与场强方 向一致，通过该面积元的电通量为向一致，通过该面积元的电通量为dE = EdS。 S1 rE P1 r O R Q 范例范例9.6 均匀带电球面、球体和球壳的电场均匀带电球面、球体和球壳的电场 通过高斯面的电通量为通过高斯面的电通量为 = E4r2 高斯面所包围的电量为高斯面所包围的电量为Q， 根据高斯定理根据高斯定理E = Q/0， 可得场可得场 强大小强大小 当当Q 0时，场强的方向沿着径向向外；时，场强的方向沿着径向向外； 当当Q R) E S2 P2 r S1 E P1 r O R Q dE = EdS。 dd E SS E S 蜒 ESd S E

4、S 22 0 4 QkQ E rr 对于球面内的点对于球面内的点P2，同样作高斯面，高斯，同样作高斯面，高斯 面内面内Q = 0，根据高斯定理得，根据高斯定理得E = 0 (r R) 可见：均匀带电球面外各点的电势与电荷全可见：均匀带电球面外各点的电势与电荷全 部集中在球心处的点电荷所产生的电势相同。部集中在球心处的点电荷所产生的电势相同。 E = 0 (r R) 0 kQ U R ddd R rrR U EsEsEs 0 kQ U R (r R) 球面所有电荷到球面所有电荷到 球心的距离都是球心的距离都是 R，球面的电势，球面的电势 就是所有电荷在就是所有电荷在 球心产生的电势球心产生的电势

5、。 2 0dd RR kQ E rr r E S2 P2 r S1 E P1 r O R Q 对于均匀带电球体，球体外对于均匀带电球体，球体外 的电场强度和电势与均匀带的电场强度和电势与均匀带 电球面的公式是相同的。电球面的公式是相同的。 在球体内取一个高斯面，在球体内取一个高斯面， 高斯面内有电荷，并且电高斯面内有电荷，并且电 荷的体密度处处相等。荷的体密度处处相等。 球体的全部体积为球体的全部体积为VR=4R3/3， 电荷的体密度为电荷的体密度为 = Q/VR， 高斯面内的体积为高斯面内的体积为Vr = 4r3/3， 高斯面内的电量为高斯面内的电量为q = Vr = QVr/VR = Qr

6、3/R3， 根据高斯定理得方程根据高斯定理得方程E = E4r2 = q/0， 球体内球体内 场强为场强为 33 0 4 QrkQr E RR (r R) 球体内部的电势用电荷密度表示为球体内部的电势用电荷密度表示为 2222 3 2 (3)(3) 23 kQ URrkRr R 22 0 (3) 6 Rr (r R) 在球壳的空腔中同时填充两个半径为在球壳的空腔中同时填充两个半径为R0，电荷体密度为，电荷体密度为 和和-的球体，空间各点的电势就是半径分别为的球体，空间各点的电势就是半径分别为R和和R0， 电荷体密度分别为电荷体密度分别为和和-的均匀带电体球产生的。的均匀带电体球产生的。 22

7、0 (3) 6 Rr U (r R) 22 0 (3) 6 Rr U (r R) 22 0 (3) 6 Rr U (r R) C点的点的 电势为电势为 (R r) C点的场强大小为点的场强大小为 3 0 , 3 C R U r 3 0 0 3 C R U r CCC UUU 33 0 0 () 3 RR r kQ r 2 d d C C UkQ E rr 可见：可见：C点的电势和场强等效于全部电荷集中在球心产生的点的电势和场强等效于全部电荷集中在球心产生的。 A O R0B R rA rB C rC 范例范例9.6 均匀带电球面、球体和球壳的电场均匀带电球面、球体和球壳的电场 (R r) 当当

8、R0 = 0时，空腔缩为一点，球壳就变成球体。时，空腔缩为一点，球壳就变成球体。 C kQ U r 2 C kQ E r A点点(球心球心) 的电势为的电势为 0 22 00 3() 2() A kQ RR U RRRR EA = 0 (r R0) 3 22 0 33 0 2 (3) 2() B RkQ URr RRr 3 0 332 0 () () B RkQ Er RRr (R0 r R) 讨论讨论 3 2 A kQ U R (r = 0) B点的点的 电势为电势为 22 3 (3) 2 B kQ URr R B点的场强点的场强 大小为大小为 3 B kQ Er R (0 r R) 当当r = 0时，时，UB = UA，EB = EA = 0。 当当R0R时，球时，球 壳就变成球面。壳就变成球面。 A点的点的 电势为电势为 A kQ U R B点的电势点的电势UBUA。 不妨取球壳内半径与外半径之比为不妨取球壳内半径与外半径之比为0.5。 空腔内的场强为零，球壳内的空腔内的场强为零，球壳内的 场强随距离增加而增强，球壳场强随距离增加而增强，球壳 外的场强随距离的增加而减小。外的场强随距离的增