空间直角坐标系及点的坐标表示

1、空间直角坐标系空间直角坐标系 陕西省柞水中学 王松涛 提提 问问: : 我们知道我们知道, ,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,平面上任平面上任 意一点的位置都有唯一的坐标来表示意一点的位置都有唯一的坐标来表示. . 那空间中任意一点的位置怎样用坐标来那空间中任意一点的位置怎样用坐标来 表示表示? ? 墙墙 墙墙 地面地面 下图是一个房间的示意图下图是一个房间的示意图, ,下面来下面来 探讨表示电灯位置的方法探讨表示电灯位置的方法. . z z 1 3 4 x x 4 y y15 O (4,5,3) o x y z 从空间某一个定点从空间某一个定点 引三条互相垂直且有相引三条互相垂直且

2、有相 同单位长度的数轴，这同单位长度的数轴，这 样就建立了空间直角坐样就建立了空间直角坐 标系标系xyz 点点叫做坐标原点叫做坐标原点，x轴轴、y轴轴、z轴叫做轴叫做 坐标轴坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标这三条坐标轴中每两条确定一个坐标 平面，分别称为平面，分别称为xoy平面平面、 yoz平面平面、和和 Zox 平面平面 一、一、空间空间直角坐标系建立直角坐标系建立 o x y z 在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中, ,让让 右手拇指指向右手拇指指向x x轴的正方向，轴的正方向， 食指指向食指指向y y轴的正方向，若中轴的正方向，若中 指指向指指向z z轴的正方向，则称这轴的正方

3、向，则称这 个坐标系为个坐标系为右手直角坐标系右手直角坐标系 说明说明: : 本书建立的坐标系本书建立的坐标系 都是右手直角坐标系都是右手直角坐标系. . 二、空间直角坐标系的画法二、空间直角坐标系的画法: : o x y z 1. 1.X X轴与轴与y y轴、轴、x x轴与轴与z z轴均成轴均成1351350 0, , 而而z z轴垂直于轴垂直于y y轴轴 1351350 0 1351350 0 2.2.y y轴和轴和z z轴的单位长度相同，轴的单位长度相同， x x轴上的单位长度为轴上的单位长度为y y轴（或轴（或z z 轴）的单位长度的一半轴）的单位长度的一半 三、空间任一点坐标的求法三

4、、空间任一点坐标的求法 M x y z o ( , , )x y z P Q R 过点过点M M作三个平面分别垂直作三个平面分别垂直 于于x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴分别交于轴分别交于P P、 R R、Q(Q(即点即点A A在坐标平面的射在坐标平面的射 影影) )。点。点P P、R R、Q Q在相应坐标在相应坐标 轴上的坐标依次为轴上的坐标依次为x,y,zx,y,z则则 有序实数对（有序实数对（x,y,zx,y,z）叫做）叫做 点点M M的坐标的坐标 C D BA C O AB z y x 分析：分析：1.分别找射影分别找射影 2.找射影在坐标轴对找射影在坐标轴对 应的点应的点 13,

5、4, 2, OAOC OD = = 例 、在如图长方体中，已知 试求其顶点的坐标。 C D BA C O AB y z x xoy平面上的点表示为（平面上的点表示为（x,y,0) yoz平面上的点表示为（平面上的点表示为（0,y,z) xoz平面上的点表示为（平面上的点表示为（x,0,z) x轴上的点表示为（轴上的点表示为（x，0，0） z轴上的点表示为轴上的点表示为（0,0,z) y轴上的点轴上的点表示为（表示为（0，y，0） 1.坐标平面内的点坐标平面内的点 2.坐标轴上的点坐标轴上的点 四、空间中点坐标公式四、空间中点坐标公式 111222 121212 (,)(,) (,) 222 A

6、 xyzB xyz xxyyzz+ 空间两点的中点 坐标为 19 (1,2,4), (0,2,5) 22 AB例2：的中点坐标为（ ，2，） (0,1,4)AB和 点的中点坐标为C为（2，3，5）， 求B点的坐标。 B点坐标为（4，5，6） B解：设点坐标为（x,y,z） 014 , 222 xyz 骣 + 琪 琪 桫 那么A ，B 中点坐标为 ， 14 2,3,5 222 xyz+ = 4,5,6xyz= 求下列各点的坐标求下列各点的坐标 3(3,1,4)ABB、的中点坐标为，其中 点坐标为 （0，0，0），那么A点的坐标为_ 1(6,2,4), (0,2,1)AB、的中点坐标为_ 2(3,

7、1,4),(1,2,8)AB、的中点坐标为_ （3,2,2.5） （2,1.5,6） （6,2,8） 五、点的对称性五、点的对称性 规律：关于谁对称谁不变规律：关于谁对称谁不变 1.关于原点对称的为关于原点对称的为 (-x,-y,-z) 空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点p(x,y,z) 2.关于关于x轴对称的为轴对称的为 (x,-y,-z) 3.关于关于y轴对称的为轴对称的为 (-x, y,-z) 4.关于关于z轴对称的为轴对称的为 (-x,-y, z) 例：例：（1，2，3） （-1，-2，-3） （-1，-2，3） （-1，2，-3） （1，-2，-3） 5.关于关于xoy平面对称的点为（平面对称的点为（x,y,-z） 6.关于关于xoz平面对称的点为（平面对称的点为（x,-y,z） 7.关于关于yoz平面对称的点为（平面对称的点为（-x,y,z） （1，2，-3） （1，-2，3） （-1，2，3） (, 2, 3)A xxoz例 3、 已 知 点关 于平 面 的 对 称 点 坐 标 为 （ 1， 2y-1,3z