有电介质高斯定理

1、有电介质高斯定理 有介质时，自由电荷和束缚电荷共同产生电场有介质时，自由电荷和束缚电荷共同产生电场 EEE 0 E 满足高斯定理：满足高斯定理： 0S E d q S 0 0 ii qq 可以证明：可以证明： 00 () i S EPdSq S i P dSq 定义：定义： PED 0 称电位移矢量称电位移矢量 则：则： 0 S D dqS 一一. 的高斯定理的高斯定理 D 有电介质高斯定理 的高斯定理：的高斯定理： D 通过任意闭合曲面的通过任意闭合曲面的电位移通量电位移通量 等于面内包围的等于面内包围的自由电荷自由电荷代数和代数和 1、电位移线：、电位移线： 规定：规定：1）线上各点切线方

2、向与）线上各点切线方向与D方向相同方向相同 2）通过任意单位垂直面元的电位移线条数）通过任意单位垂直面元的电位移线条数 等于该点电位移矢量的大小等于该点电位移矢量的大小 dS d D d 特点：特点： 起自正自由电荷（或无穷远），起自正自由电荷（或无穷远）， 终止于负自由电荷（或无穷远），终止于负自由电荷（或无穷远）， 在无自由电在无自由电 荷处不会中断（无自由电荷处电位移矢量连续）荷处不会中断（无自由电荷处电位移矢量连续） 讨论讨论 0 S D dqS 有电介质高斯定理 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 线线线线 D E 从有电介质时的高斯定理可

3、知：通过电介质中任一从有电介质时的高斯定理可知：通过电介质中任一 闭合曲面的电位移通量等于该面包围的自由电荷的代闭合曲面的电位移通量等于该面包围的自由电荷的代 数和。数和。 有电介质高斯定理 + + + + + + + + + + 线线 P 电位移线起于正的自由电电位移线起于正的自由电 荷，止于负的自由电荷。荷，止于负的自由电荷。 电场线起于正电荷、止于电场线起于正电荷、止于 负电荷，包括自由电荷和负电荷，包括自由电荷和 极化电荷。极化电荷。 电极化强度矢量线起于负的电极化强度矢量线起于负的 极化电荷，止于正的极化电极化电荷，止于正的极化电 荷。只在电介质内部出现。荷。只在电介质内部出现。 有

4、电介质高斯定理 二二. D 与 与E 的关系的关系PED 0 在各向同性、均匀的电介质中在各向同性、均匀的电介质中EP e 0 ED r 0 即：即： D 与与 E 成正比且方向相同成正比且方向相同 令：令： r 0 称为介质的介电常数称为介质的介电常数 ED E r 0 )1( 真空中：真空中： ED 0 )( 1 0 PDE 介质中真实的场：介质中真实的场： 自由电荷产生的场：自由电荷产生的场： 束缚电荷产生的场：束缚电荷产生的场： E 0 D 0 P 3.介质中高斯定理的应用介质中高斯定理的应用 0 S D dqS 有电介质高斯定理 有电介质存在时的高斯定理的应用有电介质存在时的高斯定理

5、的应用 （1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面 求出电位移矢量。求出电位移矢量。 （2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。 （3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度。）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度。 （4）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。 有电介质高斯定理 求求: :板内的场板内的场 解解: :均匀极化均匀极化 表面出现束缚电荷表面出现束缚电荷 例例1 1 平行板电容器上自由电荷面密度为平行板电容器上自由电荷面密度为

6、0 00 r 充满相对介电常数为充满相对介电常数为 的均匀各向同的均匀各向同 性电介质性电介质 r 故束缚电荷分布亦沿平面均匀分布故束缚电荷分布亦沿平面均匀分布 则：电场方向沿则：电场方向沿x方向方向 123 SSSS D dSD dSD dSD dS 上底上底 下底下底 由高斯定理：由高斯定理： SD 内内底底 SD 内内 底底 S 0 底底 S 0 D 0 0r D E 有电介质高斯定理 例例2 2 一无限大各向同性均匀介质平板厚度为一无限大各向同性均匀介质平板厚度为d d 内部均匀分布体电荷密度为内部均匀分布体电荷密度为 求：介质板内、外的求：介质板内、外的 D E P 解：解： D E

7、 P 面对称面对称 平板平板 相对介电常数为相对介电常数为 r ， r 0 d x O 取坐标系如图取坐标系如图 以以x=0处的面为对称面过场点处的面为对称面过场点 作正柱形高斯面作正柱形高斯面S S S 底面积设底面积设S S0 0 0 S x 0 的自由电荷的自由电荷 0 S D dqS 有电介质高斯定理 2 d x 0 2DSxD 0 2 d x 0 2DS dD 2 0 r 0 d x 0 S x x 00 2Sx 00dS r D E 0 r x 0 0 r r x 0 1 EP r 1 0 0 0 0 2 dD E EP r 1 0 0 均匀场均匀场 0 S D dqS 有电介质高

8、斯定理 例例3 3：将电荷：将电荷 q 放置于半径为放置于半径为 R 相对电容率为相对电容率为 r 的介的介 质球中心，求：质球中心，求：I 区、区、II区的区的 D、E、 及及 U。 r I II R q 解：在介质球内、外各作半径为解：在介质球内、外各作半径为 r 的的 高斯球面。高斯球面。 r r 高斯面高斯面 球面上各点球面上各点D大小相等，大小相等， ,/ SdD ,4 0 2 qrD 2 0 4 r q D I区：区： 2 1 4r q D II区：区： 2 2 4r q D 由由 ED r 0 0 S D dqS 有电介质高斯定理 r D E 0 1 1 2 0 4r q r r

9、 D E 0 2 2 2 0 4r q r E 0 0 E a a l dEU 由由 a Edr R R r drEdrEU 211 dr r q dr r q R R r r 2 0 2 0 44 R q Rr q r00 4 11 4 r drEU 22 dr r q r 2 0 4r q 0 4 r I II R q r r 高斯面高斯面 2 1 4r q D 2 2 4r q D 有电介质高斯定理 例. 平行板电容器的电容平行板电容器的电容 已知已知: 平行板电容器平行板电容器 设电容器带电量设电容器带电量 Q 求求: 其电容其电容. d, S , r 解解: d s r Q - Q

10、求两极板间的电势差求两极板间的电势差 U D S D dSS D S S Q D S QD E 两极板间的电势差两极板间的电势差d S Q dEU 根据电容定义式计算电容根据电容定义式计算电容 U Q C 0r SS dd 有电介质高斯定理 L A B 设两极板面电荷线密度设两极板面电荷线密度 分别为分别为 + ，- 解解: 做如图高斯面做如图高斯面 l r 11 SSS S D dSD dSD dS rlD 2 l r D E 2 两极板间的电势差两极板间的电势差 1 2 ln 22 2 1 R R dr r U R R 例. 圆柱形电容器的电容圆柱形电容器的电容 已知已知:圆柱形电容器圆柱

11、形电容器 R1，R2， 求求: 其电容其电容. 1 S 有电介质高斯定理 根据电容定义式计算电容根据电容定义式计算电容 1 2 ln 2R R L U Q C 1 2 ln 2 R R L 单位长度的电容单位长度的电容 C 1 2 ln 2 R R 1 2 ln 2R R U 有电介质高斯定理 d d1 2 0 r B C A + + 例：一平行板电容器，其中填充了一层介质，尺寸例：一平行板电容器，其中填充了一层介质，尺寸 如图，介质的相对介电常数为如图，介质的相对介电常数为 r D1D2, 1. 用高斯定理求：用高斯定理求： EE 12 ,； 3. 求此电容器之电容。求此电容器之电容。 S

12、1 D 1 S D dS 00 1 SDS 1 D 01 / E S 2 D 2 S DdS 00 2 SD S 2 D r E 0 2 2. AB UU求 B A l dE AB UU 2 0 1 0 dd r 2 0 1 0 dd S C r r d d S 2 1 0 有电介质高斯定理 例例 . 一平行板电容器，两极板间距为一平行板电容器，两极板间距为b、面积为、面积为S， 其中置一厚度为其中置一厚度为t 的平板均匀电介质，其相对的平板均匀电介质，其相对 介电常数为介电常数为 r, 求该电容器的电容求该电容器的电容C。 b r t 解：根据定义解：根据定义 U q C 设极板面密度为设极

13、板面密度为 、- 由高斯定理可得：由高斯定理可得： 空气隙中空气隙中 D 1 o E 介质中介质中 D 2 ro E t1b rr or U q C t1b S rr or t 1 b S r r o b S o 与与t的位置无关的位置无关 t 、C t=b b S C or 12 ()UEbtEt 有电介质高斯定理 例例 .一平行板电容器，两极板间距为一平行板电容器，两极板间距为b、面积为、面积为S，在其间，在其间 平行地插入一厚度为平行地插入一厚度为t，相对介电常数为，相对介电常数为 r， ，面积为 面积为S/2 的的均匀介质板。设极板带电均匀介质板。设极板带电Q，忽略边缘效应。，忽略边缘

14、效应。 求 求(1)该电容器的电容该电容器的电容C(2)两极板间的电两极板间的电势势差差 U。 b r t 2S 解：（解：（1）等效两电容的并联 等效两电容的并联 左半部：左半部： 2 o S C b 2 1 o r r S C bt 右半部：右半部： 电容并联相加：电容并联相加： 右右左左 CCC 0 2(1) 22 1 2 (1) oo rr r rr r SS Sbt bb bt bt （2） C Q U t1b2S Qt1bb2 rro rr t 1 b S C r r o 问：问： Q左 左=Q右右 ？ 左左 右右 有电介质高斯定理 例例 . 平板电容器极板面积为平板电容器极板面积

15、为S间距为间距为d,接在电池上维持接在电池上维持V 。 均匀介质均匀介质 r 厚度厚度d，插入电容器一半忽略边缘效应插入电容器一半忽略边缘效应 求求(1)1、2两区域的两区域的 和和 ；(2)介质内的极化强度介质内的极化强度 ， 表面的极化电荷密度表面的极化电荷密度 ；(3)1、2两区域极板上自由两区域极板上自由 电荷面密度电荷面密度 ， 。 E D P 1 2 dEdEV 21 11 22 oror o o V DE d V DE d 的方向均的方向均 2121 ,DDEE 了了？反反而而 ？为为什什么么 真真介介 21 21 DD EE ！关关键键： 21 d V EE 21 r 12 S

16、 2 S d V 解：解：（1） 有电介质高斯定理 1 EP oe 11 11 2 222 0 or or oo V E d V EE d 21 方方向向： d V ro )1( cosP (2) 介质内的极化强度介质内的极化强度 ，表面的极化电荷密度，表面的极化电荷密度 P (3) 1、2两区域极板上自由电荷面密度两区域极板上自由电荷面密度 1、 2 PP 180cos 上上 0)1(0cos d V PP ro 下下 0)1( d V ro r 12 S 2 S d V 1 2 有电介质高斯定理 例题例题7-28 7-28 一半径为一半径为R R的金属球，带有电荷的金属球，带有电荷q q0

17、 0, ,浸埋在均浸埋在均 匀匀“无限大无限大”电介质（电容率为电介质（电容率为），求球外任一点），求球外任一点P P 的场强及极化电荷分布。的场强及极化电荷分布。 金属球是等势体，介质以球体金属球是等势体，介质以球体 球心为中心对称分布，可知电球心为中心对称分布，可知电 场分布必仍具球对称性，用有场分布必仍具球对称性，用有 电介质时的高斯定理求解。电介质时的高斯定理求解。 R R Q Q0 0 r r P P S S 解解: : 高斯面：过高斯面：过P P点作一半径为点作一半径为r r 并与金属球同心的闭合球面并与金属球同心的闭合球面S S， 由高斯定理知：由高斯定理知： 有电介质高斯定理

18、2 0 4 r q D r e r q D 2 0 4 所以所以 写成矢量式为写成矢量式为 2 0 d4 S DSDrq ED , 所以离球心所以离球心r 处处P点的场强为点的场强为因因 000 22 0 44 rr rr qqED Eee rr 有电介质高斯定理 r r r r r r e r q e r q e r q P 1 444 2 0 2 0 0 0 2 0 结果表明：带电金属球周围充满均匀无限大电介结果表明：带电金属球周围充满均匀无限大电介 质后，其场强减弱到真空时的质后，其场强减弱到真空时的1/r倍倍, 可求出电极化强可求出电极化强 度为度为 电极化强度电极化强度 与与 有关，

19、是非均匀极化。在电介有关，是非均匀极化。在电介 质内部极化电荷体密度等于零，极化面电荷分布质内部极化电荷体密度等于零，极化面电荷分布 在与金属交界处的电介质表面上（另一电介质表在与金属交界处的电介质表面上（另一电介质表 面在无限远处），其电荷面密度为面在无限远处），其电荷面密度为 P r r P e 有电介质高斯定理 r r R q 1 4 2 0 rr r q qq 0 00 1 因为因为r 1，上式说明，上式说明恒与恒与q0反号，在交界反号，在交界 面处自由电荷和极化电荷的总电荷量为面处自由电荷和极化电荷的总电荷量为 总电荷量减小到自由电荷量的总电荷量减小到自由电荷量的1/r倍，这是倍，这

20、是离球离球 心心r处处P点的场强点的场强减小到真空时的减小到真空时的1/r倍的原因。倍的原因。 有电介质高斯定理 解：（解：（1 1）设场强分别为）设场强分别为E1 和和E2 ，电位移分别为，电位移分别为D1 和和D2 ，E1和和E2 与板极面垂直，都属均匀场。先在两与板极面垂直，都属均匀场。先在两 层电介质交界面处作一高斯闭合面层电介质交界面处作一高斯闭合面S1，在此高斯面内，在此高斯面内 的自由电荷为零。由有电介质时的高斯定理得：的自由电荷为零。由有电介质时的高斯定理得： 例题例题7-29 7-29 平行板电容器两板极的面平行板电容器两板极的面 积为积为S S，如图所示，两板极之间充有，如

21、图所示，两板极之间充有 两层电介质，电容率分别为两层电介质，电容率分别为1 和和2 ， 厚度分别为厚度分别为d1 和和d2 ，电容器两板极，电容器两板极 上自由电荷面密度为上自由电荷面密度为。求（。求（1 1） 在各层电介质的电位移和场强；（在各层电介质的电位移和场强；（2 2） 两层介质表面的极化电荷面密度；两层介质表面的极化电荷面密度； （3 3）电容器的电容。）电容器的电容。 + + E E1 1E E2 2 D D1 1D D2 2 S S2 2 S S1 1 d d1 1 d d2 2 A AB B 1 1 E E2 2 2 2 有电介质高斯定理 所以所以 21 DD 1 D 2 D

22、 即在两电介质内，电位移即在两电介质内，电位移 和和 的量值相等。由于的量值相等。由于 1 12 d0 S D SD S DS 111222 ,DEDE 所以所以 122 211 r r E E 可见在这两层电介质中场强并不相等，而是和可见在这两层电介质中场强并不相等，而是和 电容率（或相对电容率）成反比。电容率（或相对电容率）成反比。 有电介质高斯定理 为了求出电介质中电位移和场强为了求出电介质中电位移和场强 的大小，我们可另作一个高斯闭合面的大小，我们可另作一个高斯闭合面 S2 ，如图中左边虚线所示，这一闭合，如图中左边虚线所示，这一闭合 面内的自由电荷等于正极板上的电荷，面内的自由电荷等

23、于正极板上的电荷， 按有电介质时的高斯定理，得按有电介质时的高斯定理，得 1 1 S DSD SS 再利用再利用 222111 ,EDED 可求得可求得 011 1 r E 022 2 r E 方向都是由左指向右。方向都是由左指向右。 + E1E2 D1D2 S2 S1 d1 d2 AB 1 E2 2 有电介质高斯定理 （2 2）由于介质内场强）由于介质内场强EEE 01 000r 即：即： 1 1 2 2 1 1 1 1 r r 所以所以 有电介质高斯定理 2 2 1 1 2 2 1 1 2211 dd S qdd dEdEVV BA 2 2 1 1 dd S VV q C BA q=S是每

24、一极板上的电荷，这个电容器的电容为是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为 可见电容与电介质的放置次序无关。上述结果可可见电容与电介质的放置次序无关。上述结果可 以推广到两极板间有任意多层电介质的情况（每一层以推广到两极板间有任意多层电介质的情况（每一层 的厚度可以不同，但其相互叠合的两表面必须都和电的厚度可以不同，但其相互叠合的两表面必须都和电 容器两极板的表面相平行）。容器两极板的表面相平行）。 （3 3）正、负两极板）正、负两极板A、B间的电势差为间的电势差为 有电介质高斯定理 7-10 7-10 静电场的能量静电场的能量 一一. .电容器的储（静电）能电容器的储（静电）能 注：电容器的能

25、量存在于两极板之间的电场中注：电容器的能量存在于两极板之间的电场中 有电介质高斯定理 二二.电场能量电场能量 电场能量密度电场能量密度 S r d + + + + + + + + - - - - - - - - +Q-Q 电场具有能量电场具有能量 1.定义定义:电场能量密度电场能量密度 单位体积电场空间中的能量单位体积电场空间中的能量 w V V V W w 体积体积 内能量内能量体积体积 2.2.推导推导: : 以平行板电容器的场为特例以平行板电容器的场为特例 Sd CU 2 2 1 V W w e e Sd dE d S 2 )( 2 1 2 2 1 E DE 2 1 ED 2 1 普遍成

26、立普遍成立 有电介质高斯定理 二二.电场能量电场能量 电场能量密度电场能量密度 3、任一带电体系的电场总能量任一带电体系的电场总能量 1 dvdv 2 e WwD E 有电介质高斯定理 R + + + + + + + + + Q r （球外为无限大介质）（球外为无限大介质） dr r 例例 求一均匀带电球面的电场能量。求一均匀带电球面的电场能量。 求求:电场空间的能量电场空间的能量 解解:1)任取体积元任取体积元dV drrdV 2 4 2)小体元的能量小体元的能量 dVEdW 2 2 1 已知：已知： Q, R, r 小体元内小体元内: 2 4r Q E 2 22 1 4 244 R QQ

27、r dr rr R Q 8 2 3)电场空间总能量电场空间总能量 V dVEW 2 2 1 有电介质高斯定理 例例: C U K 已知已知: C , U , d 求求: 1) K 断断开时开时, W e 的变化的变化. 2) K闭合时闭合时, W e 的变化的变化. 现将现将 d 增大增大 解解: 1) K 断断开时开时, Q 不变不变 C Q W e 2 2 1 0 2 1 2 d S Q W e d S Q 2 2 1 2) K闭合时闭合时, U 不变不变 0 2 1 2 2 dU d S W e 因此因此 2 2 1 CUW e 2 2 1 U d S 有电介质高斯定理 例例7-30 7

28、-30 计算均匀带电球体的电场能量，设球半径为计算均匀带电球体的电场能量，设球半径为R R， 带电量为带电量为q q，球外为真空。球外为真空。 3 0 ,() 4 Qr ErR R 2 0 ,() 4 Q ErR r 解：均匀带电球体内外的电场强度分布为解：均匀带电球体内外的电场强度分布为 相应的，球内外的电场能量密度为相应的，球内外的电场能量密度为 6 0 2 22 2 3 0 0 3242 1 R rq R qr we )(Rr 4 0 2 2 2 2 0 0 3242 1 r q r q we )(Rr 有电介质高斯定理 在半径为在半径为r厚度为厚度为dr的球壳内的电场能量的球壳内的电场

29、能量 整个带电球体的电场能量整个带电球体的电场能量 R q R q R q 0 2 0 2 0 2 20 3 840 drrwdW e 2 4 V edV wW drr r q drr R rq R R 2 4 0 2 2 2 0 6 0 2 22 4 32 4 32 有电介质高斯定理 例题例题7-317-31一平行板空气电容器的板极面积为一平行板空气电容器的板极面积为S，间，间 距为距为d d，用电源充电后两极板上带电分别为，用电源充电后两极板上带电分别为 Q。断。断 开电源后再把两极板的距离拉开到开电源后再把两极板的距离拉开到2d。求（。求（1 1）外力）外力 克服两极板相互吸引力所作的功

30、；（克服两极板相互吸引力所作的功；（2 2）两极板之间）两极板之间 的相互吸引力。（空气的电容率取为的相互吸引力。（空气的电容率取为0 0）。）。 d S C d S C 2 , 0201 222 12 100 , 22 QQ dQ d WW CSS 板极上带电板极上带电 Q时所储的电能为时所储的电能为 解解: :（1 1 ）两极板的间距为）两极板的间距为d d和和2 2d d时，平行板电容器的时，平行板电容器的 电容分别为电容分别为 有电介质高斯定理 2 21 0 2 Q d WWW S （2）设两极板之间的相互吸引力为）设两极板之间的相互吸引力为F ，拉开两极板，拉开两极板 时所加外力应等

31、于时所加外力应等于F ，外力所作的功，外力所作的功A=Fd ，所以，所以 S Q d A F 0 2 2 故两极板的间距拉开到故两极板的间距拉开到2d后电容器中电场能量的后电容器中电场能量的 增量为增量为 有电介质高斯定理 例例7-32 7-32 物理学家开尔文第一个把大气层构建为一个电物理学家开尔文第一个把大气层构建为一个电 容器模型，地球表面是这个电容器的一个极板，带有容器模型，地球表面是这个电容器的一个极板，带有 5 510105 5C C的电荷，大气等效为的电荷，大气等效为5km5km的另一块极板，带正的另一块极板，带正 电荷。如下页图所示。（电荷。如下页图所示。（1 1）试求这个球形

32、电容器的电）试求这个球形电容器的电 容；（容；（2 2）求地球表面的能量密度以及球形电容器的能）求地球表面的能量密度以及球形电容器的能 量；（量；（3 3）已知空气的电阻率为）已知空气的电阻率为3 3101013 13 ，求球形电容，求球形电容 器间大气层的电阻是多少？（器间大气层的电阻是多少？（4 4）大气电容器的电容和）大气电容器的电容和 电阻构成一个电阻构成一个RCRC放电回路，这个放电回路的时间常数放电回路，这个放电回路的时间常数 是多少？（是多少？（5 5）经研究，大气电容器上的电荷并没有由）经研究，大气电容器上的电荷并没有由 于于RCRC回路放电而消失是因为大气中不断有雷电补充的回

33、路放电而消失是因为大气中不断有雷电补充的 结果，如果平均一个雷电向地面补充结果，如果平均一个雷电向地面补充25C25C的电荷，那么的电荷，那么 每天要发生多少雷电？每天要发生多少雷电？ 有电介质高斯定理 解：解：如图为地球表面外如图为地球表面外 的大气层电容模型的大气层电容模型 （1 1）球形电容器的电容）球形电容器的电容 公式为公式为 AB BA RR RR C 0 4 地球半径地球半径kmr6400 电离层高度电离层高度kmh5 rRA hrRB 9 . 0C F F 有电介质高斯定理 （2 2）地球表面电场强度为）地球表面电场强度为 2 0 4r Q E 可得地球表面的能量密度为可得地球

34、表面的能量密度为 2 0 2 1 Ewe 4 0 2 2 32r Q 可得电能为可得电能为 2 2 Q W C 8 104 . 5 J/mJ/m3 3 9 104 . 1J J （3 3）由于）由于hrhr，大气层可简化为长为，大气层可简化为长为h h 、截面积为、截面积为 的导体，其电阻为的导体，其电阻为 2 4 r 2 4 r h R 2 103 有电介质高斯定理 + CR （4 4）等效回路如图所示）等效回路如图所示 放电回路时间常数为放电回路时间常数为 270RC s s （5 5）要补充大气电容器的电荷，必须发生雷电的次数为）要补充大气电容器的电荷，必须发生雷电的次数为 4 5 102 25 105 C C N 进一步计算表明，进一步计算表明，3030分钟后电荷就只剩分钟后电荷就只剩0.3%0.3%，近似认为放，近似认为放 电完毕。电完毕。 即每即每3030分钟要产生雷电次数为分钟要产生雷电