北大附中高考数学专题复习简单几何体

1、学科：数学教学内容：简单几何体【考点梳理】一、考试内容1棱柱（包括平行六面体）。棱锥。多面体。2球。3体积的概念与体积公理。棱柱、棱锥的体积。球的体积。二、考试要求1理解棱柱、棱锥、球及其有关概念和性质。掌握直棱柱、正棱锥、球的表面积和体积公式，并能运用这些公式进行计算。3了解多面体的概念，能正确画出棱柱、正棱锥的直观图。对于截面问题，只要求会解决与几种特殊的截面（棱柱、棱锥的对角面，棱柱的直截面，球的截面）以及已给出图形或它的全部顶点的其他截面的有关问题。三、考点简析1棱柱2棱锥 3棱柱、棱锥的侧面积与体积s正棱柱侧=ch s正棱锥侧= ch v柱体=s h v锥体=sh4球s球=4r2 v

2、球=r3四、思想方法1割补法。它是通过“割”与“补”等手段，将不规则的几何体转化为规则的几何体，是一种常用的转化方法。2正棱锥的计算问题。应抓住四个直角三角形和两个角。四个直角三角形，即正棱锥的高、侧棱及其在底面上的射影、斜高及其在底面上的射影、底面边长的一半组成的四个直角三角形。两个角，即侧棱与底面所成的线面角，侧面与底面所成的二面角。四个直角三角形所围成的几何体称之为“四直角四面体”，它是解决棱锥计算问题的基本依据，必须牢固掌握。3正棱锥的侧面积与底面积的关系。正棱锥：s底=s侧cos4多面体中表面上两点的最短距离。多面体中表面上两点的最短距离，就是其平面展开图中，连结这两点的线段长度，这

3、是立体几何中求最短距离的基本依据（球面上两点间的距离除外）。5关于组合体体积的计算问题。有很多的几何体，都由一些简单几何体所组成，这样的几何体叫做组合体。构成组合体的方式一般有两种：其一是由几个简单几何体堆积而成，其体积就等于这几个简单几何体体积之和；其二是从一个简单几何体中挖去几个简单几何体而成，其体积就等于这个几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积。因此，组合体体积的求法，即为“加、减”法，关键是合理的分割，可使计算简化。6关于等积变换问题。等积变换的依据是等底等高的棱锥体积相等。等积变换求体积或求点到平面的距离，都是在基本几何体四面体和平行六面体中进行的。这是因为这些几何体变换底面后，

4、计算体积的方法不变，几何体仍为四面体和平行六面体，这样，我们就可以选择适当的面为底面，使计算简单、易行。若几何体本身不是四面体或平行六面体，则需先将其分成几个四面体或平行六面体之后，再施行等积变换。用等积变换求点到平面的距离，是用两种不同的体积计算方法，来建立所求距离的方程，使问题得解。异面直线间的距离，可转化为点到平面的距离，因此也可用等积变换求解。用等积变换求距离，可绕过距离的作图，从而降低了题目的难度。【例题解析】例1 如图81，已知斜三棱柱abca1b1c1的底面是直角三角形，accb，abc=30，侧面a1abb1是边长为a的菱形，且垂直于底面，a1ab=60，e、f分别是ab1、b

5、c的中点。（1）求证：ef侧面a1acc1；（2）求四棱锥ab1bcc1的体积；（3）求ef与侧面a1abb1所成角的大小。 （1）连结a1b、a1ca1abb1是菱形，且e是ab1的中点，e是a1b的中点。又f是bc的中点，efa1c。又a1c平面a1acc1，ef平面a1acc1，ef面a1acc1。（2）平面a1abb1平面abc，交线为ab，在平面a1abb1内，过a1作a1oab于o，则a1o平面abc，且h=a1o=a，又accb，abc=30，v accbb=v柱v aabc=sh sh=sh=acbca1o=a aa =a3（3）在平面abc内，过f作fhab于h，则fh侧面a

6、1abb1。连结eh，则hef为ef与侧面a1abb1所成的角。在rtfhb中，fh=bf=a,bh=a；在heb中，he=a，在rtehf中，tanhef=,hef=arctan。例2 如图83，三棱锥pabc中，abc是正三角形，pca=90，d为pa的中点，二面角pacb为120，pc=2，ab=2。（1）求证：acbd；（2）求bd与底面abc所成的角（用反正弦表示）；（3）求三棱锥pabc的体积。 解 （1）如图84，取ac中点e，连de、be，则depc，pcac，deac。abc是正三角形，beac。又de平面deb，be平面deb，debe=e，ac平面deb。db平面deb，

7、acdb。（2）法一：ac平面deb，ac底面abc，平面deb底面abc，eb是db在底面abc内的射影，dbe是bd与底面abc所成的角。又deac，beac，deb即为二面角pacb的平面角。在deb中，de=pc=1，be=ab=3，由余弦定理，得 bd2=12+32 213cos120=13，bd=，由正弦定理，得=，解得sindbe=，即bd与底面abc所成的角为arcsin。法二：ac平面deb，ac平面abc。平面deb平面abc，作df平面abc，f为垂足，则f在be的延长线上，dbf是bd与平面abc所成的角。deac，beac，deb是二面角pacb的平面角。在rtdbf

8、中，de=pc=1，be=ab=3，deb=120，def=60，df=。在deb中，由余弦定理得bd=，sindbf=，故bd与底面abc所成的角为arcsin。（3）ac平面deb，ac平面pac，平面deb平面pac，过点b作平面pac的垂线段bg，垂足g在de的延长线上。在rtbeg中，beg=60，be=3，bg=，vpabc=vbpac=spacbg=3。例3 如图85，三棱锥pabc中，已知pabc，pa=bc=l，pa、bc的公垂线de=h，求三棱锥pabc的体积。分析：思路一直接求三棱锥pabc的体积比较困难。考虑到de是棱pa和bc的公垂线，可把原棱锥分割成两个三棱锥peb

9、c和aebc，利用pa截面ebc，且ebc的面积易求，从而体积可求。解 如图851，连结be，ce。de是pa、bc的公垂线，pade。又pabc，pa截面ebc。vpebc=sebcpe，vaebc=sebcae。debc，sebc=bcde=lh,vpabc=vpebc+vaebc=sebc（pe+ae）=pasebc=l2h。注 本例的解法称为分割法，把原三棱锥分割为两个三棱锥，它们有公共的底面ebc，而高的和恰为pa，因而计算简便。思路二 本题也可用补形法求解。解 如图852，将abc补成平行四边形abcd，连结pd，则paad，且bc平面pad，故c到平面pad的距离即为bc和平面p

10、ad的距离。mnpa，又mnbc，bcad，mnad， mn平面pad。故 vpabc=vpadc=vcpad=spadmn=（paad）mn=l2h。注 本题的解法称为补形法，将原三棱锥补形成四棱锥，利用体积互等的技巧进行转换，以达到求体积的目的。本题也可将三棱锥补成三棱柱求积。想一想，怎样做？例4 如图86，在四棱锥pabcd中，底面abcd是边长为a的正方形，并且pd=a, pa=pc=a。（1）求证：pd平面abcd；（2）求异面直线pb与ac所成的角；（3）求二面角apbd的大小；（4）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径。解 （1）pc=a，pd=dc=a,pdc是rt，且pd

11、dc。同理，pdad。而addc=d，pd平面abcd。（2）如图87，连bd，abcd是正方形，bdac。又pd平面abcd。bd是pb在平面abcd上的射影。由三垂线定理，得pbac。pb与ac成90角。（3）设acbd=o，作aepb于e，连oe。acbd，又pd平面abcd，ac平面abcd。pdac。而pdbd=d，ac平面pdb，则oe是ae在平面pdb上的射影。由三垂线定理逆定理知oepb，aeo是二面角apbd的平面角。pd平面abcd，daab。paab。在rtpab中，aepb=paab。又ab= a ，ap=a，pb=a，ae=a。 又ao=asinaeo=,aeo=60

12、二面角apbd的大小为60。（4）设此球半径为r，最大的球应与四棱锥各个面相切，球心为s，连sa、sb、sc、sd、sp，则把此四棱锥分为五个小棱锥，它们的高均为r。由体积关系，得vpabcd=r（spdc+ spda+ spbc+ spab+ s正方形abcd）=r（+a2+a2 + a2）。又，r(2a2+a2)= a3r=。例5 如图88，已知长方体abcda1b1c1d1中，ab=bc=4，aa1=8，e、f分别为ad和cc1的中点，o1为下底面正方形的中心。求：（1）二面角cebo1的正切值；（2）异面直线eb与o1f所成角的余弦值；（3）三棱锥o1bef的体积。解 如图89，（1）

13、取上底面的中心o， ogeb于g，连oo1和go1。由长方体的性质得oo1平面abcd，则由三垂线定理得o1geb，则ogo1为二面角cebo1的平面角。由已知可求得eb=2。利用abegeo（图810），可求得og=。在rto1og中，tano1go=4。（2）在b1c1上取点h，使b1h=1，连o1h和fh。易证明o1heb，则fo1h为异面直线eb与所成角。又o1h=be=，hf=5，o1f=2，在o1hf中，由余弦定理，得cosfo1h=（3）连hb，he，由o1heb，得o1h平面bef。vobef=vhbef= vebhf=sbhfabsbhf=32（18+34+44）=14bef

14、=144=例6 如图812，球面上有四个点p、a、b、c，如果pa，pb，pc两两互相垂直，且pa=pb=pc=a，求这个球的表面积。解 如图812，设过a、b、c三点的球的截面圆半径为r，圆心为o，球心到该圆面的距离为d。在三棱锥pabc中，pa，pb，pc两两互相垂直，且pa=pb=pc=a,ab=bc=ca=a,且p在abc内的射影即是abc的中心o。由正弦定理，得 =2r,r=a。又根据球的截面的性质，有oo平面abc，而po平面abc，p、o、o共线，球的半径r=。又po=a，oo=r a=d=,(ra)2=r2 (a)2，解得r=a,s球=4r2=3a2。注 本题也可用补形法求解。

15、将pabc补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径r=a,下略。例7 如图813所示，四面体abcd中，ab、bc、bd两两互相垂直，且ab=bc=2，e是ac的中点，异面直线ad与be所成的角为arccos，求四面体abcd的体积。解 如图814，过a引be的平行线，交cb的延长线于f，则daf是异面直线be与ad所成的角。daf=arccose是ac的中点，b是cf的中点，且bf=ab=2。abbc=2 af=2be=2df=da，dbba，dbbf，bf=ba，则三角形adf是等腰三角形，ad=，bd=4故四面体vabcd=abbcbd=，因

16、此四面体abcd的体积是。例8 如图815，在平行六面体abcda1b1c1d1中，已知ab=5，ad=4，aa1=3，abad，a1ab=a1ad=。（1）求证：顶点a1在底面abcd上的射影o在bad的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积。解 （1）如图816，连结a1o，则a1o底面abcd。作omab交ab于m，作onad交ad于n，连结a1m，a1n。由三垂线定得得a1mab，a1nad。a1am=a1an，rta1narta1ma,a1m=a1n，从而om=on。 点o在bad的平分线上。（2）am=aa1cos=3=ao=amsec=。又在rtaoa1中，a1o2=aa12 a

17、o2=9 =,a1o=，平行六面体的体积v=54=30。例9 如图817，已知正四棱柱abcda1b1c1d1，点e在棱d1d上，截面eacd1b，且面eac与底面abcd所成角为45，ab=a。（1）求截面eac的面积；（2）求异面直线a1b1与ac之间的距离；（3）求三棱锥b1eac的体积。（1999年全国高考试题）解 （1）如图818，连结db交ac于o，连结eo。底面abcd是正方形，doac。又ed底面ac，eoac。eod就是面eac与底面ac所成的二面角的平面角，eod=45。又do=a, ac=a, eo=asec45=a,故seac=a2。（2）由题设abcda1b1c1d1是正四棱柱，得a1a底面ac，a1aac。又a1aa1b1，a1a是异面直线a1b1与ac之间的公垂线。d1b面eac，且面d1bd与面eac交线为eo，d1beo。又o是db的中点，e是d1d的中点，d1b=2eo=2a。d1d=a，即异面直线a1b1与ac之间的距离为a。（3）法一：如图81