GM(1_1)灰色系统

1、灰色系统基本介绍灰色系统基本介绍 灰色系统理论。灰色系统理论灰色系统理论。灰色系统理论 （GreySystemTheory）的创立源于）的创立源于20世纪世纪80 年代。邓聚龙教授在年代。邓聚龙教授在1981年上海中年上海中-美控制系统美控制系统 学术会议上所作的学术会议上所作的“含未知数系统的控制问题含未知数系统的控制问题” 的学术报告中首次使用了的学术报告中首次使用了“灰色系统灰色系统”一词。一词。 1982年，邓聚龙发表了年，邓聚龙发表了“参数不完全系统的最参数不完全系统的最 小信息正定小信息正定”、“灰色系统的灰色系统的控制问题控制问题”等系等系 列论文，奠定了灰色系统理论的基础。他的

2、论文列论文，奠定了灰色系统理论的基础。他的论文 在国际上引起了高度的重视，美国哈佛大学教授、在国际上引起了高度的重视，美国哈佛大学教授、 系统与控制通信系统与控制通信杂志主编布罗克特杂志主编布罗克特 （Brockett）给予灰色系统理论高度评价，）给予灰色系统理论高度评价， 灰色系统的概念是由英国科学家艾什比灰色系统的概念是由英国科学家艾什比 （WRAshby）所提出的）所提出的“黑箱黑箱” （BlackBox）概念发展演进而来，是自动控制）概念发展演进而来，是自动控制 和运筹学相结合的产物。艾什比利用黑箱来描述和运筹学相结合的产物。艾什比利用黑箱来描述 那些内部结构、特性、参数全部未知而只能

3、从对那些内部结构、特性、参数全部未知而只能从对 象外部和对象运动的因果关系及输出输入关系来象外部和对象运动的因果关系及输出输入关系来 研究的一类事物。邓聚龙系统理论则主张从事物研究的一类事物。邓聚龙系统理论则主张从事物 内部，从系统内部结构及参数去研究系统，以消内部，从系统内部结构及参数去研究系统，以消 除除“黑箱黑箱”理论从外部研究事物而使已知信息不理论从外部研究事物而使已知信息不 能充分发挥作用的弊端，因而，被认为是比能充分发挥作用的弊端，因而，被认为是比“黑黑 箱箱”理论更为准确的系统研究方法。理论更为准确的系统研究方法。 所谓灰色系统是指部分信息已知而部分信所谓灰色系统是指部分信息已知

4、而部分信 息未知的系统，灰色系统理论所要考察和息未知的系统，灰色系统理论所要考察和 研究的是对信息不完备的系统，通过已知研究的是对信息不完备的系统，通过已知 信息来研究和预测未知领域从而达到了解信息来研究和预测未知领域从而达到了解 整个系统的目的。灰色系统理论与概率论、整个系统的目的。灰色系统理论与概率论、 模糊数学一起并称为模糊数学一起并称为研究不确定性系统的研究不确定性系统的 三种常用方法，具有能够利用三种常用方法，具有能够利用“少数据少数据” 建模寻求现实规律的良好特建模寻求现实规律的良好特性，克服了资性，克服了资 料不足或系统周期短的矛盾。料不足或系统周期短的矛盾。 目前，灰色系统理论

5、得到了极为广泛的应目前，灰色系统理论得到了极为广泛的应 用，不仅成功地应用于工程控制、经济管用，不仅成功地应用于工程控制、经济管 理、社会系统、生态系统等领域，而且在理、社会系统、生态系统等领域，而且在 复杂多变的农业系统，如在水利、气象、复杂多变的农业系统，如在水利、气象、 生物防治、农机决策、农业规划、农业经生物防治、农机决策、农业规划、农业经 济等方面也取得了可喜的成就。灰色系统济等方面也取得了可喜的成就。灰色系统 理论在管理学、决策学、战略学、预测学、理论在管理学、决策学、战略学、预测学、 未来学、生命科学等领域展示了极为广泛未来学、生命科学等领域展示了极为广泛 的应用前景。的应用前景

6、。 GM（1，1） GM（1，N） GM（M，1） GM（M，N） 灰色关联分析灰色关联分析 灰色规划灰色规划 灰色预测灰色预测 灰色判别灰色判别 灰色灾变控制灰色灾变控制 计算过程计算过程结合案例结合案例 灰色系统灰色系统GM（1，1）模型是依据系统中已知）模型是依据系统中已知 的多种因素的综合资料，将此资料的时间序列的多种因素的综合资料，将此资料的时间序列 按微分方程拟合去逼近上述时间序列所描述的按微分方程拟合去逼近上述时间序列所描述的 动态过程，进而外推，达到预测的目的。这种动态过程，进而外推，达到预测的目的。这种 拟合得到的模型是时间序列的一阶微分方程，拟合得到的模型是时间序列的一阶微

7、分方程， 因此，简记为因此，简记为GM(1，1)模型模型 GM（1，1）灰色系统及编程）灰色系统及编程 1.模型符号含义模型符号含义 G M G M （1 1， 1 1） Grey Model 1Grey Model 1阶方程阶方程 1 1个变量个变量 2生成数生成数 累加生成数（累加生成数（AGO）累减生成数（）累减生成数（IAGO） (1)累加生成数累加生成数1-AGO指一次累加生成。指一次累加生成。 记原始序列为记原始序列为 (0)(0)(0)(0) (1),(2),.,( )Xxxxn 一次累加生成序列为一次累加生成序列为 (1)(1)(1)(1) (1),(2),.,( )Xxxxn

8、 (1)(0)(1)(0) 0 ( )( )(1)( ) k i xkxixkxk 其中，其中， (2)累减生成数累减生成数(IAGO)是累加生成的逆运算。是累加生成的逆运算。 记原始序列为记原始序列为 (1)(1)(1)(1) (1),(2),.,( )Xxxxn 一次累减生成一次累减生成序列序列 (0)(0)(0)(0) (1),(2),.,( )Xxxxn 其中其中 (0)(1)(1) ( )( )(1)xkxkxk 规定规定 (1) (0)0 x 3GM(1,1)模型模型 令令 (0) X为为GM(1,1)建模序列，建模序列， (0)(0)(0)(0) (1),(2),.,( )Xxx

9、xn (1) X (0) X 为为 的的1-AGO序列，序列， (1)(1)(1)(1) (1),(2),.,( )Xxxxn (1)(0) 1 ( )( ) k i xkxi 1,2,.,kn (1) Z (1) X令令 为为的紧邻均值（的紧邻均值（MEAN）生成序列）生成序列 (1)(1)(1)(1) (2),(3),.,( )Zzzzn )( )1( kz )( )1( kx) 1( )1( kx=0.5+0.5 则则GM(1,1)的灰微分方程模型为的灰微分方程模型为 bkazkx)()( )1()0( ( , )Ta b 记记 n TT YBBB 1 )( 则灰微分方程的最小二乘估计参

10、数列满足则灰微分方程的最小二乘估计参数列满足 其中其中 B (1) (1) (1) (2)1 (3)1 . ( )1 z z zn n Y (0) (0) (0) (2) (3) . ( ) x x xn (1) (1) dx axb dt 称称为灰色微分方程为灰色微分方程 bkazkx)()( )1()0( 的白化方程，也叫影子方程。的白化方程，也叫影子方程。 综上所述，则有综上所述，则有 (1) (1) dx axb dt 白化方程白化方程的解也称的解也称 时间响应函数为时间响应函数为 (1)(1) ( )(0) at bb xtxe aa bkazkx)()( )1()0( 2.GM(1,1)灰色微分方程灰色微分方程 的时间响应序列为的时间响应序列为 (1) (1)xk (1) (0) b x a ak e b a 1,2,.,kn 3.取取 (1)(0) (0)(1)xx，则，则 (1) (1)xk ak e b a (0) (1) b x a 1,2,.,kn 4.还原值还原值 (0) (1)xk (1) (1)xk (1) ( )xk 上式即为预测方程。上式即为预测方程。 GM(1,1)模型的检验分为三个方面：模型