2022版高考数学大一轮复习课时作业47《立体几何中的向量方法》(含答案详解)VIP

1、2022版高考数学大一轮复习课时作业47立体几何中的向量方法如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.(1)证明：平面PEF平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中CDAB，BCAB，侧面ABE平面ABCD，且AB=AE=BE=2BC=2CD=2，动点F在棱AE上，且EF=FA.(1)试探究的值，使CE平面BDF，并给予证明；(2)当=1时，求直线CE与平面BDF所成角的正弦值.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ADC=90，A

2、BCD，AB=2CD.平面PAD平面ABCD，PA=PD，点E在PC上，DE平面PAC.(1)证明：PA平面PCD；(2)设AD=2，若平面PBC与平面PAD所成的二面角为45，求DE的长.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC=，AC=AA1=2.(1)求证：AC平面BEF；(2)求二面角BCDC1的余弦值；(3)证明：直线FG与平面BCD相交.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=AA1=2，D为棱CC1的中点，AB1A1B=O.(1)证明：C1O平面ABD；(2)设二面角DABC的正切值为，ACBC

3、，E为线段A1B上一点，且CE与平面ABD所成角的正弦值为，求的值.如图，在四棱锥PABCD中，ABC=ACD=90，BAC=CAD=60，PA平面ABCD，PA=2，AB=1.设M，N分别为PD，AD的中点.(1)求证：平面CMN平面PAB；(2)求二面角NPCA的平面角的余弦值.如图，在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，AB=6，BC=2，AC=2，D，E分别为线段AB，BC上的点，且AD=2DB，CE=2EB，PDAC.(1)求证：PD平面ABC；(2)若直线PA与平面ABC所成的角为，求平面PAC与平面PDE所成的锐二面角.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AA1=2，

4、点P，Q分别为A1B1，BC的中点.(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.如图所示，四棱锥PABCD的底面为矩形，已知PA=PB=PC=BC=1，AB=，过底面对角线AC作与PB平行的平面交PD于E.(1)试判定点E的位置，并加以证明；(2)求二面角EACD的余弦值.如图，底面ABCD是边长为3的正方形，平面ADEF平面ABCD，AFDE，ADDE，AF=2，DE=3.(1)求证：平面ACE平面BED；(2)求直线CA与平面BEF所成角的正弦值；(3)在线段AF上是否存在点M，使得二面角MBED的大小为60？若存在，求出的值；若不存在，说明

5、理由.答案详解解：(1)证明：由已知可得，BFPF，BFEF，所以BF平面PEF.又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.(2)作PHEF，垂足为H.由(1)得，PH平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由(1)可得，DEPE.又DP=2，DE=1，所以PE=.又PF=1，EF=2，故PEPF.可得PH=，EH=.则H(0,0,0)，P(0,0，)，D(1，0)，=(1，)，=(0,0，)为平面ABFD的法向量.设DP与平面ABFD所成角为，则sin=.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.解：(1)当=时，CE平面BDF

6、.证明如下：连接AC交BD于点G，连接GF，CDAB，AB=2CD，=，EF=FA，=，GFCE，又CE平面BDF，GF平面BDF，CE平面BDF.(2)取AB的中点O，连接EO，则EOAB，平面ABE平面ABCD，平面ABE平面ABCD=AB，且EOAB，EO平面ABCD，连接DO，BOCD，且BO=CD=1，四边形BODC为平行四边形，BCDO，又BCAB，ABOD，则OD，OA，OE两两垂直，以OD，OA，OE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则O(0,0,0)，A(0,1,0)，B(0，1,0)，D(1,0,0)，C(1，1,0)，E(0,0，).当=1时，有=，

7、F(0，)，=(1,1,0)，=(1,1，)，=(0，).设平面BDF的法向量为n=(x，y，z)，则有即令z=，得y=1，x=1，则n=(1，1，)为平面BDF的一个法向量，设直线CE与平面BDF所成的角为，则sin=|cos，n|=，故直线CE与平面BDF所成角的正弦值为.解：(1)证明：由DE平面PAC，得DEPA，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，CDAD，所以CD平面PAD，所以CDPA，又CDDE=D，所以PA平面PCD.(2)取AD的中点O，连接PO，因为PA=PD，所以POAD，则PO平面ABCD，以O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz，如图.由(1)得

8、PAPD，由AD=2得PA=PD=，OP=1，设CD=a，则P(0,0,1)，D(0,1,0)，C(a,1,0)，B(2a，1,0)，则=(a,2,0)，=(a,1，1)，设m=(x，y，z)为平面PBC的法向量，由得令x=2，则y=a，z=3a，故m=(2，a,3a)为平面PBC的一个法向量，由(1)知n=(a,0,0)为平面PAD的一个法向量，由|cosm，n|=|=，解得a=，即CD=，所以在RtPCD中，PC=，由等面积法可得DE=.解：(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，因为CC1平面ABC，所以四边形A1ACC1为矩形.又E，F分别为AC，A1C1的中点，所以ACEF.因为A

9、B=BC，所以ACBE.所以AC平面BEF.(2)由(1)知ACEF，ACBE，EFCC1.又CC1平面ABC，所以EF平面ABC.因为BE平面ABC，所以EFBE.如图建立空间直角坐标系Exyz.由题意得E(0,0,0)，B(0,2,0)，C(1,0,0)，D(1,0,1)，F(0,0,2)，G(0,2,1).所以=(1，2,0)，=(1，2,1).设平面BCD的法向量为n=(x0，y0，z0)，则即令y0=1，则x0=2，z0=4.于是n=(2，1，4).又因为平面CC1D的法向量为=(0,2,0)，所以cosn，=.由题知二面角BCDC1为钝角，所以其余弦值为.(3)证明：由(2)知平面

10、BCD的法向量为n=(2，1，4)，=(0,2，1).因为n=20(1)2(4)(1)=20，所以直线FG与平面BCD相交.解：(1)证明：如图，取AB的中点F，连接OF，DF.侧面ABB1A1为平行四边形，O为AB1的中点，OFBB1，OF=BB1.又C1DBB1，C1D=BB1，OFC1D，OF=C1D，四边形OFDC1为平行四边形，C1ODF.C1O平面ABD，DF平面ABD，C1O平面ABD.(2)如图，过C作CHAB于H，连接DH，则DHC即为二面角DABC的平面角.DC=1，tanDHC=，CH=.又AC=2，ACBC，BC=2.以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示.则

11、A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(0,0,1)，A1(2,0,2)，=(2,2,0)，=(0，2,1).设平面ABD的法向量为n=(x，y，z)，则取y=1，可得n=(1,1,2).设=(01).=(2，2,2)，=(2，22，2)，CE与平面ABD所成角的正弦值为|cos，n|=，整理，得3624413=0，解得=或，即=或.解：(1)证明：M，N分别为PD，AD的中点，MNPA.又MN平面PAB，PA平面PAB，MN平面PAB.在RtACD中，CAD=60，CN=AN，ACN=60.又BAC=60，CNAB.CN平面PAB，AB平面PAB，CN平面PAB.又CNMN=N，平面CMN平

12、面PAB.(2)PA平面ABCD，平面PAC平面ACD，又DCAC，平面PAC平面ACD=AC，DC平面PAC.如图，以点A为原点，AC所在直线为x轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，A(0,0,0)，C(2,0,0)，P(0,0,2)，D(2，2，0)，N(1，0)，=(1，0)，=(1，2)，设n=(x，y，z)是平面PCN的法向量，则即可取n=(，1，)又平面PAC的一个法向量为=(0，2，0)，cos，n=，由图可知，二面角NPCA的平面角为锐角，二面角NPCA的平面角的余弦值为.解：(1)证明：由题意知AC=2，BC=2，AB=6，AC2BC2=AB2，ACB=，cosABC=

13、.又易知BD=2，CD2=22(2)2222cosABC=8，CD=2，又AD=4，CD2AD2=AC2，CDAB.平面PAB平面ABC，CD平面PAB，CDPD，PDAC，ACCD=C，PD平面ABC.(2)由(1)知PD，CD，AB两两互相垂直，可建立如图所示的直角坐标系Dxyz，直线PA与平面ABC所成的角为，即PAD=，PD=AD=4，则A(0，4,0)，C(2，0,0)，B(0,2,0)，P(0,0,4)，=(2，2,0)，=(2，4,0)，=(0，4，4).AD=2DB，CE=2EB，DEAC，由(1)知ACBC，DEBC，又PD平面ABC，PDBC，PDDE=D，CB平面PDE，

14、=(2，2,0)为平面PDE的一个法向量.设平面PAC的法向量为n=(x，y，z)，则令z=1，得x=，y=1，n=(，1,1)为平面PAC的一个法向量.cosn，=，平面PAC与平面PDE所成的锐二面角的余弦值为，故平面PAC与平面PDE所成的锐二面角为30.解：如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，连接OB，OO1，则OBOC，OO1OC，OO1OB，以，为基底，建立空间直角坐标系Oxyz.因为AB=AA1=2，所以A(0，1，0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2).(1)因为P为A1B1的中点

15、，所以P(，2)，从而=(，2)，=(0,2,2)，故|cos，|=.因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为.(2)因为Q为BC的中点，所以Q(，0)，因此=(，0)，=(0,2,2)，=(0,0,2).设n=(x，y，z)为平面AQC1的法向量，则即不妨取n=(，1,1).设直线CC1与平面AQC1所成角为，则sin=|cos，n|=，所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为.解：(1)E为PD的中点.证明如下：如图，连接OE，因为PB平面AEC，平面PBD平面AEC=OE，PB平面AEC，所以PBOE.又O为BD的中点，所以E为PD的中点.(2)连接PO，因为四边形ABCD为矩形，

16、所以OA=OC.因为PA=PC，所以POAC.同理，得POBD，所以PO平面ABCD.以O为原点，OP所在直线为z轴，过O平行于AD的直线为x轴，过O平行于CD的直线为y轴建立空间直角坐标系(如图所示).易得A，B，C，D，P，E，则=，=，=.显然是平面ACD的一个法向量.设n1=(x，y，z)是平面ACE的法向量，则即取y=1，则n1=(，1,2)，所以cosn1，=，所以二面角EACD的余弦值为.解：(1)证明：因为平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCD=AD，DE平面ADEF，DEAD，所以DE平面ABCD.因为AC平面ABCD，所以DEAC.又因为四边形ABCD是正方形，所以ACBD.因为DEBD=D，DE平面BED，BD平面BED，所以AC平面BED.又因为AC平面ACE，所以平面ACE平面BED.(2)因为DA，DC，DE两两垂直，所以以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示.则A(3,0,0)，F(3,0,2)，E(0,0,3)，B(3,3,0)，