高中数学教学论文：为使高三数学复习更有实效谈起

1、让问题成为激活学生数学思维的载体为使高三数学复习更有实效谈起【摘 要】 数学家哈尔莫斯曾说“问题是数学的心脏”。问起于题，疑源于思，数学学习过程是一个复杂的思维过程。本文从高考复习中运用一题多解，激活学生思维的灵活性；运用联想和想象，培养思维的创造性；变换思考角度，培养学生思维的严密性；注重题后反思，培养思维的批判性等四个方面；并结合教学中的案例阐述让问题成为激活学生数学思维的载体，从而使高考复习更有实效。【关键词】 数学 问题 思维 复习 有效大家知道，对于高三数学复习，不仅要特别关注数学知识的发展过程和整体性，更要重视知识之间的联系和思维过程。然而，在实际教学中，笔者发现存在着许多误区：过

2、于重视陈述性知识，忽视程序性知识；过于重视题目的讲解，即一讲到底的满堂灌，忽视学生的思维体验；过于重视检测，忽视讲评，尤其第二、三轮复习中存在着练得多，讲评得少；过于重视类型归纳，忽视条理思路，虽有一定的长处，但容易使学生思维僵化，不利于发展学生解决新问题的能力。那么，在高三复习中，如何使数学复习更有实效？这是我们一线教师所要思考的一个重要课题。数学家哈尔莫斯曾说“问题是数学的心脏”。在长期的教学实践中，笔者认为，问起于题，疑源于思；数学学习过程是一个复杂的思维过程，数学教学是思维过程的教学，上述教学误区缺乏对数学思维的培养是制约高三复习质量的瓶颈。以问题为起点，精心设计问题链，重视学生思维的

3、培养，激活学生的思维，既能达到学生对数学的理解与感悟，又有利于改变学生只愿做题，还善于思考、总结、变通的现象，也能提高数学学习的兴趣，培养学生数学思维品质，因此，为使高三复习更有实效，笔者认为“让问题成为激活学生数学思维的载体”是一种好方法，下面谈谈自己的体会，以期同行教正。1 运用一题多解、多变与多用，激活学生思维的灵活性思维的灵活性是指能随机应变，触类旁通，不局限于某一方面，不受消极定势的束缚。在例题教学中，运用一题多解、一题多变、一题多用，这不仅从一种途径转向另一种途径，使学生思维始终趋于动的状态，有助于培养思维的灵活性，从而更好的达到提高解题的机智。例1 在三角变换的复习中，首先采用下

4、题（蔡小雄老师整理）与学生探讨一题多解：（08浙江高考第8题）若，则（ ）abcd思路1：由同角三角函数的基本关系式，得，可得的值，再由商式求得；这是一种常规思路的解法；思路2：由，比较得出的值；思路3：两边平方得到齐次方程，再化为的方程，从而求得的值；思路4：运用对偶式，两式平方相加，即得；思路5：运用辅助角公式将，转化为,其中，得,则;思路6：由，则，代入已知得，则此直线与单位圆相切，且切点为，故；思路7：将条件转化向量问题：,则，则得共线，于是，得；思路8：由柯西不等式当且仅当等号成立，故；思路9：，注意到，故，得.通过上述多种解法，可使学生思维始终处于一种“应该再从另一个角度来思考问题

5、”的动的状态。在这些证法中，汇聚了大量信息，从而拓宽了思维的领域，有效地训练了学生思维的灵活性。趁热打铁，引导学生运用上述命题的结构，还可进行一题多变和一题多用处理，通过这些方式的处理，学生思维的灵活性会进一步得到训练。事实上。这是一个简单的三角函数题，但却“借题发挥”，从三角函数的基本关系式，辅助角公式，直线与圆，向量，自选模块中的柯西不等式，导数的极值等了不同的出发点和角度，从一种途径转向另一种途径来寻求问题的答案，这样的复习才有效，既拓宽了解题思路，又增强知识间的相互联系，使各知识浑然一体，培养了学生不孤立的看待问题，体验了数学知识方法间的转化过程，让学生在平凡中领悟不平凡，重视基础题，

6、学会从多角度思考解题的方法和灵活的思维方式。高考复习的灵魂就在于深入挖掘数学的本质上大做文章，使好题、妙题生辉，充分例题功能的最大化。2.运用联想和推广，培养学生思维的独创性。思维的独创性是指完成思维活动的内容、途径和方法的自立程度，并通过独立思考创造出有一定新颖的成份，表现为思维不循常规，不拘常法，不落俗套，寻求变异，勇于创新。它又常以广泛的联想、推广、引伸及转换等数学思想方法为基础。高三的例题教学中，有不少例题往往是某一问题的特例，教学时，积极引导学生广泛联想，对这些特例作适当的引伸、推广，探索创造，寻找一般规律，有利于思维独创性品质的培养。例如 纵观近几年的浙江高考向量题，它的问题不仅能

7、通过“数”的运算，也可结合图形解决，在利用图形的方法中，通过构造恰当的图形，既增加问题的直观性，又可利用几何性质，省去一些计算，使问题能更准、快、活的得到解决，这就是形的方法，体现了向量形的神韵。为了让学生掌握形的方法，设计一组题链，使学生由浅入深学会通过题目中的条件构造符合的图形：(1) 若不共线,由能联想到的图形是 .(2)若不共线,满足,则由能联想到的图形是 .(3) 若三个不共线向量满足且,则由三个不共线向量能联想到的图形是 .(4)若不共线,由能联想到的图形是 .(5)若满足且,由此能联想到的图形是 .(6)若,且满足,由此联想到的图形是 .(7)若满足且,由此能联想到的图形是 .通

8、过前面的铺垫，让学生理解和感悟寻找向量背后的图形的方法和技巧，激发了学生探究向量问题的强烈兴趣。相互讨论中运用形的方法，较快地解决了近5年的浙江高考向量题。再如：（07浙江高考）若非零向量，满足，则（ c ）a b c d（图1）（图2）（图3）（08浙江高考）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ c ）（图2）a b c d（图3）（图1） 如图1，由圆的最长的弦是直径，的最大值是还可在此题目探究：1：若,其余条件保持不变呢?如上图2；2:若不垂直呢? 若,，如上图3.这一组题目，针对性地渗透数形结合基本数学思想方法的同时，培养学生观察、联想、类比归纳的能力，把衡量

9、学生数学思维与能力的重要标准之一的数形思想完美结合，在教学中凸显得淋漓尽致，而且体会转化思想，培养了学生思维的创造性。3.变换思考角度，培养学生思维的广阔性思维的广阔性是指思维发挥作用的范围广阔程度。在例题教学中，常以原题作为思维的出发点，将条件或目标加以变换，通过分析条件的实质以及条件之间的相互联系，让学生通过比较，产生思维上的认知冲突，从而训练发现题目中隐含条件能力，可以培养思维的广阔性。例如，在一组“形似质相异”的排列组合问题链：五人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的方法？1甲不站两端；2甲、乙不相邻；3甲、乙必须相邻；4甲、乙之间间隔两人；5甲不站左端乙不站右端；6甲、乙、丙三人从

10、左到右从高到低排列这一组问题中，让学生通过比较、对比来训练在排列问题中的“特殊元素”与“特殊位置”，“相邻问题”与“不相邻问题”，“定序”与“不定序”，“正面情况多”与“反面考虑”所采用的各种针对性策略，总结出排列问题的八大基本方法-“加减乘除，捆插隔化”。再如，学生常对审题中的细节不重视，又在线性规划问题求目标函数范围问题的转化比较薄弱，故复习中选了一组题目让学生去理解、感悟：已知,求的取值范围.1.改变定点如：求；2.改变范围如：；等；3.设置隐含条件如：求的取值范围；求的取值范围等；4.改变目标函数：如；区域面积等； 5.改变可行域：如不等式组表示的平面区域；抛物线的准线与双曲线的两条渐

11、近线所围成的区域等.6.增加变量，改变问题方式如：仅在点取最大值时的范围；待添加的隐藏文字内容3设为实数，若，求的取值范围； 若，且当时，恒有，求点所形成的平面区域的面积等在放手让学生做题中，让学生感悟到“题目会说话”，要让题目说话就是审题，它是解题的一个重要步骤，通过审题，收集信息，熟悉题目并深入思考，就会找到解题的入口，不忽视任何一个细节。高考复习忌在“就题论题”，这就好比是“戴着镣铐在跳舞”，让学生处理由浅入深的不同角度问题，双基训练更加落实，在认知冲突中思维更严密。 4.注重题后反思，培养思维的批判性思维的批判性是思维活动中的独立分析和批判的程度。它主要表现为有自己的独立见解，敢于怀疑

12、，有较高的辨误能力。在解题教学中，我们教师要有针对性地抓住具有普遍意义的典型错误，有意识地引导学生进行反思，进行错解辨析，提高学生的辨别和推理能力，从而达到培养思维批判性的目的。事实上，教的真谛在于导，学的成功在于悟。课堂教学的根本在于启发学生如何去想，让学生用内心创造与体验来学习，平时训练中，让学生掌握知识，提高分析和解决问题能力，在概括归纳中领悟数学思想和方法，在反思中提升能力。然而在实践中，许多学生不重视解题后的反思，往往只是草草完成老师布置的作业，对问题浅尝辄止，题做了不少，却收获甚微。针对这一情况借鉴了高考复习课中的案例：给出问题：直线与抛物线相交于a、b两点，求证：“如果直线过点，

13、那么”是真命题。 让学生独立思考，自行完成，并将一同学的解题抄在黑板：解：设直线的方程为，由得，则.又由得，则.,故命题得证。在解决后反思，该解法有什么问题？让学生归纳：问题1：所设直线的方程不全面遗漏了斜率不存在时直线的方程为,此时也满足题意；问题2：在两次消元后得到的方程中运用韦达定理都没考虑条件，需说明；问题3：字母,表示什么意义均未提及，需另设，继续反思，作何改进？1.没必要进行两次消元，由可得； 2.在解析几何中设直线方程常常对斜率存在或不存在进行，而本题中可知直线的斜率显然不为0，故可设避免讨论；同时还可总结形成解决直线与圆锥曲线问题的核心方法-运用韦达定理，常用步骤是：设、联、消

14、、判、定。再继续反思，能否自己编拟问题，如从命题的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断，或从问题的一般性出发等：1.逆命题是：设直线交抛物线于a、b两点，若，则直线过点；2. 直线交抛物线于a、b两点，若，则弦过定点反之成立；3. 若抛物线c：的一条动弦过定点，则为定值； 4还可以让学生了解更一般的情况：已知ab为抛物线c：的一条动弦，为坐标原点，当a、b两点位于x轴的两侧时，ab弦过定点）；当a、b两点位于x轴的同侧时，ab弦过定点这在一组问题中，师生互动，相互交流，一起弥补三个解题漏洞和缺陷，在完善、规范学生的解法后，教师及时点出这类问题通常有着“设、联、消、判、定”五个基本步骤，这样就让学生在实践中有了很强的针对性和操作性。还充分考虑到思维的循序渐进，使通过做题的学生都能体会到其中蕴含的规律，结合学生的解题经验上给出方向编拟题目，在解题中提高，在联系中发展，在总结中提升。高三复习不仅要让学生获得