数学建模太阳能小屋的设计

1、太阳能小屋的设计摘要太阳能发电从一定程度上摆脱了对化石燃料的依赖，成为减少温室气体排放的重要手段之一。太阳能发电潜力巨大，但开发成本可能相对较大，如何有效的降低太阳能发电成本提高效率成为太阳能发电产业自主的关键。本文主要讨论了太阳能小屋的设计问题，这是一个多目标优化问题，通过建立“辐射量分布模型”、“电池选用排序模型”、“最佳倾角模型”并借助matlab和lingo软件得到最优铺设方案。对于问题一，分别建立了“辐射量分布模型”和“电池选用排序模型”。用“辐射量分布模型”把各面墙全年总辐射量分段计算，得到不同范围内阳光全年辐射量总值。再据此用“电池选用排序模型”求出各面墙各电池单位面积上的利润。

2、得到电池选用最优排序，找出最适于各面墙的电池。依据逆变器的选用约束，得到各面墙的电池排布方案，具体见表四。此时35年总发电量为327285 ，经济效益为163640元，回收年限为23.74年。对于问题二，因为电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率，所以选择架空方式安装光伏电池。考虑到屋顶采光在各面墙中所占比率最大，所以采用四周墙壁电池不动，只调整屋顶电池倾角的方法铺设。查阅资料得到斜面辐射量与倾斜角度的关系式，斜面辐射量对倾斜角度求导并使之等于0，即可计算出最佳倾角，此时最佳倾角为35.1度，房顶各阶段全年辐射量分布见表六。采用此种排布方案，35年总发电量为381654 ，经济效益为1

3、90827元，回收年限为20.20年。可见采用最佳倾角的方式回收年限有所降低。对于问题三，在设计小屋时，不考虑实际室内采光、房屋美观性要求，建立线性规划模型，求出最大屋顶采光面积，因为屋顶采光在各面墙中所占比例最大，所以这种设计方式设计出来的小屋采光最好。设计出的小屋长15米，宽3.7米，净空高2.8米，屋顶坡度为35.1度，所有开窗部分设置在北墙，具体设计方案见图十，电池铺设方案见表八。在这种铺设方式下，35年总发电量为592830 ，经济效益为296415元，回收年限为20.44年。可见新设计的小屋虽然发电总量提高很多，但随着成本的上升，投资回收年限并没有降低很多。本模型把电池的选用和逆变

4、器的选用分开进行，使得问题大大简化。模型不仅可应用于光伏发电，还可用于风力发电系统，水力发电系统等。关键词：多目标规划、最佳倾角、太阳辐射1.问题重述1.1问题背景伴随着当前常规能源的日益短缺与环境恶化，开发利用可再生能源已亟不可待。太阳能作为一种最有潜力的可再生能源，以其优质的资源属性，受到了全球的关注，开发利用太阳能被认为是一种解决全球能源危机与气候问题的有效途径，各国纷纷加大了对太阳能资源的开发利用。我国同样如此，面对着目前以化石能源为主导的能源结构，国家将开发利用太阳能提升到我国能源发展战略地位，进行重点与优先发展。我国太阳能资源十分丰富，这使得我国有了开发利用太阳能的先决条件。1.2

5、问题提出由于我国太阳能资源丰富这一得天独厚的条件，设计太阳能小屋这一美好的假想被提出。在设计太阳能小屋时，需在建筑物外表面（屋顶及外墙）铺设光伏电池，光伏电池组件所产生的直流电需要经过逆变器转换成220v的交流电才能供家庭使用，并将剩余电量输入电网。不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大，且每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响，如太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式（贴附或架空）等。因此，在太阳能小屋的设计中，研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设是很重要的问题。下面我们以山西大同市为例来研究太阳能小屋的设计。要求根据附件中所给的数据

6、，建立模型解决下列三个问题，分别给出小屋外表面光伏电池的铺设方案，使得小屋全年太阳能发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小，并计算出小屋35年寿命期内的发电总量、经济效益（当前民用电价按0.5元/kwh）及投资的回收年限。问题一：请根据山西省大同市的气象数据，仅考虑贴附安装方式，选定光伏电池组件，对小屋（见附件2）的部分外表面进行铺设，并根据电池组件分组数量和容量，选配相应的逆变器的容量和数量。问题二：考虑到电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率，如果选择架空方式安装光伏电池，重新考虑问题一。问题三：根据附件7给出的小屋建筑要求，请为大同市重新设计一个小屋，要求画出小屋的外形图，

7、并对所设计小屋的外表面优化铺设光伏电池，给出铺设及分组连接方式，选配逆变器，计算相应结果。注：1.要求在求解每个问题时，都要配有图示，给出小屋各外表面电池组件铺设分组阵列图形及组件连接方式（串、并联）示意图，也要给出电池组件分组阵列容量及选配逆变器规格列表。2.在同一表面采用两种或两种以上类型的光伏电池组件时，同一型号的电池板可串联，而不同型号的电池板不可串联。在不同表面上，即使是相同型号的电池也不能进行串、并联连接。应注意分组连接方式及逆变器的选配。2.符号说明电池板的编号（）。：墙的方向（）。：每面墙所需电池板的面积（）。：不同电池所获等效光照量（）。 ：不同墙所获3080 范围全年光照量

8、（ ）。 ：不同墙所获80200范围全年光照量（ ）。 ：不同墙所获大于200范围全年光照量（ ）。：每种电池板的转换效率（）。：每种电池的单位面积全年总收益（）。：铺设光伏电池的费用。：倾斜面上的太阳辐射总量。：倾斜面上直接太阳辐射量。：倾斜面上天空散射辐射量。：倾斜面上地面反射辐射量。：倾斜面上的日出时角。：水平面上太阳辐射总量。：水平面上的直接太阳辐射量。：水平面上天空散射辐射量。：大气层外水平面上太阳辐射量。：水平面上的日出时角。：地物表面反射率。：倾斜角的大小。 倾斜面与水平面上太阳直接辐射量之比。 ：小屋长。 ：小屋宽。 ：小屋高。 ：东墙开窗面积。 ：西墙开窗面积。 ：南墙开窗面

9、积。 ：北墙开窗面积。3.问题假设假设一：天空散射辐射量是均匀分布的。假设二：对于确定的地点，其太阳辐射量及地面反射率等均为常量。假设三：不考虑光伏电池板的安装及维护成本。假设四：所有的光伏电池均为合格品，35年的寿命期内除效率降低外不存在其它形式降低发电量的情况。假设五：不考虑个光伏电池板之间的铺设间隙。假设六：逆变器不铺设在墙上。4.问题分析与建模思路太阳能小屋是利用太阳能发电的新热点设计出的节能环保的建筑，具有节约占用地，减少由于输电的线路投资和损失等优点。在设计太阳能小屋时，铺设在建筑外表面的光伏电池发电量受诸多因素的影响。因此，研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设是光伏电池产业发展的一

10、个实际课题。问题一要求根据山西省大同市的气象数据，仅考虑贴附安装方式，对小屋外表面进行铺设。解决这个问题分两步走，先进行电池的选择，再根据电池选择逆变器。根据不同墙面全年受到的光照情况，以辐射量在：小于30、30200、大于200的区间进行分类，找出各对应区间全年总辐射量。因为每种电池对应不同的辐射强度产生的效率是不同的，根据各电池单位面积全年产生的利润，可求出最适合此面墙的电池，依据单位面积利润进行排序，根据墙面具体形状要求优先选取利润高的电池。选好电池以后咱根据功率要求和电流、电压要求选取满足条件的、价格低的逆变器，进行铺设。问题二要求用架空的方式重新考虑问题一。因为四周墙壁上辐射量相比于

11、屋顶辐射量很小，所以四周墙壁不采取架空方式，只对屋顶电池板调整角度。通过查找资料得出最佳倾角，进而通过改变屋顶电池板倾角来获取更大的发电量。问题三要求根据附件七的要求自己设计一个太阳能小屋。在这里就不考虑实际室内采光与美观性的要求了，即把开窗面积尽可能设计到接受太阳辐射小的墙壁上。通过建立一个线性规划模型即可求出小屋的具体设计尺寸。铺设方法依据问题一、二的结论铺设。5.模型的建立与求解5.1问题一的分析与求解5.1.1模型一的建立该问要求根据附件4中所给出的关于山西省大同市的气象数据，仅考虑贴附安装的方式，选定光伏电池组件，对小屋的外表面进行优化铺设。5.1.1.1“辐射量分布模型”东西南北四

12、面墙可根据附件4给出的山西省大同市的气象数据直接算出全年辐射量在：小于30、30200、大于200的数值。对于屋顶，因为有倾斜度，所以要考虑倾斜角对辐射量的影响。查阅资料得：太阳总辐射量、直射辐射量 、散射辐射量 之间的关系为:倾斜面上太阳辐射总量 由倾斜面上直射辐射量 、天空散射辐射量 和地面反射辐射量 三部分组成。即：（1） 对于 其中 为当地纬度， 为光伏电池倾角， 为太阳赤纬角， 为水平面上日落时角， 为倾斜面上日落时角。（2）对于 其中 （3）对于 ，其中 取0.2 。综上得倾斜面上太阳总辐射量为：5.1.1.2“电池选用排序模型”为了便于计算，给出字母假定：代表电池板的型号（=1,

13、2,24），代表墙的方向(1,2,6)。因逆变器的价格比较高且对于不同的光伏电池组还要求选配合适的逆变器，要求比较高且繁琐，因此我们首先先不考虑逆变器。题中要求我们所求的在35年寿命期内的经济效益达到最大，对于不同的电池组，利润是大不一样的。所获得的利润和电池板的面积，总光照强度以及其对太阳光的转换效率有关，且随着电池组的使用年限加长，其发电效率在逐年下降，前10年可达100%，紧接着的15年只剩下了90%，最后的十来年就只有80%了。当前民用电价为0.5kwh。根据这些条件，我们给出单位面积利润的目标函数：题中有交待，不同的光伏电池类型对于不同光照强度转换效率是不一样的。对于a类电池，得到如

14、下约束条件：，此时=1,2,6。对于b类电池的分析，得到如下约束条件，此时7,8,13。对于c类电池的分析，得到如下约束条件，此时14,1524。所以模型为： =1,2,6 7,8,13 14,15245.1.2模型一的求解首先我们处理了附件4给出的山西省大同市的气象数据，我们将光照强度分类处理：得到下表一：表一：各面墙各阶段全年辐射量分布( ) 辐射朝向小于3030200大于200东面5683.43191719.87402439.61南面35700.9138479.87869221.64西面77666.12101791.46693344.01北面111310.3486951.7744888.

15、94根据辐射量分布模型求得屋顶全年辐射量分布为：表二：房顶各阶段全年辐射量分布( )范围小于3030200大于200辐射量5683.43191719.87402439.61在求解电池排序模型时，考虑到墙面积的限制因素较多，所以只求出利润最大值是不够的，把不同类型电池对应利润按从小到大排序，如表三表三：各面墙贴附每一种型号的电池一年带给的经济效益排序东面电池南电池西电池北电池顶上南部电池-2767.642-391.552-1294.352-4592.37274.2619-2511.426-353.86-1173.66-4168.37674.8220-2284.654-293.944-1050.3

16、24-3813.444148.5521-2074.845-270.435-956.025-3460.555222.0722-1820.561-236.841-838.581-3340.298222.9923-1444.31346.4519-353.873-3075.0712930.0924-1387.21846.8420-21.288-3036.7811077.4215-1261.961292.92216.0712-2856.15111404.821-1132.667138.84226.2613-2794.8731600.015-1068.7213139.49236.927-2762.1171

17、672.1517-1019.8410314.33315.3610-2605.81131769.614-95011581.882435.7219-2500.03101858.3518-692.949673.941536.0420-2137.1791858.611417.2119821.461071.4521-97.24181860.21617.4220843.3513106.7222-97.2141882.75634.4221894.317107.2623-96.94162071.47251.3422993.4812317.119-87.58172137.31351.7231042.368383

18、.111-56.47152547.610215.79241045.9717447.524-48.47242635.8413249.74151103.639518.2215-11.82222787.849387.64171162.4718804.3217-11.67232794.517430.87181162.6514893.9218-7.8213107.8612430.97141163.7716894.0714-3.9193319.988431.59161421.1911895.0116-3.81203644.0711从表中可以看出，北面墙所得的利润都是负值，所以无论在北面墙上贴那种电池，都不

19、会产生利润，顶上北部与之相似，所以北面墙和顶上北部不贴电池。实际情况中，电能的转化过程如下图所示:太阳光光伏电池控制电路逆变器蓄电池用户图一、电能转化流程图光伏电池组所产生的电流为直流电，我们日常生活中所需要的电流为交流电，所以必须要经过逆变器的转换才能为我们所用。在选择排布方式时要遵循以下四条原则：（1）因为逆变器的价格十分昂贵，所以我们在选择逆变器时，要使所选逆变器的种类尽量少，利用率要高。（2）因为电池并联电压要求范围要小于10%，所以尽量选取同种电池串并联，而不同电池选用不同逆变器，所以规定同一面墙选用电池种类不超过2种。（3）尽量选取利润最高的，但因为房屋结构，可做适当调整。（4）逆

20、变器的额定功率要大于光伏阵列的总功率，再此要求下尽量选取价格便宜的逆变器。经计算分析得到铺设方案，具体见下表：表四：各墙铺设方式铺设面东南西顶电池型号c3c2c3b5c5数量109121514排布方式2串5并3串3并2串6并5串3并2串7并逆变器sn12sn11sn12sn14sn11经分析求解，在此种安装方式下，结果估下表：表五:贴面铺设结果年发电量（） 35年发电总量（） 35年毛利润（元）成本（元）回收年限（年）1039032728516364011619023.74各面墙铺设图如下：c3(99,100)c3(99,100)c3(99,100)c3(99,100)c3(99,100)c3

21、(99,100)c3(99,100)c3(99,100)c3(99,100)c3(99,100)sn12(dc220,10)图二：东立面c2(62.3,58)c2(62.3,58)c2(62.3,58)c2(62.3,58)c2(62.3,58)c2(62.3,58)c2(62.3,58)c2(62.3,58)c2(62.3,58)sn11(dc220, 0.8)图三：南立面sn12(dc220,1.6)c3(99,100)c3(99,100)c3(99,100)c3(99,100)c3(99,100)c3(99,100)c3(99,100)c3(99,100)c3(99,100)c3(99,

22、100)c3(99,100)c3(99,100)图四：西立面sn14(dc220,4.0)b5(44.8,280)b5(44.8,280)b5(44.8,280)b5(44.8,280)b5(44.8,280)b5(44.8,280)b5(44.8,280)b5(44.8,280)b5(44.8,280)b5(44.8,280)b5(44.8,280)b5(44.8,280)b5(44.8,280)b5(44.8,280)b5(44.8,280)sn12(dc220,1.6)c5(100,100)c5(100,100)c5(100,100)c5(100,100)c5(100,100)c5(10

23、0,100)c5(100,100)c5(100,100)c5(100,100)c5(100,100)c5(100,100)c5(100,100)c5(100,100)c5(100,100)图五：顶部5.2问题二的分析与求解5.2.1背景资料查阅有关文献资料：在太阳能应用中，通常总是将采光面倾斜放置，所以选择最佳的倾斜角是太阳能工程设计的关键之一。关于最佳倾斜角，在不同的领域中应用是不一样的，在独立的光伏发电系统中，由于受到蓄电池荷电状态等因素的限制，因此要综合考虑光伏方阵面上太阳辐射量的连续性、均匀性和极大性，而对于多数太阳能热利用或并网光伏发电系统等，通常总是要求在全年中得到最大的太阳辐射量

24、。本问即以在倾斜面上接收到最大的太阳辐射量作为最佳倾角。一般气象台站提供的只是水平面上的太阳辐射资料，需要通过比较复杂的计算来确定倾斜面上的太阳辐射量5.2.2模型二的建立本问在计算天空散射辐射量时采用了hay模型，经过推导，得到了该地区倾斜面最佳倾角的数学表达式。1.太阳辐射量的计算倾斜面上的太阳辐射总量由直接太阳辐射量 、天空散射辐射量和地面反射辐射量三部分所组成，并认为天空散射辐射量是均匀分布的。倾斜面上天空散射辐射量是由太阳光盘的辐射量和其余天空穹顶均匀分布的散射辐射量两部分组成，有：综上：得到求倾斜面上太阳总辐射量的公式为:2.倾斜面上最佳倾角的确定事实上，由上述公式求出最佳倾斜角是

25、比较困难的，考虑到倾斜面上日出时角和水平面上的日出时角是相等的，我们根据这一条件推导出较简易的求最佳倾角的数学表达式：对于确定的地点，其太阳辐射量及地面反射率等均为常量，可将 对 求导，并令 ，可得：最佳倾斜角5.2.3模型二的求解经过计算，最佳倾角 为35.1度。把带入 的式子中，可得新的全年斜面光照总量分布，为：表六：房顶各阶段全年辐射量分布( )范围小于3030200大于200辐射量92053.2119355.911675254.7排布方式为：四周墙面上的电池不动，房顶电池使之倾斜，与水平面为=35.1度。使用此安装方式，得到的结果如下表：表七:架空铺设结果年发电量（） 35年发电总量（

26、） 35年毛利润（元）成本（元）回收年限（年）1211638165419082711619020.20由此可得，使用最优倾斜角使得总发电量变大，回收年限变短。因为各立面铺设方式同问题一，所以只给出屋顶铺设图。具体铺设方式如下图：图六：屋顶铺设图5.3问题三的分析与求解5.3.1模型的建立本题要求建立一个小屋，使得在附件七的要求下发电量最大，费用最低。根据前面的分析，最佳为 ，所以为了使房顶获得最大采光面积，把房顶的倾角设为 。因为无论在北墙铺设任一种电池都不会产生利润，所以不妨把北墙的开窗面积设为最大，如果此时满足窗地比的要求，则其他墙不开窗，如果不满足，则其他墙开窗。因为房顶光照条件最好，所

27、以目标函数为房顶得最大面积。设小屋长 ，宽 ，高 。东南西北的开窗面积为 。根据附件七的约束条件，得到以下多元线性规划的模型： 5.3.2模型的求解经过计算，得到以下最优解:依据第一题的计算方式及结果，得到以下排布方式：表八：各墙铺设方式墙东南西顶电池c3c1c3b5个数626630铺设方式3串2并2串13并3串2并6串5并逆变器sn11sn14sn11sn16按照此种设计及铺设方式，得到结果如下表九:小屋设计铺设结果年发电量（） 35年发电总量（） 35年毛利润（元）成本（元）回收年限（年）1882059283029641518254020.44从结果可以看出，虽然用这种设计方式使采光率得到

28、增加、年发电量有很大提高，但因为选用了大功率逆变器，成本也会随之增加，回收年限并没有降低太多。小屋总设计图如下：图十：小屋总设计图各面墙铺设图如下：图十一：顶部图十二：东立面图十三：西立面图十四：南立面6.模型的评价与推广6.1模型优点（1）本文从实际出发，建立了铺设太阳能小屋电池板的优化模型，在假设条件下，通过电池选用排序模型，找出各面最优电池板排序，根据电池选用逆变器，使得问题大大化简，求解效率得到提高。6.2模型缺点（1）在选用电池板时，因为墙壁限制条件过多，选用电池时有一定主观因素，可能选用的电池不是最优的。（2）在设计小屋时，只考虑采光效率最高，没有考虑实际使用情况，比如门窗只设计在了北立面，这在实际情况中是不科学的，会影响房屋采光。6.3模型推广本模型给出了太阳能小屋电池板最佳铺设方案的设计思路，据此可得到最佳铺设方式，以获得最大收益。本模型不仅可用于光伏产业，还可用于风力发电系统，依据各方位风量设计出风车最佳排布方案，还可用于水力发电，依据不同地段的水流量设计出最佳堤坝排布方式。模型在日常生活、工业生产上将会有更广泛的应用。7.参考文献1 李换琴，朱旭，matlab软件与基础数学实验，西安交通大学出版社，20152 李炳杰，数学建模教程，陕西师范大学出版社，20123 杨金焕