湖南省株洲市高三教学质量统一检测（一）理科数学试题及答案

1、绝密绝密启用前启用前 株洲市株洲市 20142014 届高三年级教学质量统一检测届高三年级教学质量统一检测 （一）（一） 数学试题（理工医农类）数学试题（理工医农类） 本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分满分卷（非选择题）两部分满分 150150 分，考试时间分，考试时间 120120 分钟分钟 第第卷（选择题）卷（选择题） 一、一、选择题选择题 ( (本大题共本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分，在每小题分，在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合要求的答案要写在答题卷上给出的四个选项中，只有一项是符合要求的答案

2、要写在答题卷上) ) 1 1设设i为虚数单位，若复数为虚数单位，若复数 1 a i- 的实部为的实部为 1 1，则实数，则实数a等于等于 （ ） a.-5a.-5 b.5b.5 c.-1c.-1 d.2d.2 2.2.下列有关命题正确的是下列有关命题正确的是（ ） a a “x=-1”“x=-1”是是“ 2 x-5x-6=0-5x-6=0 的必要不充分条件的必要不充分条件” b b命题命题“,rx使得使得 2 x+x+1+x+10”的否定是：的否定是：“rx均有均有 2 x+x+1+x+1 0” c c命题命题“若若 x=y,x=y,则则 sinx=siny”sinx=siny”的逆否的逆否命

3、命 题为真命题题为真命题 d d已知已知p p：00，则，则p ：00 1 1 x x1 1 1 1 x x1 1 3.3.阅读右面的程序框图，则输出的阅读右面的程序框图，则输出的k的值为的值为（ ） a a4 4b b5 5 c c6 6d d7 7 4 4设函数设函数)(xf为定义在为定义在 r r 上的奇函数，当上的奇函数，当0 x时，时， bxxf x 2 2 1 )(（b为常数）为常数） ，则，则) 1 (f （ ） a a1 1 b b3 3c c3d d1 5.5.已知点已知点 p p（3,33,3） ，q q（3,-33,-3） ，o o为坐标原点，动点为坐标原点，动点 m m

4、（x,x, y y）满足）满足 | 12 | 12 op om oq om ，则点，则点 m m 所构成的平面区域的面积是所构成的平面区域的面积是 ( ( ) ) a.a. 1212b.b. 1616c.c. 3232d.d. 6464 6.6. 在同一坐标系中，离心率为在同一坐标系中，离心率为 1 e的椭圆与离心率为的椭圆与离心率为 2 e的双曲线有相同的双曲线有相同 的焦点的焦点 12 ff 、，椭圆与双曲线的一个交点与两焦点，椭圆与双曲线的一个交点与两焦点 12 ff 、的连线互的连线互 相垂直，则相垂直，则 22 12 11 ee ( ( ) ) (a)(a)2 2 （b b）3 3

5、（c c） 5 3 （d d） 5 2 7 7已知函数已知函数( )sin()(0) 3 f xx ，若，若()() 63 ff 且且( )f x在区间在区间 (,) 6 3 上有最小值，无最大值。则上有最小值，无最大值。则的值为（的值为（ ） a a 2 3 b b 5 3 c c14 3 d d 38 3 8.8.若实数若实数a、b、c、d满足满足 2 2ln41 1, 33 aa cd b 。则。则 22 )()(dbca的的 最小值最小值 为为 ( ( ) ) a.a. 1 10 b.b. 2 ln2 5 c.c. 2 2 (1 ln2) 5 d.d. 2 (92ln3) 10 第第卷

6、（非选择题）卷（非选择题） 二、填空题二、填空题 ( (本大题共本大题共 7 7 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3535 分分).). 9.9.过点过点)3 , 2(a且垂直于直线且垂直于直线052 yx的直线方程为的直线方程为 1010已知已知m m是是abcabc内的一点，且内的一点，且ab ac 2 2，bacbac3030，若，若 3 3 mbcmbc，mcamca和和mabmab的面积分别为的面积分别为 ，x x，y y，则，则 的最小值是的最小值是 1 1 2 2 1 1 x x 4 4 y y 1111一几何体的三视图如下图所示，则它的一几何体的三视图如下图所示

7、，则它的 体积为体积为 1212由曲线由曲线xy ，直线，直线2 xy及及y y轴所围成轴所围成 的图形的面积为的图形的面积为 1313若关于若关于x的方程的方程 2 4 kx x x 有四个不同的有四个不同的 实数根，则实数根，则k的取值范围是的取值范围是 1414已知函数已知函数)0()( 23 adcxbxaxxf图像的对称中心为图像的对称中心为)(,( 00 xfxm， 记函数记函数)(xf的导函数为的导函数为)(x f ，)(x f 的导函数为的导函数为)(x f ，则，则 有有0)( 0 x f若函数若函数 23 3)(xxxf，则，则 ) 2013 4025 () 2013 40

8、24 () 2013 2 () 2013 1 (ffff 1515对于实数对于实数x，将满足，将满足“01y且且xy为整数为整数”的实数的实数y称为实数称为实数 x的小数部分，用符号的小数部分，用符号x 表示表示. .已知无穷数列已知无穷数列 n a满足如下条件满足如下条件: : 来源来源:zxxk.com:zxxk.com 1 aa ; 1 1 (0) 0(0) n n n n a aa a . . ()()若若2a 时时, ,数列数列 n a通项公式为通项公式为 ()()当当 1 3 a 时时, ,对任意对任意 * nn都有都有 n aa, ,则则a的值为的值为 . . 三解答题：本大题共

9、三解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7575 分。解答应写出文字说明，证明分。解答应写出文字说明，证明 过程或演算步骤。过程或演算步骤。 1616 （本题满分（本题满分 1212 分）分） 在在abcabc中，角中，角a a，b b，c c所对的边分别为所对的边分别为cba,，已知函数，已知函数 aaxxxfcos 2 1 )cos(cos)( x(r r） （1 1）求函数）求函数( )f x的最小正周期和最大值；的最小正周期和最大值； （2 2）若函数）若函数)(xf在在 3 x处取得最大值，求处取得最大值，求 (coscos) ()sin abc bca 的值的值 17.(17

10、.(本小本小题满分题满分 1212 分分) ) 如图，已知斜三棱柱（侧棱不垂直于底面）如图，已知斜三棱柱（侧棱不垂直于底面） 111 abcabc的侧面的侧面 11 a acc与底面与底面abcabc垂直，垂直，2,2 3,2 2bcacab， 11 6aaac. . (1)(1) 设设 acac 的中点为的中点为 d d，证明，证明 1 ad 底面底面abc； (2)(2) 求侧面求侧面 11 a abb与底面与底面abcabc所成二面角的余弦值；所成二面角的余弦值； 18.18.( (本小本小题满分题满分 1212 分分) ) 已知数列已知数列 n a前前 n n 项和为项和为 1 1 ,

11、 2 nnn saa s首项为且，成等差数列成等差数列. . （i i）求数列）求数列 n a的通项公式；的通项公式； （iiii）数列满足）数列满足 2123 22 (log)(log) nn aa n b ，求证：，求证： 123 11111 2 n bbbb 19.19.( (本小本小题满分题满分 1313 分分) ) 设某企业在两个相互独立的市场上出售同一种商品，两个市场的设某企业在两个相互独立的市场上出售同一种商品，两个市场的 需求函数分别是需求函数分别是 11 218qp, , 22 12qp, ,其中其中 1 p和和 2 p分别表示该产品在分别表示该产品在 两个市场上的价格（单位

12、：万元两个市场上的价格（单位：万元/ /吨）吨） ， 1 q和和 2 q分别表示该产品在两个分别表示该产品在两个 市场上的销售量（即需求量，单位：吨）市场上的销售量（即需求量，单位：吨） ，并且该企业生产这种产品的，并且该企业生产这种产品的 总成本函数是总成本函数是52 qc，其中，其中q表示该产品在两个市场的销售总量，即表示该产品在两个市场的销售总量，即 21 qqq （1 1）试用）试用 1 q和和 2 q表示总利润，确定两个市场上该产品的销售量和价格，表示总利润，确定两个市场上该产品的销售量和价格， 使该使该企业获得最大利润企业获得最大利润； （2 2）在两地价格差别满足）在两地价格差别

13、满足 12 1 2 pp的条件下，推算该企业可能获得的条件下，推算该企业可能获得 的最大利润（取一位小数）的最大利润（取一位小数） 2020( (本小本小题满分题满分 1313 分分) ) 已知椭圆已知椭圆 2 2 :1 4 x my的左右焦点分别为的左右焦点分别为 f f1 1，f f2 2，o o 为坐标原点，过点为坐标原点，过点 p p（4 4，0 0）且不垂直于）且不垂直于 y y 轴的动直线轴的动直线l与椭圆与椭圆 m m 相交于相交于 a a、b b 两点，过两点，过 点点 a a、o o 的直线与椭圆交于另一点的直线与椭圆交于另一点 c c， （1 1）若）若15cpap ，求，

14、求 acac 的直线的方的直线的方 程；程； （2 2）求）求abc面积的最大值。面积的最大值。 2121. .( (本小本小题满分题满分 1313 分分) ) 设函数设函数 2 ( )(2)lnf xxaxax. . （1 1）求函数）求函数( )f x的单调区间的单调区间 （2 2）若函数）若函数( )f x有两个零点有两个零点 1 x， 2 x，且，且 12 xx，求证：，求证： 12 ()0 2 xx f 株洲市株洲市 20142014 届高三年级教学质量统一检测（一）届高三年级教学质量统一检测（一） 数学（理科）答案数学（理科）答案 命题人：王开和（市教科院）赵银生（市一中）陈瑜（市

15、二中）向伟命题人：王开和（市教科院）赵银生（市一中）陈瑜（市二中）向伟 民（九方中学）民（九方中学） 审题人：王开和（市教科院）赵银生（市一中）陈瑜（市二中）向伟审题人：王开和（市教科院）赵银生（市一中）陈瑜（市二中）向伟 民（九方中学）民（九方中学） 一、一、选择题选择题( (本大题共本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给分在每小题给 出的四个选项中，只有一项符合题目的要求出的四个选项中，只有一项符合题目的要求) ) 题号题号 1 12 23 34 45 56 67 78 8 答案答案 d dc ca ab bc ca ac cc c 二、填

16、空题（本大题共二、填空题（本大题共7 7小题，每小题小题，每小题5 5分，共分，共3535分）分） 9 9、042yx ; ; 1010、 1818 ; ; 1111、 3 35 ； 1212、 3 10 ; ; 1313、), 4 1 (； 1414、-8050-8050； 1515、(1)(1)12 ；(2)(2) 21或或 51 2 三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7575 分。解答应写出文字说明，证明分。解答应写出文字说明，证明 过程或演算步骤。过程或演算步骤。 1616、解：（、解：（1 1）依题意，）依题意，aaxxaxxfcos 2 1 sinsi

17、ncoscoscos)( 2 1 (cos2cossin2sin) 2 xaxa)2cos( 2 1 ax 所以函数所以函数( )f x的最小正周期是的最小正周期是, ,( )f x有最大值有最大值 1 2 .6.6 分分 （2 2）由（）由（i i）知：由）知：由zkka,2 3 2 ，得，得), 0(2 3 2 ka， 所以所以 3 2 a (coscos) ()sin abc bca cc cc cb cb sin) 3 sin( cos) 3 cos( sinsin coscos 3 sin 2 1 cos 2 3 sin 2 3 cos 2 3 cc cc .12.12 分分 171

18、7、 (1)(1)证明：证明： 2 3,ac ， 11 6aaac， 222 11 acaaac 三角形三角形 1 aac是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， 又又 d d 是斜边是斜边 acac 的中点，的中点， 1 adac 平面平面 11 a acc平面平面abc，a a1 1dd底面底面abc 66 分分 (2)(2)2,2 3,2 2bcacab， 222 acabbc 三角形三角形abc是直角三角形，过是直角三角形，过 b b 作作 acac 的垂线的垂线 bebe，垂足为，垂足为 e e， 则则 2 2 22 6 32 3 ab bc be ac ， 22 82 3 4 33 e

19、cbcbe 2 33 3 33 decdec 88 分分 以以 d d 为原点，为原点， 1 ad所在的直线为所在的直线为z轴，轴，dcdc 所在的直线为所在的直线为y轴，平行于轴，平行于 bebe 的直线为的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则 1 2 63 (0,3,0),(0,0, 3),0 33 aab 11 2 63 (0,3,3),3 33 a aab 设平面设平面 11 a abb的法向量为的法向量为( , , )nx y z ， 则则 1 1 0 0 n a a n ab a a ，即，即 330 2 63 30 33 yz xyz

20、化简化简 得得 2 230 zy xyz 令令2x ，得，得1,1yz ，所以，所以( 2, 1,1)p 是平面是平面 11 a abb的一个法向量的一个法向量. . 由（由（i i）得）得a a1 1dd面面abcabc，所以设平面，所以设平面 abcabc 的一个法向量为的一个法向量为(0,0,1)q 设向量设向量p 和和q 所成角为所成角为，则，则 2 11 cos 2 21 1 1 p q p q a 即侧面即侧面a a1 1 abbabb1 1 与底面与底面abcabc所成二面角的余弦值为所成二面角的余弦值为 1 2 . . 1212 分分 1818、(1)(1) 1 , 2 nn

21、a s ，成等差数列成等差数列, 1 2 2 nn as11 分分 111 11 12, 22 naaa当时，22 分分 当当 11 11 22;2 22 nnnn nsasa 时，, , 两式相减得：两式相减得： 11 1 22,2 n nnnnn n a assaa a 44 分分 所以数列所以数列 n a是首项为是首项为 1 2 ，公比为，公比为 2 2 的等比数列，的等比数列， 12 1 22 nn n aa 66 分分 （2 2） 21 223 2 2123 22 2222 loglogloglog(21)(21) nn nn aa n bnn 88 分分 111111 () 212

22、12 2121 n bnnnn 123 1111111 111 1+-+) 233 52121 n bbbbnn （）（）（ = = 111 (1) 2212n 1212 分分 1919、解（、解（1 1）设总利润为）设总利润为 m m 那么利润函数那么利润函数 m=m=q q1 1p p1 1+q+q2 2p p2 2-c=-c= q q1 1p p1 1+q+q2 2p p2 2-2(q-2(q1 1+q+q2 2)+5)+5 =-2q=-2q1 12 2-q-q2 22 2+16q+16q1 1+10q+10q2 2-5-5.4.4 分分 将利润函数变形为将利润函数变形为 m=-2(qm

23、=-2(q1 1-4)-4)2 2-(-(q q2 2-5)-5)2 2+52+52 .5.5 分分 当当 q q1 1=4=4，q q2 2=5=5 时即时即错误！链接无效。错误！链接无效。=10=10（万元）（万元） ，错误！链接无错误！链接无 效。效。=7=7 错误！链接无效。错误！链接无效。错误！链接无效。错误！链接无效。5252 错误！链接无效。错误！链接无效。 .6.6 分分 （2 2）由）由错误！链接无效。错误！链接无效。 令令 1 2(4)qx，错误！链接无效。错误！链接无效。，得，得错误！链接无效。错误！链接无效。 由实际意义知由实际意义知错误！链接无效。错误！链接无效。、错

24、误！链接无效。错误！链接无效。、错误！错误！ 链接无效。链接无效。错误！链接无效。错误！链接无效。错误！链接无效。错误！链接无效。都为正数得都为正数得错误！错误！ 链接无效。链接无效。 又又 12 1 2 pp得得错误！链接无效。错误！链接无效。即即 1 23 2 yx 化简得：化简得：错误！链接无效。错误！链接无效。 .8.8 分分 圆圆错误！链接无效。错误！链接无效。的圆心（的圆心（0,00,0）到）到 5 2 2 yx 的距离的距离 d=d= 错误！链接无效。错误！链接无效。 所以所以错误！链接无效。错误！链接无效。，即，即错误！链接无效。错误！链接无效。 实际上实际上错误！链接无效。错

25、误！链接无效。取一位小数取一位小数错误！链接无效。错误！链接无效。 49.9(49.9(万元万元) ) .13.13 分分 ( (利用直线与椭圆相切同样可得分利用直线与椭圆相切同样可得分) ) 2020、解：（、解：（1 1）设）设 c(x,y),c(x,y),则则(4,),(4, )cpxyapx y 2 15(4)(4)ap cpxxy a.3.3 分分 又又 c c 点在椭圆上，有：点在椭圆上，有： 22 44xy 联立联立解得解得0,1-xyy或1 所以所以 acac 的直线的方程为的直线的方程为0 x .6.6 分分 （2 2）设直线的方程为：，）设直线的方程为：，4xty， 112

26、2 ( ,), (,)a x yb xy 联立直线与椭圆方程得：联立直线与椭圆方程得： 22 (4)8 +120tyty 22 =6448+40tt满足t（）.8.8 分分 弦长弦长 2 22 12 2 12 = 1+-=4 1+ 4 t abtyyt t ， 又点又点 o o 到直线到直线l的距离为的距离为 2 4 +1t 所以所以 2 2 22 1216 =2= ab=16,12=m,= 4+16 abcoababc tm ssdts tm 令 = = 2 1616 =2 16 +16 + m m m m .13.13 分分 2121、 （1 1）( )2(2) a fxxa x 2 2(2)xaxa x (2)(1)xa x x (0)x 22 分分 当当0a 时，时，( )0fx ，函数，函数( )