毕业设计（论文）基于MATLAB的FIR数字滤波器的设计与优化

1、目目 录录 摘摘 要要.i i abstractabstract.iiii 引言 .1 1 绪论 .2 1.1 数字滤波器的研究背景与意义 .2 1.2 数字滤波器的发展趋势.3 1.3 数字滤波器的实现方法分析.5 1.4 matlab 简介 .6 2 数字滤波器的概述 .7 2.1 数字滤波器的基本结构 .8 2.1.1 iir 滤波器的基本结构 .8 2.1.1 fir 滤波器的基本结构 .10 2.2 数字滤波器的设计原理.12 2.2.1 滤波器的性能指标.13 2.2.2 fir 数字滤波器的设计方法 .14 2.3 iir 滤波器与 fir 滤波器的分析比较 .17 3 fir

2、数字滤波器设计.18 3.1利用窗函数法设计 fir 滤波器 .19 3.1.1 窗函数法的基本思想.19 3.1.2 几种常用的窗函数.19 3.2 用频率抽样法设计 fir 滤波器.29 3.2.1 逼近误差及改进措施.30 3.3 切比雪夫逼近法设计 fir 滤波器.31 4 fir 数字滤波器的最优化设计.33 4. 1 等波纹切比雪夫逼近准则.34 4. 2 remez 算法 .34 4.3 基于等波纹切比雪夫逼近准则的 fir df 的最优化设计.35 5 fir 数字滤波器的 matlab 仿真.36 5.1 典型窗函数及其调用格式.36 5.2 基于窗函数的 fir 滤波器的

3、matlab 实现.37 5.2.1 理想低通滤波器实现.37 5.2.2 系统各响应函数.37 5.2.3 滤波器主函数.38 5.2.4 滤波器主程序解析.41 5.3 仿真实验结果及分析.42 5.3.1 原信号的时域波形和处理后时域波形.42 5.3.2 原信号频域波形与处理后信号的频域波形.43 结束语 .44 参考文献参考文献.4545 致致 谢谢.4646 附录附录.4747 基于基于 matlabmatlab 的的 firfir 数字滤波器的设计与优化数字滤波器的设计与优化 摘摘 要要 随着信息时代和数字世界的到来，数字信号处理已成为今一门极其重要的学科 和技术领域。数字信号处

4、理在通信、语音、图像、自动控制、雷达、军事、航空航 天、医疗和家用电器等众多领域得到了广泛的应用。在数字信号处理应用中，数字 滤波器十分重要并已获得广泛应用。 数字滤波是数字信号处理的重要内容，数字滤波器可分为 iir 和 fir 两大类。 对于 fir 数字滤波器的设计，可以根据所给定的频率特性直接设计，文中采用的设 计方法是窗函数法。本文根据 fir 滤波器的特点，在 matlab 坏境下用窗函数设 计 fir 数字滤波器，并对信号进行分析，最后给出了 fir 带通滤波器对信号滤波的 效果。 关键词：数字滤波器 fir matlab 窗函数 matlab-based fir digital

5、 filter design and optimization abstract with the information age and the advent of the digital world, digital signal processing has become today a very important discipline and technical field. digital signal processing in communications, voice, image, automatic control, radar, military, aerospace,

6、 medical and household appliances and many other fields has been widely used. in digital signal processing applications, the digital filter is very important and has been widely used. digital filtering is an important part of digital signal processing, digital iir and fir filters can be divided into

7、 two broad categories. for the fir digital filter design, can be given according to the frequency characteristics of the direct design, design method used in the text is a window function method. based on the characteristics of fir filters in matlab under the bad with the window function throughout

8、the design fir digital filters, and signal analysis, and finally gives a fir band-pass filter the signal filtering effect. key words ：digital filter fir matlab window function 引言引言 模拟滤波器与数字滤波器的设计对工程，应用数学及计算机科学都是非常重要 的。对设计人员来说，滤波器是控制，信号处理和通信领域的重要组成部分。 近年来，不论是在科学技术研究，还是在产品的开发等方面，数字信号处理应用越 来越广泛，并取得了丰硕的

9、成果。数字滤波占有极其重要的地位。像处理、模式识 别、谱分析等应用中的一个基本处理算法。数字滤波是语音和图在许多信号处理应 用中用数字滤波器替代模拟滤波器具有许多优势。数字滤波器容易实现不同的幅度 和相位频率特性指标，克服了与模拟滤波器器件性能相关的电压漂移、温度漂移和 噪声问题。 在数字信号处理中，数字滤波是其基本处理方法之一，占有极其重要的地位。 数字信号发展过程中的另一个重大进展是数字滤波器按单位脉冲响应 h(n)的长度分 类可分有限脉冲响应(fir)滤波器和无限脉冲响应(iir)滤波器。两者各有优缺点： iir 滤波器能以较低的阶次获得相同的幅度滤波性能，但一般为非线性相位；fir 滤

10、 波器单位脉冲响应是有限长的，系统必定稳定，且可以做成严格的线性相位，故在 图像处理、数据传输等需要信道具有线性相位特性的场合应用广泛。fir 滤波器的 设计方法有窗函数法、频率抽样法等，两种方法分别从时域和频域为出发点来进行 设计。有限长单位冲激响应(fir)数字滤波器，与传统的通过硬件电路实现的模拟滤 波器相比有以下优点: (1)简化了硬件电路的设计，提高了硬件电路的集成度和可靠性。 (2)对干扰信号的抑制能力有了明显提高，这对系统的控制精度和稳定性的提高起到 了促进作用。 (3)数字滤波器的参数调节比起模拟滤波器来更加方便、灵活。 (4)数字滤波器可以实现数据的并行处理，提高了系统运行速

11、度 1 1 绪论绪论 1.11.1 数字滤波器的研究背景与意义数字滤波器的研究背景与意义 当今，数字信号处理1 (dsp：digtal signal processing)技术正飞速发展， 它不但自成一门学科，更是以不同形式影响和渗透到其他学科：它与国民经济息息 相关，与国防建设紧密相连；它影响或改变着我们的生产、生活方式，因此受到人 们普遍的关注。 数字化、智能化和网络化是当代信息技术发展的大趋势，而数字化是智能化和 网络化的基础，实际生活中遇到的信号多种多样，例如广播信号、电视信号、雷达 信号、通信信号、导航信号、射电天文信号、生物医学信号、控制信号、气象信号、 地震勘探信号、机械振动信号

12、、遥感遥测信号，等等。上述这些信号大部分是模拟 信号，也有小部分是数字信号。模拟信号是自变量的连续函数，自变量可以是一维 的，也可以是二维或多维的。大多数情况下一维模拟信号的自变量是时间，经过时 间上的离散化(采样)和幅度上的离散化(量化)，这类模拟信号便成为一维数字信号。 因此，数字信号实际上是用数字序列表示的信号，语音信号经采样和量化后，得到 的数字信号是一个一维离散时间序列；而图像信号经采样和量化后，得到的数字信 号是一个二维离散空间序列。数字信号处理，就是用数值计算的方法对数字序列进 行各种处理，把信号变换成符合需要的某种形式。例如，对数字信号经行滤波以限 制他的频带或滤除噪音和干扰，

13、或将他们与其他信号进行分离；对信号进行频谱分 析或功率谱分析以了解信号的频谱组成，进而对信号进行识别；对信号进行某种变 换，使之更适合于传输，存储和应用；对信号进行编码以达到数据压缩的目的，等 等。 数字滤波技术是数字信号分析、处理技术的重要分支2-3。无论是信号的获取、 传输，还是信号的处理和交换都离不开滤波技术，它对信号安全可靠和有效灵活地 传输是至关重要的。在所有的电子系统中，使用最多技术最复杂的是数字滤波器。 数字滤波器的优劣直接决定产品的优劣。 1.21.2 数字滤波器的发展趋势数字滤波器的发展趋势 在信号处理过程中，所处理的信号往往混有噪音，从接收到的信号中消除或减 弱噪音是信号传

14、输和处理中十分重要的问题。根据有用信号和噪音的不同特性，提 取有用信号的过程称为滤波，实现滤波功能的系统称为滤波器。在近代电信设备和 各类控制系统中，数字滤波器应用极为广泛，这里只列举部分应用最成功的领域。 (1) 语音处理 语音处理是最早应用数字滤波器的领域之一，也是最早推动数字信号处理理论 发展的领域之一。该领域主要包括 5 个方面的内容：第一，语音信号分析。即对语 音信号的波形特征、统计特性、模型参数等进行分析计算；第二，语音合成。即利 用专用数字硬件或在通用计算机上运行软件来产生语音；第三，语音识别。即用专 用硬件或计算机识别人讲的话，或者识别说话的人；第四，语音增强。即从噪音或 干扰

15、中提取被掩盖的语音信号。第五，语音编码。主要用于语音数据压缩，目前已 经建立了一系列语音编码的国际标准，大量用于通信和音频处理。近年来，这 5 个 方面都取得了不少研究成果，并且，在市场上已出现了一些相关的软件和硬件产品， 例如，盲人阅读机、哑人语音合成器、口授打印机、语音应答机，各种会说话的仪 器和玩具，以及通信和视听产品大量使用的音频压缩编码技术。 (2) 图像处理 数字滤波技术以成功地应用于静止图像和活动图像的恢复和增强、数据压缩、 去噪音和干扰、图像识别以及层析 x 射线摄影，还成功地应用于雷达、声纳、超声 波和红外信号的可见图像成像。 (3) 通信 在现代通信技术领域内，几乎没有一个

16、分支不受到数字滤波技术的影响。信源 编码、信道编码、调制、多路复用、数据压缩以及自适应信道均衡等，都广泛地采 用数字滤波器，特别是在数字通信、网络通信、图像通信、多媒体通信等应用中， 离开了数字滤波器,几乎是寸步难行。其中，被认为是通信技术未来发展方向的软件 无线电技术，更是以数字滤波技术为基础。 (4) 电视 数字电视取代模拟电视已是必然趋势。高清晰度电视的普及指日可待，与之配 套的视频光盘技术已形成具有巨大市场的产业；可视电话和会议电视产品不断更新 换代。视频压缩和音频压缩技术所取得的成就和标准化工作，促成了电视领域产业 的蓬勃发展，而数字滤波器及其相关技术是视频压缩和音频压缩技术的重要基

17、础。 (5) 雷达 雷达信号占有的频带非常宽，数据传输速率也非常高，因而压缩数据量和降低 数据传输速率是雷达信号数字处理面临的首要问题。告诉数字器件的出现促进了雷 达信号处理技术的进步。在现代雷达系统中，数字信号处理部分是不可缺少的，因 为从信号的产生、滤波、加工到目标参数的估计和目标成像显示都离不开数字滤波 技术。雷达信号的数字滤波器是当今十分活跃的研究领域之一。 (6) 声纳 声纳信号处理分为两大类，即有源声纳信号处理和无源声纳信号处理，有源声 纳系统涉及的许多理论和技术与雷达系统相同。例如，他们都要产生和发射脉冲式 探测信号，他们的信号处理任务都主要是对微弱的目标回波进行检测和分析，从而

18、 达到对目标进行探测、定位、跟踪、导航、成像显示等目的，他们要应用到的主要 信号处理技术包括滤波、门限比较、谱估计等。 (7) 生物医学信号处理 数字滤波器在医学中的应用日益广泛，如对脑电图和心电图的分析、层析 x 射 线摄影的计算机辅助分析、胎儿心音的自适应检测等。 (8) 音乐 数字滤波器为音乐领域开辟了一个新局面，在对音乐信号进行编辑、合成、以 及在音乐中加入交混回响、合声等特殊效果特殊方面，数字滤波技术都显示出了强 大的威力。数字滤波器还可用于作曲、录音和播放，或对旧录音带的音质进行恢复 等。 (9) 其他领域4 4 数字滤波器的应用领域如此广泛，以至于想完全列举他们是根本不可能的，除

19、 了以上几个领域外，还有很多其他的应用领域。例如，在军事上被大量应用于导航、 制导、电子对抗、战场侦察；在电力系统中被应用于能源分布规划和自动检测；在 环境保护中被应用于对空气污染和噪声干扰的自动监测，在经济领域中被应用于股 票市场预测和经济效益分析等等。 1.31.3 数字滤波器的实现方法分析数字滤波器的实现方法分析 数字滤波器的实现5，大体上有如下几种方法： (1) 在通用的微型机上用软件来实现。 软件可以由使用者自己编写或使用现成的。自 ieee dsp comm.于 1979 年推出 第一个信号处理软件包以来，国外的研究机构、公司也陆续推出不同语言不同用途 的信号处理软件包。这种实现方

20、法速度较慢，多用于教学与科研。 (2) 用单片机来实现。 目前单片机的发展速度很快，功能也很强依靠单片机的硬件环境和信号处理软 件可用于工程实际，如数字控制、医疗仪器等。 (3) 利用专门用于信号处理的 dsp 片来实现。 dsp 芯片较之单片机有着更为突出的优点，如内部带有乘法器、累加器，采用 流水线工作方式及并行结构，多总线，速度快，配有适于信号处理的指令等，dsp 芯片的问世及飞速发展，为信号处理技术应用于工程实际提供了可能。 1.41.4 matlabmatlab 简介简介 matlab6是美国mathworks公司开发的一种功能极其强大的高技术计算语言 和内容极其丰富的软件库，集数值

21、计算、矩阵运算和信号处理与显示于一身。该软 件最初是由美国教授cleve moler创立的。该软件利用了当时代表数值线性代数领域 最高水平的eispack和linpack两大软件包，并且利用fortran语言编写了最初的一套 交互式软件系统，matlab的最初版本便由此产生了。 最初的matlab由于语言单一，只能进行矩阵的运算，绘图也只能用原始的描 点法，内部函数只有几十个，因此功能十分简单。1984年该公司推出了第一个 matlab的商业版，并用c语言作出了全部改写。现在的matlab程序是mathworks公 司用c语言开发的，第一版由steve bangert主持开发编译解释程序，st

22、eve kleiman 完成图形功能的设计，john little和cleve moler主持开发了各类数学分分析的子 模块，撰写用户指南和大部分的m文件。接着又添加了丰富的图形图像处理、多媒体 功能、符号运算和与其它流行软件的接口功能，使matlab的功能越来越强大。 matlab系统主要由以下五个部分组成： (1)matalb语言体系。 matlab是高层次的矩阵数组语言，具有条件控制、 函数调用、数据结构、输入输出、面向对象等程序语言特性。利用它既可以进行小 规模端程，完成算法设计和算法实验的基本任务，也可以进行大规模编程，开发复 杂的应用程序。 (2)matlab工作环境 。这是对ma

23、tlab提供给用户使用的管理功能的总称。 包括管理工作空间中的变量据输入输出的方式和方法，以及开发、调试、管理m文件 的各种工具。 (3)图形句相系统 。这是matlab图形系统的基础，包括完成2d和3d数据图示、 图像处理、动画生成、图形显示等功能的高层matlab命令，也包括用户对图形图 像等对象进行特性控制的低层matlab命令，以及开发gui应用程序的各种工具。 (4)matlab数学函数库。这是对matlab使用的各种数学算法的总称。包括 各种初等函数的算法，也包括矩阵运算、矩阵分析等高层次数学算法。 (5)matlab应用程序接口(api)。这是matlab为用户提供的一个函数库，

24、使得 用户能够在matlab环境中使用c程序或fortran程序，包括从matlab中调用于程序 (动态链接)，读写mat文件的功能。 除此之外，matlab系统还具有如下特点： （1）具有易学易用的语言体系； （2）具有交互式的工作环境； （3）具有多层面的图像处理系统； （4）具有丰富高效的matlab工具箱； （5）具有便利的程序接口（api）; （6）应用领域广泛； （7）嵌入了面向对象编程语言。 2 2 数字滤波器数字滤波器的概述的概述 数字滤波器可以用差分方程、单位取样响应以及系统函数等表示。对于研究系 统的实现方法，即它的运算结构来说，用框图表示最为直接。 一个给定的输入输出关系

25、，可以用多种不同的数字网络来实现。在不考虑量化 影响时，这些不同的实现方法是等效的；但在考虑量化影响时，这些不同的实现方 法性能上就有差异。因此，运算结构是很重要的，同一系统函数，运算结构的 h z 不同，将会影响系统的精度、误差、稳定性、经济性以及运算速度等许多重要性能。 iir（无限长单位冲激响应）滤波器与 fir(有限长单位冲激响应)滤波器在结构上有 自己不同的特点，在设计时需综合考虑。 2.12.1 数字滤波器的基本结构数字滤波器的基本结构 作为线形时不变系统的数字滤波器可以用系统函数来表示，而实现一个系统函 数表达式所表示的系统可以用两种方法：一种方法是采用计算机软件实现；另一种 方

26、法是用加法器、乘法器、和延迟器等元件设计出专用的数字硬件系统，即硬件实 现。不论软件实现还是硬件实现，在滤波器设计过程中，由同一系统函数可以构成 很多不同的运算结构。对于无限精度的系数和变量，不同结构可能是等效的，与其 输入和输出特性无关；但是在系数和变量精度是有限的情况下，不同运算结构的性 能就有很大的差异。因此，有必要对离散时间系统的结构有一基本认识。 .1 iiriir 滤波器的基本结构滤波器的基本结构 一个数字滤波器可以用系统函数表示为： (2-1) 0 1 ( ) ( ) ( ) 1 m k k k n k k k b z y z h z x z a z 由这样的系统

27、函数可以得到表示系统输入与输出关系的常系数线形差分程为： (2-2) 00 ( )()() nm kk kk y na y nkb x nk 可见数字滤波器的功能就是把输入序列x(n)通过一定的运算变换成输出序列 。不同的运算处理方法决定了滤波器实现结构的不同。无限冲激响应滤波器的y(n) 单位抽样响应是无限长的，其差分方程如(2-2)式所示，是递归式的，即结构上h (n) 存在着输出信号到输入信号的反馈，其系统函数具有(2-1)式的形式，因此在z平面 的有限区间有极点存在。(0)z 前面已经说明，对于一个给定的线形时不变系统的系统函数，有着各种不同的 等效差分方程或网络结构。由于乘法是一种耗

28、时运算，而每个延迟单元都要有一个 存储寄存器，因此采用最少常熟乘法器和最少延迟支路的网络结构是通常的选择， 以便提高运算速度和减少存储器。然而，当需要考虑有限寄存器长度的影响时，往 往也采用并非最少乘法器和延迟单元的结构。 iir 滤波器实现的基本结构有： (1)iir 滤波器的直接型结构； 优点：延迟线减少一半，变为n 个，可节省寄存器或存储单元； 缺点：其它缺点同直接i型。 通常在实际中很少采用上述两种结构实现高阶系统，而是把高阶变成一系列不 同组合的低阶系统(一、二阶)来实现。 x(n) y(n) x(n-m)y(n-m) x(n-1) y(n-1) z-1 z-1 z-1 z-1 z-

29、1 z-1 z-1 z-1 b1 b2 bm -a1 -a2 -a3 b0 图 2-1 直接型 z-1 z-1 z-1 z-1 a01 a11 b11 b21 b1l b2l a2l a1l a1 图 2-2 并联型 (2)iir 滤波器的级联型结构； 优点：系统实现简单，只需一个二阶节系统通过改变输入系数即可完成； 极点 位置可单独调整； 运算速度快(可并行进行)； 各二阶网络的误差互不影响，总的 误差小，对字长要求低。 缺点：不能直接调整零点，因多个二阶节的零点并不是整个系统函数的零点， 当需要准确的传输零点时，级联型最合适。 (3)iir 滤波器的并联型结构。 优点：简化实现，用一个二阶

30、节，通过变换系数就可实现整个系统； 极、零点 可单独控制、调整，调整、只单独调整了第 对零点，调整、则单独调 1i 2i i 1i 2i 整了第 对极点； 各二阶节零、极点的搭配可互换位置，优化组合以减小运算误差；i 可流水线操作。 缺点：二阶阶电平难控制，电平大易导致溢出，电平小则使信噪比减小。 b1 b2 -b1l -b2l b0 z-1 z-1 z-1 z-1 a1l a2l a21 a11 -b11 -b21 图 2-3 级联型 .1 firfir 滤波器的基本结构滤波器的基本结构 fir 滤波器的单位抽样响应为有限长度，一般采用非递归形式实现。通常的 fir 数字滤波

31、器有横截性和级联型两种。 fir 滤波器实现的基本结构有： (1)fir 滤波器的横截型结构 表示系统输入输出关系的差分方程可写作： (2-3) 1 0 ( )( ) () n m y nh m x nm 直接由差分方程得出的实现结构如图 2-1 所示： x(n) z-1 h(1)h(n-2)h(n-1) h(0) z-1z-1z-1 y(n) 图 2-4 横截型（直接型、卷积型） 若h(n)呈现对称特性，即此 fir 滤波器具有线性相位，则可以简化加横截型结 构，下面分情况讨论： x(n) y(n) h(n-1)/2 z-1 z-1z-1z-1 z-1 z-1 z-1 h(0) h(1)h(

32、2) h(n-3)/2 图 2-5 n为奇数时 fir 滤波器实现结构 z-1 z-1z-1z-1 z-1 z-1 z-1 h(0) h(1)h(2) h(n/2-1) 图 2-6 n为偶数时 fir 滤波器实现结构 (2)fir 滤波器的级联型结构 将h(z)分解成实系数二阶因子的乘积形式： (2-4) ( n/ 2)n 1 n12 0k1k2k n 0k 1 h (z)h (n)zbb zb z 这时 fir 滤波器可用二阶节的级联结构来实现，每个二阶节用横截型结构实现。 如图所示： b01 h(1) z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 b02 b0(n-1) b11 b21

33、b12 b22 b1(n-1) b2(n-1) 图 2-7 fir 滤波器的级联结构 这种结构的每一节控制一对零点，因而在需要控制传输零点时可以采用这种结构。 2.22.2 数字滤波器的设计原理数字滤波器的设计原理 数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应 (iir)滤波器和有限长冲激响应(fir)滤波器。iir 滤波器的特征是，具有无限持续时 间冲激响应。这种滤波器一般需要用递归模型来实现，因而有时也称之为递归滤波 器。fir 滤波器的冲激响应只能延续一定时间，在工程实际中可以采用递归的方式 实现，也可以采用非递归的方式实现。数字滤波器的设计方法有多种，如双线性变

34、 换法、窗函数设计法、插值逼近法和 chebyshev 逼近法等等。随着 matlab 软件 尤其是 matlab 的信号处理工作箱的不断完善，不仅数字滤波器的计算机辅助设 计有了可能，而且还可以使设计达到最优化。 数字滤波器设计的基本步骤如下7： (1)确定指标 在设计一个滤波器之前，必须首先根据工程实际的需要确定滤波器的技术指标。 在很多实际应用中，数字滤波器常常被用来实现选频操作。因此，指标的形式一般 在频域中给出幅度和相位响应。幅度指标主要以两种方式给出。第一种是绝对指标。 它提供对幅度响应函数的要求，一般应用于 fir 滤波器的设计。第二种指标是相对 指标。它以分贝值的形式给出要求。

35、在工程实际中，这种指标最受欢迎。对于相位 响应指标形式，通常希望系统在通频带中具有线性相位。运用线性相位响应指标进 行滤波器设计具有如下优点：只包含实数算法，不涉及复数运算；不存在延迟 失真，只有固定数量的延迟；长度为 n 的滤波器(阶数为n-1)，计算量为数n/ 2 量级。因此，本文中滤波器的设计就以线性相位 fir 滤波器的设计为例。 (2)逼近 确定了技术指标后，就可以建立一个目标的数字滤波器模型。通常采用理想的 数字滤波器模型。之后，利用数字滤波器的设计方法，设计出一个实际滤波器模型 来逼近给定的目标。 (3)性能分析和计算机仿真 上两步的结果是得到以差分或系统函数或冲激响应描述的滤波

36、器。根据这个描 述就可以分析其频率特性和相位特性，以验证设计结果是否满足指标要求；或者利 用计算机仿真实现设计的滤波器，再分析滤波结果来判断。 .1 滤波器的性能指标滤波器的性能指标 我们在进行滤波器设计时，需要确定其性能指标。一般来说，滤波器的性能要 求往往以频率响应的幅度特性的允许误差来表征。以低通滤波器特性为例，频率响 应有通带、过渡带及阻带三个范围。 在通带内： j p 1 a h e 1 c 在阻带中： j ststc h e a 其中为通带截止频率, 为阻带截止频率，为通带误差, 为阻带误差。 c w st p a st a 与模拟滤波器类似，数字滤波器按频率特性划

37、分为低通、高通、带通、带阻、 全通等类型，由于数字滤波器的频率响应是周期性的，周期为。各种理想数字滤2 波器的幅度频率响应如图 2-8 所示： 图 2-8 各种理想数字滤波器的幅度频率响应 .2 2 firfir 数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法 iir 滤波器8的优点是可利用模拟滤波器设计的结果，缺点是相位是非线性的， 若需要线性相位，则要用全通网络进行校正。fir 滤波器的优点是可方便地实现线 性相位。 fir 滤波器单位冲激响应的特点：( )h n 其单位冲激响应是有限长(),系统函数为：( )h z11nn (2-3) m k k zkhzh)( 在有限平面有个零

38、点，而它的个极点均位于原点处。zmm0z fir 滤波器线性相位的特点： 如果 fir 滤波器的单位抽样响应为实数，而且满足以下任一条件： h n 偶对称 h nh mn 奇对称 h nh mn 其对称中心在处，则滤波器具有准确的线性相位。m / 2n 1. 窗函数设计法 一般是先给定所要求的理想滤波器频率响应，由导出，我() j d he () j d he ( ) d h n 们知道理想滤波器的冲击响应是无限长的非因果序列，而我们要设计的是( ) d h n 是有限长的 fir 滤波器，所以要用有限长序列来逼近无限长序列，( ) d h n( ) d h n( ) d h n 设： (2-

39、4) 1 ( )() 2 jjn dd h nheed 常用的方法是用有限长度的窗函数来截取即： w n( ) d h n (2-5) ( )( )( ) d h nn h n 这里窗函数就是矩形序列,加窗以后根据在时域是相乘关系,在频域则是( ) n rn 卷积关系： (2-6) () 1 ()() 2 jwjwj w dr h ehew ed 其中, 为矩形窗谱, 是 fir 滤波器频率响应.() jw r we() jw h e 通过频域卷积过程看的幅度函数的起伏现象,可知,加窗处理后，() jw h e h 对理想矩形的频率响应产生以下几点影响： (1)使理想频率特性不连续点处边沿加宽

40、，形成一个过渡带，其宽度等于窗的频 率响应的主瓣宽度。 (2)在截止频率的两边的地方即过渡带的两边，出现最大的肩峰值，肩峰的两侧 形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的多少，则取决于旁瓣 的多少。 (3)改变，只能改变窗谱的主瓣宽度，改变的坐标比例以及改变的绝对值n 大小，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例(此比例由窗函数的形状决定)。 (4)对窗函数的要求 a、窗谱主瓣尽可能窄，以获取较陡的过渡带； b、尽量减小窗谱的最大旁瓣的相对幅度；即能量集中于主瓣，使肩峰和波纹减 小，增大阻带的衰减。 2. 频率采样法： 窗函数设计法是从时域出发，把理想的用一定形状的窗函数截取成有限 d

41、hn 长的，来近似理想的，这样得到的频率响应逼近于所要求的理想 h n d hn() jw h e 的频率响应。() jw d he 频率抽样法则是从频域出发，把给定的理想频率响应加以等间隔抽样得() jw d he 到，然后以此作为实际 fir 滤波器的频率特性的抽样值，即( ) d h k( ) d h kh (k) (2-7) 2 ( )()| jw dd wk n hkhe 知道后，由 dft 定义可唯一确定有限长序列，利用这个频域抽样值h (k)( )h nn 同样利用频率内插公式可得 fir 滤波器的系统函数，及频率响应，( )h k h z() jw h e 即： 频率抽样法内插

42、公式： (2-8) 1 1 0 1( ) ( ) 1 nn k k n zh k h z nwz 频率抽样法优缺点： 优点：可以在频域直接设计，并且适合于最优化设计。 缺点：抽样频率只能等于的整数倍，或等于的整数倍加上。2/ n2/ n/ n 因而不能确保截止频率的自由取值，要想实现自由地选择截止频率，必须增加抽 c w 样点数，但这又使计算量增大。 n 为了提高逼近质量，减少通带边缘由于抽样点的陡然变化而引起的起伏振荡。 有目的地在理想频率响应的不连续点的边缘，加上一些过渡的抽样点，增加过渡带， 减少起伏振荡。 2.32.3 iiriir 滤波器与滤波器与 firfir 滤波器的分析比较滤波

43、器的分析比较 选择哪一种滤波器取决于每种类型滤波器的优点在设计中的重要性。为了能在 实际工作中恰当地选用合适的滤波器，现将两种滤波器特点比较分析9如下： (1)选择数字滤波器是必须考虑经济问题，通常将硬件的复杂性、芯片的面积或 计算速度等作为衡量经济问题的因素。在相同的技术指标要求下，由于 iir 数字滤 波器存在输出对输入的反馈，因此可以用较少的阶数来满足要求，所用的存储单元 少，运算次数少，较为经济。例如，用频率抽样法设计一个阻带衰减为 20db 的 fir 数字滤波器，要 33 阶才能达到要求，而用双线性变换法只需 45 阶的切比雪夫 iir 滤波器就可达到同样的技术指标。这就是说 fi

44、r 滤波器的阶数要高 510 倍左右。 (2)在很多情况下，fir 数字滤波器的线性相位与它的高阶数带来的额外成本相 比是非常值得的。对于 iir 滤波器，选择性越好，其相位的非线性越严重。如果要 使 iir 滤波器获得线性相位，又满足幅度滤波器的技术要求，必须加全通网络进行 相位校正，这同样将大大增加滤波器的阶数。就这一点来看，fir 滤波器优于 iir 滤波器。 (3) fir 滤波器主要采用非递归结构，因而无论是理论上还是实际的有限精度 运算中他都是稳定的，有限精度运算误差也较小。iir 滤波器必须采用递归结构，极 点必须在z平面单位圆内才能稳定。对于这种结构，运算中的舍入处理有时会引起

45、 寄生振荡。 (4)对于 fir 滤波器，由于冲激响应是有限长的，因此可以用快速傅里叶变换算 法，这样运算速度可以快得多。iir 滤波器不能进行这样的运算。 (5)从设计上看，iir 滤波器可以利用模拟滤波器设计的现成的闭合公式、数据 和表格，可以用完整的设计公式来设计各种选频滤波器。一旦选定了已知的一种逼 近方法(如巴特沃斯，切比雪夫等)，就可以直接把技术指标带入一组设计方程计算 出滤波器的阶次和系统函数的系数(或极点和零点)。fir 滤波器则一般没有现成的 设计公式。窗函数法只给出了窗函数的计算公式，但计算通带和阻带衰减仍无显式 表达式。一般 fir 滤波器设计仅有计算机程序可资利用，因而

46、要借助于计算机。 (6)iir 滤波器主要是设计规格化、频率特性为分段常数的标准低通、高通、带 通和带阻滤波器。fir 滤波器则灵活很多，例如频率抽样法可适应各种幅度特性和 相位特性的要求。因此 fir 滤波器可设计出理想正交变换器、理想微分器、线性调 频器等各种网络，适应性很广。而且，目前已经有很多 fir 滤波器的计算机程序可 供使用。 表 2-1 两种滤波器特点比较分析 fir 滤波器iir 滤波器 设计方法 一般无解析的设计公式，要 借助计算机程序完成 利用 af 的成果，可简单、有效地 完成设计 设计结果 可得到幅频特性(可以多带) 和线性相位(最大优点) 只能得到幅频特性，相频特性

47、未知， 如需要线性相位，须用全通网络校 准，但增加滤波器阶数和复杂性 稳定性 极点全部在原点(永远稳定) 无稳定性问题 有稳定性问题 阶数高低 结构非递归系统递归系统 运算误差一般无反馈，运算误差小 有反馈，由于运算中的四舍五入会 产生极循环 3 3 firfir 数字滤波器设计数字滤波器设计 设计 fir 数字数字滤波器的方法通常有三种:窗函数法、频率抽样法、等波纹逼 近法。下面我们分别讨论这三种设计方法。 3.3.1 1利用窗函数法设计利用窗函数法设计 firfir 滤波器滤波器 .1 窗函数法的基本思想窗函数法的基本思想 窗函数设计的基本思想10是要选取某一种合适的理想频

48、率选择性滤波器，然后 将它的脉冲响应截断以得到一个线性相位和因果的 fir 滤波器。因此这种方法的重 点在于选择某种合适的窗函数和一种理想滤波器。对于给定的滤波器技术指标，选 择滤波器长度和具有最窄主瓣宽度和尽可能小的旁瓣衰减的某个窗函数。任何数字 滤波器的频率响应都是的周期函数，它的傅立叶级数展开式为：() jw a ew (3-1) 1 0 ()( ) n jwjw d n h eh n e 式中， (3-2) 2 0 1 sin() 1 2 ( )() 1 2 () 2 c jwjwn dd l w n h nh eedw l n 其中的为滤波器的归一化的截止频率。傅立叶系数实际上就是理

49、想数字滤 c d h ( )n 波器的冲激响应。获得有限冲激响应数字滤波器的一种可能方法就是把无穷级数截 取为有限项级数来近似，而吉布斯(gibbs)现象使得直接截取法不甚令人满意。窗函 数法就是用被称为窗函数的有限加权系列来修正式(3-1)的傅立叶级数，以求 ( )n 得要求的有限冲激响应序列，即有：( )h n ( )( ) ( ) d h nh nn (3-3) 是有限长序列，当。( )w n 0nn 1 ( ) 00 n n .2 几种常用的窗函数几种常用的窗函数 工程中比较常用的窗函数11有：矩形窗函数、三角形(bartlett)窗函数、汉 宁(harming)窗函数

50、、海明(hamming)窗函数、布莱克曼(blackman)窗函数和凯塞 (kaiser)窗函数。 1、矩形窗（rectangle window） 矩形窗： )()(nrnw n 窗谱： 1 j( n 1) j w 2 r si n(n/ 2) w (e )e si n(/ 2) 幅度函数： r si n(n/ 2) w () si n(/ 2) 用矩形窗设计低通数字滤波器的程序及运行结果如下： omegac=0.37; n=81; m=(n-1)/2; n=0:2*m+10; h=omegac/pi*sinc(omegac*(n-m)/pi); w=ones(1,n) zeros(1,len

51、gth(n)-n); hd=h.*w; omega=-pi:2*pi/300:pi; hd=freqz(hd,1,omega); plot(omega,abs(hd); 图 3-1 矩形窗设计低通数字滤波器 汉宁窗（升余弦窗）： 22 11 2 ( )0.51 cos( )0.5( )0.25( ) 1 nn jj nn nnn n w nrnrneern n 利用傅氏变换的移位特性，汉宁窗频谱的幅度函数 w（）可用矩形窗的幅度函数 表示为： 22 ( )0.5( )0.25()() 11 rrr wwww nn 三部分矩形窗频谱相加，使旁瓣互相抵消，能量集中在主瓣，旁瓣大大减小，主瓣 宽度增

52、加 1 倍。 2、三角形窗（bartlett window） 图 3-2滤波器频率响应 图 3-3三角形窗函数的脉冲响应 窗函数： (3-4) 21 0 12 ( ) 21 21 12 br nn n n n nn nn n 其频率响应： (3-5) 2(1)/2 2(/ 4) () sin(/ 2) jwj wnw br sin wn wee nw 其主瓣宽度为 8/n,第一旁瓣宽度比第一主瓣低 26db。 3、汉宁(hanning)窗，又称升余弦窗 图 3-4滤波器频率响应 图 3-5汉宁窗函数的脉冲响应 窗函数： 2 ( )0.51 cos()( ) 1 hnn n wnrn n (3-

53、6) 频率响应： (3-7) (1) 2 () j n j hanhan wewe 当 n1 时，频率响应的幅度函数。的主瓣宽度为,第一旁瓣比主瓣低 j han w (e )8/ n 31db。 4、海明(hamming)窗，又称改进升余弦窗 图 3-6滤波器频率响应 图 3-7海明窗函数的脉冲响应 窗函数： (3-8) hmn 2 n w (n)0. 540. 46cos()r(n) n1 其频域函数 ： (3-9) 22 j()j() j n 1n 1 hmrrr w (n)0. 54w (e )0. 23w (e)0. 23w (e) 其幅度函数： (3-10) hmrrr 22 w (

54、n)0. 54w ()0. 23w ()0. 23w () n1n1 这种改进的升余弦窗，能量更加集中在主瓣中，主瓣的能量约 99.96%，第一旁瓣的 峰值比主瓣小 40db，但主瓣和汉宁窗相同，为。8/ n 5、布莱克曼（blackman）窗 图 3-8滤波器频率响应 图 3-9布莱克曼窗函数的脉冲响应 窗函数： (3-11) nbl 2 n4 n w (n)0. 420. 5cos()0. 08cos()r(n) n1n1 频率响应： (3-12) 22 ()() 11 44 ()() 11 1( )0.42()0.25()() 0.04()() jj jj nn jj nn rrrb r

55、r wewewewe wewe 幅度响应： (3-13) 1 22 ( )0.42()0.25()() 11 44 0.04()() 11 j brrr rr wweww nn ww nn (4)凯塞(kaiser)窗 图 3-10滤波器频率响应 图 3-11凯塞窗函数的脉冲响应 这是一种适应性较强的窗，是一种最优和最有用的窗。它是在给定阻带衰减下给出 一种大的主瓣宽度意义上的最优结果，这本身就是含着最陡峭的过渡带。 其公式为： (3-14) 2 0 0 i112n / (n1) w (n)0nn1 i ( ) 式中，是第一类变形零阶贝塞尔函数，是一个可自由选择的参数。 0 i 凯塞窗的优点：

56、 凯塞窗可提供变化的过渡带宽，通过改变的值可达到最陡的过渡带； 凯塞窗具有与海明窗相匹敌的特性，通过调整的值，可将凯塞窗完全 等价于海明窗； 凯塞窗最大旁瓣值比主瓣约低 80db，在所有的窗函数中旁瓣抑制度最大。 表 3-1凯塞窗参数对滤波器的性能的影响12 过渡带宽通带波纹/db阻带最小衰减/db 2.12 3.00/n 0.27-30 3.384 4.46/n 0.0864-40 4.538 5,85/n 0.0274-50 5.538 7.24/n 0.00868-60 6.764 8.68/n 0.00275-70 7.865 10.0/n 0.000868-80 8.96 11.4/

57、n 0.000275-90 10.056 10.8/n 0.000087-100 表 3-2 几种窗函数的比较 窗函数旁瓣峰值幅度/db过渡带宽阻带最小衰减/db 矩形窗 -134/n-12 三角形窗 -258/n-25 汉宁窗 -318/n-44 哈明窗 -418/n-53 布莱克曼窗 -5712/n-74 凯塞窗 -5710/n-80 表 3-2 几种常用窗函数对比，窗函数的选择原则是： 具有较低的旁瓣幅度，尤其是第一旁瓣幅度； 旁瓣幅度下降速度要大，以利增加阻带衰减； 主瓣的宽度要窄，以获得较陡的过渡带。 通常上述三点很难同时满足。当选用主瓣宽度较窄时，虽然得到较陡的过渡带，但 通带和阻

58、带的波动明显增加：当选用最小的旁瓣幅度时，虽能得到匀滑的幅度响应 和较小的阻带波动，但过渡带加宽。因此，实际选用的窗函数往往是它们的折衷。 在保证主瓣宽度达到一定要求的条件下，适当牺牲主瓣宽度来换取旁瓣波动的减少。 如果希望得到的滤波器的理想频率响应为那么 fir 滤波器的设计就在于() j h e 寻找一个传递函数 1 0 ()( ) n jjn n h eh n e 去逼近，在这种逼近中有两种直接的方法，一是从时域入手，即刚才讨论的() j h e 窗函数设计法。另一种从频域入手，就是即将讨论的频率取样法 窗函数设计法是从单位脉冲响应序列着手，使逼近理想的单位脉冲响应序列h(n) 。我们知

59、道可以从理想频响通过傅氏反变换获得h (n) d h (n) d h (e ) jw d 但一般来说，理想频响都为分段恒定，在边界频率处有突变点，所以，这样得到的 理想单位脉冲响应往往都是无限长序列，而且是非因果的。但 fir 的是有h (n) d h(n) 限长的，用一个有限长的序列去近似无限长的。最直接简单的办法是直接截取h (n) d 其一段来代替。这种截取可以形象地想象为就好象是通过一个“窗口”所看到h(n) 一段，因此 ，也可表达为和一个“窗函数”的乘积，即h (n) d h(n)h (n) d ( )( )( ) d h nw n hn 在这里窗口函数就是矩形脉冲函数，当然以后我们

60、还可看到，为了改善设计( ) n rn 滤波器的特性，它还可以有其它的形式，相当于在矩形窗内对作一定的加权处h (n) d 理。 我们从一个截止频率为的线性相位理想低通滤波器为例来讨论 fir 的设计问题， c 设低通滤波器的时延为，即 j c j d c e h(e ) 0 则 sin()1 ( ) 2() c c jj n c d n h need n 图 3-12 理想特性的和h (n) d () j d he 这是一个以为中心的偶对称的无限长非因果序列，如果截取一段 n=0n-1 的 作为 h(n)，则为要保证所得到是线性相位 fir 滤波器，延时 应为长度( ) d h n( )h