《电子工程物理基础》课后习题解答教程

1、电子工程物理基础习题参考答案第一章1- 一维运动的粒子处在下面状态Axe 侥(x _ 0,，0)(x ： 0)4 将此项函数归一化；求粒子坐标的概率分布函数；在何处找到粒子的概率最大解：(1)由归一化条件，知A 2 2 个势能为的线性谐振子处在下面状态, ： x2 e2* dx1t0得到归一化常数 A =2.一所以归一化波函数为屮(X)=彳2九尿xeF(x王0,九：0)I 0(xcO)(x_0, 0)(x：0)(2)粒子坐标的概率分布函数1处粒子的概w(x)=屮(3)令 dw(x) =0 得到 X =0,x = 1，根据题意 x=0 处，w(x) =0，所以 X 二 dx率最大。1若在一维无限

2、深势阱中运动的粒子的量子数为n 距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率是多少 n取何值时，在此范围内找到粒子的概率最大？ 当nis时，这个概率的极限是多少？这个结果说明了什么问题解：(1)假设一维无限深势阱的势函数为U (x)，0 _x _a，那么距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率为a/4P(x)=0 t(x)a/4 2 .-：2(sin n x) dx 0 a a11 n 二 sin4 2n 二 2(2) n=3时，在此范围内找到粒子的概率最大Pmax(x)=丄+丄46兀1(3) 当时，P(x)。这时概率分布均匀，接近于宏观情况。12x2屮(x) =AeFc122U = m . x2求归一化

3、常数 A ;在何处发现振子的概率最大；势能平均值解:类似题1-1的方法归一化常数(1)* .由 ttdx 得到 A =(2)174JI2 Q振子的概率密度w(x) - (x)e2 2-?x(3)由 dw（x） _0得到x=0时振子岀现概率最大。 dx势能平均值1 2飞U m，x2=Sco41 2m- 2- * 2xdx1-4设质量为m的粒子在下列势阱中运动，求粒子的能级。x ：: 01 V(X)=12 2m x x _ 02注意到粒子在半势阱中运动，且为半谐振子。半谐振子与对称谐振子在x0区域满足同样解：的波动方程，但根据题意，x0 DT 0 D介于、之间的温度。提示：根据第二章中描述图2-4

4、0的曲线的形成进行分析。3ko/2，按照量子论的观第三章/1. 按照经典的观点，在室温下，金属中每个电子对比热的贡献为点，如取Ef =5eV，则为&/40,只为经oo典值的1/60。试解释何以两者相差这么大。提示：两种情况下电子服从的统计分布不同, 量子论观点认为只有能量高于费米能的那些电子对比热才有贡献。2. 限制在边长为L的正方形中的N个自由电子。电子能量2 22E kx,kykx ky2m(a) 求能量E到E+dE之间的状态数；(b) 求此二维系统在绝对零度的费米能量。解：本题与2-10题的求解思路类似。(a) 二维系统中，波矢 k -k dk中的状态数对应2二kdk圆环中包含的状态点，

5、所以Ssg(k) =22 2：kdkkdk，式中系数2的引入是因为考虑每个状态可容纳自旋相.2g(E)dE 二反的两个电子。2k2因为 E(k)，所以由g(k)得到E到E+dE之间的状态数2m(b) T=0 K时，系统总电子数可以表示如下NFf(E)g(E)dEg(E)dE 二EFNL20 N兀方2 n兀方2EF =一，其中，电子浓度mL m3. 设有一金属样品，体积为10m3，其电子可看作自由电子，试计算低于5ev的总的状态数。解：低于5ev的总的状态数为E0E0 V 2 m 3/2 1/20 g(E)dE0 尸.()3/2E1/2dEV (2mE、3/2 2(10“2x9.1 x101 x

6、5x1.6x109牙,34、23 二(1.110少)2:5.0 10234.在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果可写成C 二 2.08T2.57T310 J /mol K若一个摩尔的钾有 N=6x 1023个电子，试求钾的费米温度Tf和拜温度tid。解：低温下金属的热容量由电子热容和晶格热容构成，且电子热容正比于T,于T3。所以有晶格热容正比eT34CeNko( )=2.08T 10Tf =1.96 104K2TfCa12 二4T 3N吃)= 2.57T3 10% =91K5. 一维周期场中电子波函数k x应当满足布洛赫定理，若晶格常数是 a, 为xj=sinxa3兀(b)-k x =icos

7、xaoO(cp x = a f x -la(f是某个确定的函数)i试求电子在这些状态的波矢解：(a)屮k(x =eikxUk(x)所以Uk(x)=e叽k x考虑到 uk (x) = uk x a则有 e_tkx sin x = a) sin (x a)aa所以，e* =T,得k二红二 n =0,-1,-2川，仅考虑第一布里渊区ank =_电子的波函数JIJT k-, aaa（b）与（a）同样方法，得2 n亠1kn = 0,二1,二21H，仅考虑第一布里渊区- 一：:k_ 内，k =内k =aa aaa（c）与（a）同样方法，得2 nk二 二 n =0,_1,|2，仅考虑第一布里渊区-：:：k乞

8、内，k=0aaa6证明，当k0T ,： E；时，电子数目每增加一个，则费米能变化1g(EF)其中g（EF）为费米能级的能态密度。解：由本教材第三章的式（3-21）知20 h 3n 23 Ef 二()2m 8二卫(3一)2m VeF = J亠2m V注意到，（N+1）23N3（1 扩廿3（1 3N），并由本教材第三章的式（3-14）可得到g（E；） 。（郢严乍；）12表达式，容易证得h0Ef11(eF)7试证明布洛赫函数不是动量的本征函数提示：只要证明 ?即可，其中？为动量算符,为布洛赫函数电子每增加一个，费米能级的变化为3 二 232 32 3)(N+1 ) -N 8. 电子在周期场中的势能V

9、 x 二扌 m 2 ”b2 -x-la la -b 玄xla b=0I -1 a b 二 x 乞 la - b且a=4b,3是常数。试画出此势能曲线，并求此势能的平均值。1V x i=L LV(x)dx =解：V（x）是以a为周期的周期函数，所以1 a_b1 b12V(x)dx V (x)dx m ba ja $69. 用近自由电子模型处理上题。求此晶体的第一个以及第二个禁带宽度。 解：势能V （幻在（-2b, 2b）区间是个偶函数，展开成傅立叶级数为beVm%V x i=Vo -oO2 2b其中页.oVgCOJbm 二 , xdxb0 V (x)cos xdx第一个禁带宽度2 2m， 2b

10、“ 22、 m二,16m 2(b - x )cos xdx3bb 02b二2b 20 (b2 m：-x )cos b2,2m , 2xdx b兀10. 在一维周期场中运动的电子，每一个状态k都存在一个与之简并的状态 -k，为什么只在附近才用简并微扰，而其它k值却不必用简并微扰处理呢 ？a2下提示：由书中第3章式（3-81 ）（3-83 ）知，两个k之间必须满足kk n （n为整a数）才会对微扰有贡献。11. 能带宽窄由什么因素决定 ？它与晶体所包含的原胞总数N有无关系？提示：波函数之间的互作用越强，能带展宽越厉害，与N无关。12. 布里渊区的边界面一定是能量的不连续面，是吗？提示：不一定。对于

11、一维情况，布里渊区的边界面一定是能量的不连续面，但二维以上则不然，可能存在第一布里渊区在某个k方向上的能量最大值大于第二布里渊区另一方向上的能量最小值。13.已知一维晶体的电子能带可写成护7 ma2 81-coska cos2ka8其中a是晶格常数，试求（a）能带的宽度；（b）电子在波矢k的状态时的速度;（c）能带底部和顶部电子的有效质量。解：（a）首先求能量最大值和最小值n为偶数时，E = Emin =0n为奇数时，E二E max二壬ma所以能带宽度为厶 E 二 E maxE minma2(b)速度 v =! dE(k) = sinka(1 -1 coska) dk ma2mcoska 一

12、1 cos2ka2护(c) 有效质量m“ = od2Edk2导带底k =2I,l为整数，代入上式得m “底二0ajr导带顶k （2l - 1）- , I为整数,代入上式得m “顶=0a14. 用紧束缚方法处理面心立方晶体的S态电子，若只计最近邻的相互作用，试导出能带为kxakyacoscos22coskya2kzacoscoskza24并求能带底部电子的有效质量。解：任取一个格点为原点，最近邻格点有12个，它们的位置坐标分别为（-證0）,（-1,号0）/ a a / aa,0, ), ,0, - ) 2 2 22(0,f|),(0-f-|)紧束缚方法得到的能量式为E（k） = ；i -J。-J

13、1eJkRsRs = nearest将12个最邻近格点的位置坐标代入上式,并整理得到面心立方 s态原子能级相对应的能带。E(kH I -J4J1(coskacoskya2kxakza 丄kya+ coscos + cos2 2 2cos空)2 215.紧束缚方法导出体心立方晶体S态电子的能带E k =E -A-8Jcos空coskya2kza cos试画出沿kx方向（ky二kz =0）, E kx和v kx的曲线。8个格点的位置坐标，并代解：求解方法类似13题。首先写出任意格点为原点其最近邻的 入紧束缚方法得到的能量式，即可得到本题给出的能量表示式。沿kx方向（ky=kz=0），有能量 E k

14、x 二 E0 - A -8J cos空，2其中，最大值为Emax = Eo - A 8J，最小值Emin = E。- A-8J 。图略速度 v k = E4Jasin。图略kx216.为何引入密度泛函理论处理能带问题，有何优点？略。请参考本书第 3章333节的内容。第四章国1. 从能带论出发，简述半导体能带的基本特征，利用能带论分析讨论为什么金属和半导体 电导率具有不同的温度依赖性。提示：半导体的能带结构决定了半导体中有两种载流子参与导电，且浓度与温度有关， 温度对电导率的影响涉及到载流子浓度和散射两方面。金属只有电子对导电有贡献，且 不受温度影响。温度主要影响晶格振动对电子的散射。2. 从能

15、带底到能带顶，晶体中电子的有效质量将如何变化？为什么？略。参考本书3.4.2节的内容。3. 为什么半导体满带中少量空状态可以用具有正电荷和一定质量的空穴来描述？金属中是否也会有空穴存在？略。4. 当E-Ef分别为kT、4kT、7kT，用费米分布和玻尔兹曼分布分别计算分布概率，并对结 果进行讨论。E_Ef 解：电子的费米分布fF_D E二L丰，玻尔兹曼近似为 fM_B E = e koT1 e koT1(1)E-EF=kT 时 fF_D E0.26894 ， fM1 +eEi=e=0.367881(2)E-EF=4kT 时 fF_D E40.01799 ，1Fm_b E 二 e，： 0.0183

16、21+e41(3)E-EF=7kT 时 fF_D E7 : 0.00091 ，f1 +efM_B E 20.00091E号当e koT远大于1时，就可以用较为简单的玻尔兹曼分布近似代替费米狄拉克分布来计 算电子或空穴对能态的占据概率，从本题看出E-EF=4kT时，两者差别已经很小。En(k)5. 设晶格常数为a的一维晶格，导带极小值附近的能量 Ec(k和价带极大值附近的能量 分别为2k2_ 22十氏(kkJEvk *32k26m式中m为电子惯性质量，ki h/a, a=3.14?,试求出:(1 )禁带宽度(2) 导带底电子的有效质量；(3) 价带顶电子的有效质量；(4) 导带底的电子跃迁到价带

17、顶时准动量的改变量。解：入 cEc(k)(1)令c0k即 2fm =03m0mb得到导带底相应的kk14令W即6扩k=om得到价带顶相应的k = 0故禁带宽度Eg 二Ec k K -Ev k =0h2 3 22 1 2 捫 k；Kk一3m0 4 m0 4 6m_12m0JI将k1蔦代入得到Eg2二 212m0a2(2)导带底电子有效质量(3)价带顶空穴有效质量.j/d2Ec m* =h /2dk2 . d Ev 叫十/2dk3mo81 mo6(4)动量变化为匚卩=3匕-0 =3hU 丿8a6. 什么是浅能级杂质？什么是深能级杂质？将它们掺入半导体材料中各自起什么作用? 举例说明。n =n p且

18、电子浓度略。7. 试证明半导体中当材料的电导率最小，并求min的表达式。试冋当n和P0 (除了 n= p0 =ni以外)为何值时，该晶体的电导率等于本征电导率？并分别求出no和po。已知ni =2.5 1013/cm3=1900cm2/V s,= 3800cm2/V sn2解：（门；：.，noq Pqp 二 nqS 丄 qpn。,d -由0得dnn，n2n -n / 丄pn又茫0，dn所以当 n 二 n、.飞卩/=，p 二匹二 ni 九宀时，：； =：；min =2nq. pn（2）当材料的电导率等于本征电导率时，有：2nqd Tp 二 njqW） n。2 2即nod - nn Cp） ni

19、% = 0niW +%）Jni2（% +%）2 -4爲n：解得：n02%n计算得：九=匕（3_1）4nin i133n = ni . n一（3 -1）- -1.25 10 /cm422m13p = 5 10 /cmn0故，n0 =1.25 1013 / cm3， p0 =5.0 1013 / cm3时，该晶体的电导率等于本征电导率。8. 何谓简并半导体？在简并半导体中杂质能带将发生怎样的变化，何故？略。9. 半导体Si、Ge和GaAs，哪一种最适合制作高温器件，为什么？提示：从禁带宽度大小出发，分析进入本征激发的温度极限。10. 在杂质半导体中，对载流子的散射机构主要有哪两种？它们对温度的依赖

20、特性有何不同，为什么？略。11. 为什么在高掺杂情况下，载流子的迁移率随温度的变化是比较小的，而且在低温区其温 度系数为正，在高温区温度系数为负？提示：从电离杂质散射和晶格振动散射两方面分析温度对迁移率的影响。12. 硅原子作为杂质原子掺入砷化镓样品中，设杂质浓度为101/cm3，其中5%硅原子取代砷，95%硅原子取代镓，若硅原子全部电离，本征激发可忽略不计，求样品的电导率。(卩 n=8800 cm2/V s,卩 p=400 cm2/V s, q=1.6X 10-19 库仑)解：硅原子取代镓起施主杂质作用，取代砷起受杂质作用。因此 Nd=1O10 95% =9.5 109/cm31083Na

21、=105% =5 10 /cm杂质补偿，有 n。二 Nd - Na =9 109 /cm3所以样品的电导率厂-n0q% =9 109 1.6 1019 8800 =1.27 10M1 cm(或s cm)13. 早期锗硅等半导体材料常利用测其电阻率的办法来估计纯度，若测得室温下电阻率为10门cm，试估计 N型锗的纯度，并讨论其局限性。(300K较纯锗样品的电子迁移率Jn = 3900cm2V s-1，锗原子密度 d=4.42 1022cm3,电子电荷量 e=1.6 10-19A.s )。n 114.3,叫=nq%* n= =1.61 0 c/mq%1 qn室温下，杂质全电离，有 n=Nd,那么，

22、纯度为d -nd-0.999999964.42 1022 -1.6 10144.42 022局限性：对于高度补偿材料，误差很大。14. 平均自由时间、非平衡载流子的寿命及介电弛豫时间有何不同?略。15. 一块补偿硅材料，已知掺入受主杂质浓度N=1 1015cm3,室温下测得其费米能级位置恰好与施主能级重合，并测得热平衡时电子浓度no=5 1015cm3。已知室温下本征载流子浓度 ni =1.5 1010cm-3,试问：(1) 平衡时空穴浓度为多少？(2) 掺入材料中施主杂质浓度为多少？(3) 电离杂质中心浓度为多少？(4) 中性杂质散射中心浓度为多少？(1)5 1015热平衡时，p0=(1.5

23、 1015)=4.5 104(cm)n。-显然nopo ，故半导体杂质补偿后为 n型。(2)电中性方程n0 PA = p0 - nD(1)(3)补偿后pA二N A又 Ef 二Ed时，nD(2)NdEf上d1 2e koT(3)将式（2）、（ 3）代入式（1）,并注意到Po 0 处，B=0,在 x0空穴复合，所以x趋于正负无穷时，非平衡少子将衰减为零。显然在处A=0则x= n(x) - ：n(0)e Lnx _ 0x：n( x) = ： n(0)eLnx_0式中厶n(0)表示x=0处的非平衡载流子浓度， 上式表明稳态非平衡载流子从x=0处向两侧呈指数衰减。假设T=300K时p型半导体的掺杂浓度为

24、，Na =5 1016cm,.n=5 10s,Dn =25cm2/s,二n(0) =1015cm.那么，少子的扩散长度为Ln f；Dn n = 25 5 10夕=35.4mx所以， n (x)=1O15e35.410(cm) x0x:n (x) =1015e35.410,cm”)xM22. 如题图4-5所示，一个无限大的掺杂均匀的p型半导体样品，无外加电场。假设对于一维晶体，其中心附近长度为2a的范围内被一稳定光照射，产生的载流子分别向+x和-x方向扩散。假定光均匀的穿透样品，电子-空穴对的产生率为 G。(1)(2)题图4-5光照半导体样品局部区域 根据少子的连续性方程，分别写出样品 x-a，

25、-axa 子方程表达式分别求出三个区域中的载流子n（x）的表达式三个区域中的少数载流解：（1）取样品中心处为原点，根据非少子的连续性方程.:n:tc n ., dn-D cn -n 2n . n；xdx；xgn并结合题意可得到在稳态情况下样品三个区域中的少数载流子方程分别为Dnd2L n1+dx2Td 2厶 n2：n2dx2Td2 i屯讥dx2T=0的解为DnDngn=0（2）式（1）Dn=0(-a ： x ： a)(x a)（x ： -a）(1)x Acosh 二 Bsinh LnLn(-a ： x a)x因少子分布关于原点对称，故B=0,所以Dn-n r = gnAcosh-Ln（2）式和

26、（3）xn2 二 CeLnxn3 = EeLn的解为xDe Ln，x时,xFe Ln，x时,也趋于零，则n2xDe Ln讥趋于零，则Een考虑到对称性，有 D=E由边界条件也nJxw =也n2 x二和dn1dx可确定系数A和C,最后得到x -a二 gn (1-e Ln g cosh )Lnx=gn. en g sinh Lnx=gn .eLn g sinh Ln第五章1. 请分析p型半导体与金属相接触时的接触特性，分别讨论半导体功函数大于或小于金属功函数的两种情况，并画出相应的能带图。略。2. 在半导体器件制造中， 常遇到低掺杂半导体引线问题， 一般采用在低掺杂上外延一层相同 导电类型重掺杂半

27、导体，请以金属 -n+半导体-n为例，分别画出平衡时、正向偏置和反向偏 置下的能带图，并说明其欧姆接触特性。略。3. 试比较p-n结和肖特基结的主要异同点。为什么金-半二极管（肖特基二极管）消除了载流子注入后的存储时间？略4. 为什么隧道击穿时击穿电压具有负温度系数而雪崩击穿具有正温度系数？提示：对于隧道击穿，温度升高，将使禁带宽度变窄，相应的势垒厚度变薄，易于击穿，即温度升高，击穿电压变小。对于雪崩击穿，温度升高使晶格振动增强，势垒区的载流子因散射而损失部分能量，因此需在更高的反向电压下积聚能量形成雪崩击穿。5. 在实际半导体二极管中，p-n结反向电流包括哪几个部分的贡献？提示：反向扩散电流

28、和势垒区的产生电流。6. 说明在小注入情形下 pn结中注入基区的少子主要以扩散运动为主。略。7. 施主浓度为1017cm-3的N型硅，室温下的功函数是多少？如果不考虑表面态的影响，试画 出它与金（Au）接触的能带图，并标出势垒高度和接触电势差的数值。已知硅的电子亲和势:4.05eV ,金的功函数为4.58eV 。解：室温下杂质全电离，有n0 = NdN2 8 x 1019那么，EEc*T|nfEc-0.026In=Ec-0.1465eV功函数为 WS 二 Ec _(EF)s =4.05 0.1465 ： 4.20eV显然 Ws :：: Wau形成阻挡层。能带图略。V为外加电压，并求 300K时

29、p-n结的正2(in=500cm/V.s,8. 导出p-n结的正向电流与 V/Vd的函数关系，此处 向电流为1A时的外加电压值(设 (iP=200cm/V.s , Tn=TP=1 gNA=1018cm3 ,ND=1016cm-3)(q)解：联立两式I二IsekoTVd旦n嚳niIn q可得到p-n结的正向电流与V/Vd的函数关系为Vd1 ln(l/Is)InNdW2由已知条件可求得DnT= -0- =13cm2/s,qk T= -= 5.2cm2/sq又niDn n =3.6 10cm2= 1.5 1010cm所以nno2也 2.25 102cmNdLp.Dp p =2.28 10em22Pp

30、。说=2.25 104卅是IsLp那么，当通过截面积为A的p-n结的电流为1安培时，外加电压Dnnp0Dp pno13=Aq()=1.2 10 A , a为p-n结的截面积。LnkoTV In(1)二q Is回1 n(1 丄)=0.0261n(11 0.78VqJs1.2 109. 在室温下(koT=O.O26eV)，当反向偏置电压等于 0.13V时，流过p-n结二极管的电流为 5卩A。 试计算当二极管正向偏置同样大小的电压时，流过二极管的电流为多少卩A?qvo.13解：I =ls(eko-T) = 5 10(e.26 T) 5 10e = 742mA10. 为什么SiO2层下面的p型硅表面有

31、自行变为 n型的倾向。略。11. 单晶硅中均匀地掺入两种杂质：掺硼1.5 1016cm-3, 掺磷5.0 1015cm-3。试计算：（1）室温下载流子浓度；（2 ）室温下费米能级位置；（3 ）室温下电导率；（4）600K下载流子浓度。103193193（已知：室温下（T=300K） : ni=1.5 x10 cm , koT=O.O26eV ； N/=1.0x10 cm , NC=2.8x10 cm ； n=1000Cm/V s ； p=400cm/V s 600K 时：n =6 1015cmi3。）解（a）室温下，杂质全部电离，则 Na=1.5 1016cm-3, Nd=0.5 1016cm

32、-3则 p=Na-Nd=1.0 1016cm-32no =山=2.25 104cmP0Ev -EfPo 二 NvekoT(b)Ef = Ev -koTln Po = Ev 0.18eVNv(c)1二=n oqnpqp =0.64二 cm(d)600K时，本征激发不可忽略，由下式解出:阮=Nd - Na + Po2EPo = nino ： 0.28 1016cmpo : 1.3 1016cm12. 证明p-n结反向饱和电流公式可写为Js辟计吐止）式中，bf/Jp, q和；p分别为n型和p型半导体电导率， “为本征半导体电导率。提示：电流密度J =Jn7p二咀npoqDppnoexpqy-1，分别将爱因斯坦关系式、VLnLp 丿IkoT丿2nnoPpo（ nno = Nd,Ppo = Na ）以及电导率公式代入，并整理即可证明。13. 已知电荷分布 r(x)为：(1) (x)= 0