13.2转动惯量(重庆大学土木理论力学课件)

1、 1、定义：、定义： 2、力学意义、力学意义 由由 知，知， 一、刚体对轴的转动惯量一、刚体对轴的转动惯量 2 i iz mrJ () e zzi JMF () e zzi JMF 即：转动惯量在数值上等于使转动刚体获得一个单位即：转动惯量在数值上等于使转动刚体获得一个单位 的的 角加速度时所需要的力矩。角加速度时所需要的力矩。 当当a=1时，时， x i x yi y z i m i z 4、单位：、单位：kgm2；kgcm2 若单位制不同，则若单位制不同，则Jz的单位不同，的单位不同， 为了避免不同的单位制引起错误，为了避免不同的单位制引起错误， 也为了便于记忆，将也为了便于记忆，将 Jz

2、 / /m，就变，就变 成只与长度有关的量（成只与长度有关的量（而各单位制而各单位制 中长度都是基本量中长度都是基本量）因此就可统一）因此就可统一 表示。表示。 转动惯量的性质与刚体的质量以及质量相对于转动转动惯量的性质与刚体的质量以及质量相对于转动 轴的分布状况有关。轴的分布状况有关。 x i x yi y z i m i z m J z z 5. 回转半径回转半径 定义： m J z z 即：物体转动惯量等于该物体质量与回转半径平方即：物体转动惯量等于该物体质量与回转半径平方 的乘积；的乘积； 对于均质物体，仅与几何形状有关，与对于均质物体，仅与几何形状有关，与 密度无关。密度无关。 对于

3、几何形状相同而材料不同（密度不同）的对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的 均质刚体，其回转半径是相同的。均质刚体，其回转半径是相同的。 2 zz mJ 则 显然、如假想地将刚体质量显然、如假想地将刚体质量m 集中于一点而不改变刚体对某集中于一点而不改变刚体对某 轴的转动惯量，则轴的转动惯量，则 z z J m 2 zz Jm 或者，假想刚体的质量集中在距离轴为的圆周上，或者，假想刚体的质量集中在距离轴为的圆周上， （假想把刚体压成一个细圆环），其转动惯量与原（假想把刚体压成一个细圆环），其转动惯量与原 刚体的转动惯量相等。刚体的转动惯量相等。 此点到该轴的距离就等于刚体对该轴的回转半径。

4、若物体的质量为连续分布，则若物体的质量为连续分布，则Jz的表达式应改写为的表达式应改写为 2 z m Jr dm 对于均质物体，其密度对于均质物体，其密度r为常量，如以为常量，如以V表示物体表示物体 的体积，则有，的体积，则有， 22 z VV m Jr dVr dV V 均质等截面细直杆对于通过中点且与杆垂直的均质等截面细直杆对于通过中点且与杆垂直的y轴的转动惯轴的转动惯 量。量。 22 z VV m Jr dVr dV V 22 z VV mm Jr dVr Adr VAl 与此相对应的回转半径为：与此相对应的回转半径为： 2 12 0.289 12 z z ml l J l m m 0.

5、5 22 0.5 1 12 l l m r drml l （2）半径R，质量为m ，其对 中心轴z的转动惯量为 222 mRmRRmJ iiz （3）半径R，质量为m ，其对 中心轴z的转动惯量。 任取一圆环，则 2 2d R m drrm AAiii 4 2 2d2 4 R OzAA o R Jr r r 2 1 2 Oz JmR或 22 z VV m Jr dVr dV V x y z 2 2 Oz mR J 推论推论1：由于在此计算结果中不出现厚度由于在此计算结果中不出现厚度H，故知均质圆盘，故知均质圆盘 对于其中心轴的转动惯量与厚度无关。对于其中心轴的转动惯量与厚度无关。 （只是厚度只

6、是厚度H越大，质量越大，质量中包含了厚度越大，质量越大，质量中包含了厚度） 2 2 Oz mR J 均质等厚壁圆筒，内半径为均质等厚壁圆筒，内半径为R1，外半径为，外半径为R1 ，质量，质量 为为m对其中心轴的转动惯量为对其中心轴的转动惯量为 22 12 1 () 2 z Jm RR R 1 2 R z y x 则该圆筒对z轴的转动惯量可由半径分别 为 两圆柱对z轴的转动惯量之差求 得，即： 12 RR与 22 z2211 11 22 Jm Rm R 若设该圆筒的质量为若设该圆筒的质量为m, 密度为密度为 22 21 mm VHRR 22 2211 1 2 V RV R R 1 2 R z y

7、 x 2222 z22112211 111 222 Jm Rm RV RV R 22 21 mm VHRR 44 21 22 21 22 21 1 2 1 2 m HRR HRR m RR 22 12 1 () 2 z Jm RR 在实际工程在中所遇到的物体可以看成为由几个简在实际工程在中所遇到的物体可以看成为由几个简 单形状的物体组合而成。单形状的物体组合而成。 当求这些物体对某轴的转动惯量时，可将物体划分当求这些物体对某轴的转动惯量时，可将物体划分 为几个简单的形状，分为几部分，而该物体对某轴的转为几个简单的形状，分为几部分，而该物体对某轴的转 动惯量则应等于各部分对同一轴的转动惯量的总和

8、。动惯量则应等于各部分对同一轴的转动惯量的总和。 若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来 处理。 许多常见简单的均质物体的转动惯量 可在工程手册中查到，书中列出了几种 常见的简单形状的均质物体的转动惯量。 1、问题的提出、问题的提出 例如均质圆盘，对于例如均质圆盘，对于 通过质心轴通过质心轴C的转动的转动 惯量惯量JC已知，但圆盘并不是绕已知，但圆盘并不是绕C点转动，而是点转动，而是 绕绕O点转动。点转动。 2. 平行移轴定理平行移轴定理 刚体对于某轴的转动惯量，等于刚体对于过质心、并 与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体质量与轴距平 方的乘积，即 2 zzC JJmd )( 222

9、 iiiiizC yxmrmJ )( 222 iiiiiz yxmrmJ 22 , () iiii ziii xxyyd Jm xyd 证明证明：设质量为m的刚体，质心为C， CzzO/ iiiiii ymddmyxm2)()( 222 )( , 2 2 dyxmJ dyyxx iiiz iiii 2 0 , mdJJ myymmm zCz Ciii 刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。 由式（由式（13-5）可知，在所有相互平行的轴中，物）可知，在所有相互平行的轴中，物 体对于通过其质心的轴的转动惯量为最小。体对于通过其质心的轴的转动惯量为最小。 2

10、zzC JJmd 2222 11 ( ) 1223 zzC l JJmdmlmml 例如，均质等截面细例如，均质等截面细 直杆对于通过直杆对于通过杆端杆端且且 与杆垂直的与杆垂直的z轴的轴的 转动惯量为：转动惯量为： 0.577 z l l对于形状或质量分布不规则的物体，其转动惯对于形状或质量分布不规则的物体，其转动惯 量往往难以根据前述公式计算，而可采用实验量往往难以根据前述公式计算，而可采用实验 的方法测定之。的方法测定之。 l例如：扭转振动法；落体观测法；复摆法。例如：扭转振动法；落体观测法；复摆法。 4计算转动惯量的组合法计算转动惯量的组合法 当物体由几个规则几何形状的物体组成时， 可

11、先计算每一部分(物体)的转动惯量, 然后再加 起来就是整个物体的转动惯量。 若物体有空心 部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。 例 均质圆盘与均质杆组成的复摆如图 ，已 知：圆盘质量为m1，半径r，杆质量m2，长L，试 求复摆对悬挂轴O的转动惯量。 1 2 o JJ oo J 杆盘 解： 2 c12o 222 222 JJm 2 111 mmm 1243 l lll 杆 2 c21o 22 11 JJm () 1 mm () 2 lR RlR 盘 ooo JJJ 杆盘 2 2 c122o 1 JJmm 23 l l 杆 222 211 11 mmm () 32 lRlR 三、惯性积与惯

12、性主轴三、惯性积与惯性主轴 在刚体动力学中，除了前面已学过的转动惯在刚体动力学中，除了前面已学过的转动惯 量之外，还要用到另一物理量量之外，还要用到另一物理量刚体对通过刚体对通过O点点 的两个相互垂直的轴的的两个相互垂直的轴的惯性积惯性积（或称（或称离心转动惯离心转动惯 量量），它们定义为），它们定义为 iiixzzx iiizyyz iiiyxxy xzJJ zyJJ yxJJ m m m （1313） 1 1 1 n xyyxiii i n xzzxiii i n yzzyiii i JJm x y JJm x z JJm y z 由定义式可知惯性积是代数量 xyyx xzzx yzzy

13、JJ JJ JJ (12.6) J=ML2 对于质量连续简单形状的刚体 xyyx M xzzx M yzzy M JJxydm JJxzdm JJyzdm i mdm 1 1 1 n xyyxiii i n xzzxiii i n yzzyiii i JJm x y JJm x z JJm y z 惯性积的量纲与转动惯量的量纲相同。但是，由式 （1313）知，由于刚体各质点的坐标 的值 可正可负或为零，可正可负或为零，因此由它们的乘积之和求得的惯性 积也是可正可负或为零的。 iii zyx, 惯性主轴 对称面 1 1 1 (13.13) n xyyxiii i n xzzxiii i n yz

14、zyiii i JJm x y JJm x z JJm y z 若J Jyz yz=J =Jxz xz=0 =0，则z轴是刚 体在O点的惯性主轴。 刚体对惯性主轴的转动惯量称为主转动惯量。 通过刚体质心的惯性主轴称为中心惯性主轴。 a)若刚体有一对称面，则垂直于 该对称面的任一轴均为主轴。 b)若刚体有一对称轴，则该轴一定为主轴。 惯性主轴 对称轴 对称面 因为a、b是刚体质心c在 直角坐标系oxy中的坐标， 其值是代数量，所以Jxcyc不 一定是最小惯性积。 cc x yx y JJmab 图图13-10 1 y 1 z dA 若 ，则x轴称为刚体在刚体在O点的惯性主轴点的惯性主轴， 而 称

15、为刚体对主轴称为刚体对主轴x的的主转动惯量主转动惯量。相似地， 如 ，则y轴轴是刚体在刚体在O点的主轴点的主轴，而 是主转动惯 量；如 ，则z轴轴是刚体在刚体在O点的主轴点的主轴，而 是主 转动惯量。 x J xyzx JJ y J z J xyyz JJ yzzx JJ 图图13-10 1 y 1 z dA 因为，如以因为，如以对称面为对称面为xy面面，z轴垂直于对称面，根轴垂直于对称面，根 据对称面的定义，在据对称面的定义，在(xi、yi、zi)处有一质点，则在处有一质点，则在(xi、 yi、zi)处必有一相同质点与之对应。处必有一相同质点与之对应。 l应当注意，主轴是对某一点而言的，对于不同的点，主轴 的方位一般是不同的。但是，不论在哪一点，总能找到三 个相互垂直的主轴。 l通过刚体质心的主轴称为中心惯性主轴中心惯性主轴。 l通常，求惯性主轴的计算较繁。通常，求惯性主轴的计算较繁。 l但是，如果刚体具有对称面或对称轴，则决定主轴的但是，如果刚体具有对称面或对称轴，则决定主轴的 问题大为简化。设刚体具有一对称面，则垂直于对称问题大为简化。设刚体具有一对称面，则垂直于对称 面的轴即为该轴与对称面交点的主轴之一。面的轴即为该轴与对称面交点的主轴之一。 l因为，如以对称面为因为，如以对称面为xy面，面，z轴垂直于对称面，根据对称面轴垂直于对称面，根据对称面 的定义，在的定义，