离散型与连续型随机变量

1、例 1 一张考卷上有 5 道选择题，每道题列出 4 个可能答案，其中只有一个 答案是正确的某学生靠猜测至少能答对 4 道题的概率是多少？ 解：每答一道题相当于做一次 Bernoulli 试验1A 答对一道题 ，则 P A / 134则答 5道题相当于做 5重 Bernoulli 试验1设： X：该学生靠猜测能答对 的题数,则X B 5， 14P 至少能答对 4道题P X 44434164二项分布的分布形态若 X B n， p ，则n 1 p kkqq1p由此可知，二项分布的分布 先是随着 k 的增大而增大， 达到其最大值后再 随着 k 的增大而减少这个使得 可以证明： P X k达到其最大值的

2、 k0 称为该二项分布的最可 能次数 如果 n 1 p不是整数，则 k0n 1 p ；如果 n 1 p是整数，则 k0 n 1 p 或 n 1 p 1 ； 例 2 对同一目标进行 300次独立射击，设每次射击时的命中率均为 0.44， 试求 300 次射击最可能命中几次？其相应的概率是多少？X： 300射击中命中目标的次数 解：对目标进行 300 次射击相当于做 300 重 Bernoulli 试验令： 则由题意X B 300， 0.44 由于 300 1 0.44 132.44，它不是整数因此，最可能射击的命中次数为k0 132.44 132 其相应的概率为 P X 132 C 31030/

3、 13 0.44132 0.56168 0.04636 3) Poisson 分布 如果随机变量 X 的分布律为kP X k e k 0， 1， 2， k!则称随机变量 X 服从参数为的 Poisson 分布分布律的验证k 由于 0 可知对任意的自然数 k ，有e 0k!kk 又由幂级数的展开式，可知 e e e e 1 k 0 k! k 0 k!k所以 P X k e k 0， 1， 2，是分布律k!Poisson 分布的应用1、Poisson 分布是概率论中重要的分布之一2、自然界及工程技术中的许多随机指标都服从 Poisson 分布3、例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次

4、数，放射物 在某一时间间隔内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数， 某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数等等，在一定条件下，都是 服从 Poisson 分布的例3设随机变量 X 服从参数为的 Poisson 分布，且已知 P X 1 P X 2 试求 P X 4 解：随机变量 X 的分布律kP X k e k 0， 1， 2，k!12由已知 P X 1 P X 2 得 e e1! 2!2 0 解得2 另一个解0 不合题意，舍去2 42P X 4 e 2 e 2 0.090224!3例4设一个人在一年内的感 冒次数服从参数5的 Poisson分布，现有一种预防感冒的药 ，它对 30

5、% 的人来讲，可将上述参 数降为 （1 疗效显著）；对另 45% 的人来讲，可将参数降为 （4 疗效一般）；而对其 余 25%的人来讲，则是无效的 现某人服用此药一年， 在这一年中，他得了 3次感冒， 试求此药对他“疗效显 著”的概率3 / 13解：设 B= 此人在一年中得 3 次感冒 A1 该药疗效显著 A2 该药疗效一般 A3 该药无效 则由 Bayes 公式，得P A1 BP A1 P B A1P A1 P B A1 P A2 P B A2 P A3 P B A30.30133!1343530.30 e 1 0.45 e 4 0.25 e 53!3!3!0.1301Poisson 定理设

6、在 Bernoulli 试验中，以 pn 代表事件 A 在试验中发生的概率， 它与试验总数 n 有关如果klim npn0 则lim Cnk pnk 1 pn n k en nk！证明：令： npnn则Cnk pnk 1 pn n kn n 1 n 2 n k 1nkn1n nk! 112nk11nnk对于固定的k ，有 由 limnnlim npn nlimknknnknk n nlim 1 nn所以， lim C nk pnk 1 pn n k n1 limk! nnk12k1nlim111lim1nnnnnnnlim n 1 1 1 2 1 k 1 1 n k! n n nn nknnk

7、kek！由 Poisson 定理，可知 若随机变量 X B n， p ，则当 n比较大， p比较小时，令：np则有kP X k Cnk pk 1 p n k e n k!例 5设每次射击命中目标的概率为 0.012 ，现射击 600 次， 求至少命中 3 次目标的概率（用 Poisson 分布近似计算） 解：设 B= 600 次射击至少命中 3 次目标 进行 600次射击可看作是一 600重 Bernoulli 试验 X：600次射击命中目标的次数 则 X B 600， 0.012 用 Poisson分布近似计算，取600 0.012 7.2 P B P X 3 1 P X 31 P X 0

8、P X 1 P X 27.221 e 7.2 7.2e 7.2 7.2 e 7.2 0.9745 / 13例6 为了保证设备正常工作， 需配备适量的维修工人， 现有同类型设备 300 台， 各台工作是相互独立的， 发生故障的概率都是 0.01. 在通常情况下， 一台 设备的故障可有一人来处理 . 问至少需配备多少工人，才能保证当设备发 生故障但不能及时维修的概率小于 0.01 ？ 解：设需配备 N 人，记同一时刻发生故障的设备台数为 X ，则X b( 300，0.01) ，需要确定最小的 N 的取值，使得：N 3k e 3PX N 0.01. PX N 0.99.k 0 k!N 3k e 33

9、ke 31 0.01.k 0 k! k N 1 k!查表可知，满足上式的最小的 N 是 8 , 因此至少需配备 8 个工人。6 / 13例7 设有 80 台同类型的设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01 ，且一台设备的故障能由一个人处理 . 考虑两种配备维修工人的方法 一，由 4 人维护，每人负责 20 台；方法二，由 3 人, 共同维护 80 台. 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小 .解： 按第一种方法 .记 X “第 1 人负责的 20 台中同一时刻发生故障的台数 ”，则 X b ( 20，0.01 )以 Ai 表示事件 “第 i 人负责的台中发生故

10、障不能及时维修 则 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为：k2kek!P( A1 A2 A3 A4) P(A1) PX 2.(0.2)ke 0.2 0.0175. k 2 k!按第二种方法 . 以 Y 记 80 台中同一时刻发生故障的台数， 则Y b ( 20，0.01)故 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为：k 0. 8PY 4(0.8) e0.0091. k 4 k!第二种方法中发生故障而不能及时维修的概率小， 且维 修工人减少一人运用概率论讨论国民经济问题，可以有效地使用人力、物力资源。7 / 13. 连续型随机变量的概念与性质 定义 如果对于随机变量 X 的分布函数 F(x)

11、，存在非负函数 f (x)，使得x对于任意实数 x，有F (x)f (t)dt,则称 X 为连续型随机变量 ，其中函数 f (x) 称为 X 的概率密度函数 , 简称 概率密度 .连续型随机变量 X 由其密度函数唯一确定 由定义知道，概率密度 f(x) 具有以下性质：10 f (x) 0.20f(x)dx 1.0x230 Px1 X x2 F(x2) F(x1)2 f ( x)dx. ( x1 x2)x140 若f ( x)在点x处连续，则有 F (x) f (x).注意：连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量分布律的性质非 常相似，但是，密度函数不是概率！连续型随机变量的一个重要特点设

12、 X 是连续型随机变量，则 对任意的实数 a，有 P X a 0说明( 1)由上述性质可知， 对于连续型随机变量， 我们关心它在某一点取值的 问题没有太大的意义；我们所关心的是它在某一区间上取值的问题8 / 13（2）若已知连续型随机变量 X 的密度函数为 f x ， 则X 在任意区间 G（G可以是开区间 ,也可以是闭区间， 或半开半闭区间；可以 是有限区间，也可以是 无穷 区间）上取值的概率为 ，P X G f x dx设 X 是连续型随机变量，其密度函数为fxc 4 x 2 x20x2其它 P X 1f x dx f x dxf x dx2求：常数 c；P X 1 021f x dxf x

13、 dxf x dx f x dx022c 4 x2 x2 dxc2 x 2 2 x 所以， c 382 xx2030解： 由密度函数的性质 f x dx 1得2x2 2 x383234x 2x 2 dx89 / 13二 . 一些常用的连续型随机变量1均 匀 分 布 若随机变量 X 的密度函数为axb其它X U a , b则有：1dx 1 a则称随机变量 X 服从区间 a， b 上的均匀分布记作 设X 区间 a， b上的均匀分布， f x 是其密度函数， 对任意的 x，有 f x 0 ；a b b f x dx f x dx f x dx f x dxa b a1由此可知， f x b a a

14、x b 确是密度函数0 其它类似地，我们可以定义区间 a， b 上的均匀分布； 区间 a， b 上的均匀分布； 区间 a， b 上的均匀分布10 / 13均匀分布的概率背景如果随机变量 X 服从区间 a， b 上的均匀分布，则随机 变量 X 在区间 a， b 上的任意一个子区间上 取值的概率与该子区 间的长度成正比，而与 该子区间的位置无关这时，可以认为随机变 量 X 在区间 a， b 上取值是等可能的c l c l 1 lPc X c lf ( x)dxdx .c c b a b a例5设公共汽车站从上午 7时起每隔 15分钟来一班车 , 如果某乘客到达此站 的时间是 7:00 到7:30

15、之间的均匀随机变量试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率解：设该乘客于 7时X分到达此站则X 服从区间 0， 30 上的均匀分布 其密度函数为1f x 3000 x 30其它令：B= 候车时间不超过 5 分钟 则 P B P 10 X 15 P 25 X 30151 dx301030251 dx3011 / 132指 数 分 布fx0x0如果随机变量 X 的密度函数为x0其中 0为常数，则称随机变量 服从参数为 的指数分布密度函数的验证设X 参数为 的指数分布， f x 是其密度函数，则有： 对任意的 x，有 f x 0 ；0 f x dx f x dx f x dx0xxe x dx e x 100由此可知，fx0x0x0确是一密度函数例7设打一次电话所用的时 间X（单位：分钟）是以1 为参数10 的指数随机变量如果 某人刚好在你前面走进 公用电话间， 求你需等待 10分钟