小波变换原理与应用

1、小波变换原理与应用 小波变换原理与应用2 讲座的目的 4了解信号的信息表示方法 4了解小波变换的基本原理 4掌握小波变换的三种类型 4了解小波塔式分解与重构 4了解小波变换的时频特性 4了解小波变换的工程应用 小波分析 深圳大学信息工程学院 小波变换原理与应用3 主要内容主要内容 4小波的基本概念什么是小波 4小波的发展历史工程到数学 4小波的基本类型多分辨分析 4小波的快速算法Mallat算法 4小波包分解算法精细化处理 4小波的工程应用时频分析与降噪 4小波的结合应用小波网络等 小波分析 深圳大学信息工程学院 小波变换原理与应用4 小波的基本概念什么是小波 4小波是什么？ 小波可以简单的描

2、述为一种函数，这种函数在有限时 间范围内变化，并且平均值为0。这种定性的描述意味 着小波具有两种性质:A、具有有限的持续时间和突变 的频率和振幅；B、在有限时间范围内平均值为0。 小波变换原理与应用5 小波的基本概念什么是小波 4小波的“容许”条件 用一种数学的语言来定义小波，即满足“容许”条件 的一种函数，“容许”条件非常重要，它限定了小波 变换的可逆性。 小波本身是紧支撑的，即只有小的局部非零定义域， 在窗口之外函数为零；本身是振荡的，具有波的性质， 并且完全不含有直流趋势成分，即满足 )()(x dC 2 )( 0)()0( dxx 小波变换原理与应用6 小波的基本概念什么是小波 4信号

3、的信息表示 时域表示：信号随时间变化的规律，信息包括均值、 方差、峰度以及峭陡等，更精细的表示就是概率密度 分布（工程上常常采用其分布参数） 频域表示：信号在各个频率上的能量分布，信息为频 率和谱值（频谱或功率谱），为了精确恢复原信号， 需要加上相位信息（相位谱），典型的工具为FT 时频表示：时间和频率联合表示的一种信号表示方法， 信息为瞬时频率、瞬时能量谱 信号处理中，对不同信号要区别对待，以选择哪种或 者哪几种信号表示方法 小波变换原理与应用7 小波的基本概念什么是小波 4平稳信号 4非平稳信号 不满足平稳性条件至少是宽平稳条件的信号 ),;,(),;,( 21212121 nnnn tt

4、txxxftttxxxf )( ),()()(),( )()( 2 122121 txE ttRtxtxEttR mdxxxftxE xx x 小波变换原理与应用8 小波的基本概念什么是小波 4信号的时域表示和频域表示只适用于平稳信号，对于 非平稳信号而言，在时间域各种时间统计量会随着时 间的变化而变化，失去统计意义；而在频率域，由于 非平稳信号频谱结构随时间的变化而变化导致谱值失 去意义 00.511.52 -1 -0.5 0 0.5 1 信 号 x(t)的 时 域 波 形 时 间 t/s 幅度 A 01020304050 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 信 号 x(t)的 单

5、边 频 谱 频 率 f/Hz |Y(f)| 小波变换原理与应用9 小波的基本概念什么是小波 4时频表示主要目的在于实现对非平稳信号的分析，同 样的可以应用于平稳信号的分析 小波变换原理与应用10 小波的基本概念什么是小波 4为什么选择小波 小波提供了一种非平稳信号的时间-尺度分析手段，不 同于FT方法，与STFT方法比较具有更为明显的优势 小波变换原理与应用11 小波的基本概念什么是小波 小波变换原理与应用12 小波的基本概念什么是小波 小波变换原理与应用13 小波的发展历史工程到数学 41807: Joseph FourierFT，只有频率分辨率而没有时 间分辨率 41909: Alfred

6、 Haar发现了Haar小波 41945: GaborSTFT 41980：MorletMorlet小波，并分别与20世纪70年代 提出了小波变换的概念，20世纪80年代开发出了连续 小波变换CWT（ continuous wavelet transform ） 41986：Y.Meyer提出了第一个正交小波Meyer小波 41988： Stephane MallatMallat快速算法（塔式分解 和重构算法） 小波变换原理与应用14 小波的发展历史工程到数学 41988： Inrid Daubechies作为小波的创始人，揭示了小 波变换和滤波器组(filter banks)之间的内在关系，

7、使离 散小波分析变成为现实 4Ronald Coifman和Victor Wickerhauser等著名科学家在 把小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要贡献 4在信号处理领域中，自从Inrid Daubechies完善了小波 变换的数学理论和Stephane Mallat构造了小波分解和重 构的快速算法后，小波变换在各个工程领域中得到了 广泛的应用，典型的如语音信号处理、医学信号处理、 图像信息处理等 小波变换原理与应用15 小波的基本类型多分辨分析 4关于小波有两种典型的概念：连续小波变换，离散小 波变换 4连续小波变换定义为 4可见，连续小波变换的结果可以表示为平移因子a和伸 缩因子b

8、的函数 R baba dtttxttxbaCWTf)()()(),(),( * , dt a bt atxdtttxttxbaCWTf RR baba )()()()()(),(),( 2 1 , 小波变换原理与应用16 小波的基本类型多分辨分析 傅立叶分解过程 小波分解过程 小波变换原理与应用17 小波的基本类型多分辨分析 4伸缩因子对小波的作用 02468 -1 0 1 sin(t)-a=1 02468 -1 0 1 sin(2t)-a=1/2 幅度 A 02468 -1 0 1 sin(4t)-a=1/4 时 间 t -10-50510 -1 0 1 morlet-a=1 -10-505

9、10 -1 0 1 morlet-a=1/2 -10-50510 -1 0 1 morlet-a=1/4 小波变换原理与应用18 小波的基本类型多分辨分析 4平移因子对小波的作用 4平移因子使得小波能够沿信号的时间轴实现遍历分析， 伸缩因子通过收缩和伸张小波，使得每次遍历分析实 现对不同频率信号的逼近 小波变换原理与应用19 小波的基本类型多分辨分析 4连续小波变换实现过程 首先选择一个小波基函数，固定一个尺度因子，将它 与信号的初始段进行比较 ； 通过CWT的计算公式计算小波系数（反映了当前尺度 下的小波与所对应的信号段的相似程度）； 改变平移因子，使小波沿时间轴位移，重复上述两个 步骤完成

10、一次分析； 增加尺度因子，重复上述三个步骤进行第二次分析； 循环执行上述四个步骤，直到满足分析要求为止。 小波变换原理与应用20 小波的基本类型多分辨分析 小波变换原理与应用21 小波的基本类型多分辨分析 4小波逆变换 如果小波函数满足“容许”条件，那么连续小波变换 的逆变换是存在的 dtda a tbaCWTf C tx ba 0 2 , 1 )(),( 1 )( dtda aa bt abaCWTf C 2 2 1 0 1 )(),( 1 小波变换原理与应用22 小波的基本类型多分辨分析 4连续小波变换的性质 叠加性（线性） 时移不变性 尺度特性 微分特性 内积定理 能量守恒特性 冗余性

11、小波变换原理与应用23 小波的基本类型多分辨分析 4离散小波变换DWT（ discrete wavelet transform，DWT ） 定义 对尺度参数按幂级数进行离散化处理，对时间进行均 匀离散取值 （要求采样率满足尼奎斯特采样定理） R m m nm dtnttxttxnmDWTx)2()(2)(),(),( 2 , 小波变换原理与应用24 小波的基本类型多分辨分析 4离散小波变换的可逆问题框架理论 DWT的可逆问题蕴含的是DWT的表达能够完整的表达 待分析信号的全部信息，这就需要数学上的框架理论 作为支撑了，如果对于所有的待分析信号满足框架条 件，那么DWT就是可逆的 RBAtxBt

12、txtxA nm nm ,)()(),()( 2 2 , , 2 Zn nmnm tCtx)()( , 小波变换原理与应用25 小波的基本类型多分辨分析 4正交小波变换与多分辨分析 多分辨分析也称为多尺度分析，是建立在函数空间概 念上的理论。它构造了一组正交基，使得尺度空间与 小波空间相互正交。随着尺度由大到小的变化，可在 各尺度上由粗及精地观察目标。这就是多分辨率分析 的思想。在离散小波框架下，小波系数在时间-尺度空 间域上仍然具有冗余性，在数值计算或数据压缩等方 面仍然希望这种冗余度尽可能的小。在小波变换发展 过程中，Stromberg、Meyer、Lemarie、Battle和 Daub

13、echies等先后成功的构造了不同形式的小波基函数 的基础上，是Meyer和Mallat将小波基函数的构造纳入 到了一个统一的框架中，形成了多分辨分析理论。多 分辨率分析理论不但将在那时之前的所有正交小波基 的构造统一了起来，而且为此后的小波基的构造设定 了框架。 小波变换原理与应用26 小波的基本类型多分辨分析 4正交小波变换与多分辨分析 对于小波基函数为 ，如果函数族 构成 内的正交基，就称小波为正交小波，在 正交小波基础上进行的小波变换称为正交小波变 换，只有满足正交小波变换才可称为多分辨分析， 正交小波变换是完全没有冗余的，非常适合做数 据压缩。 Zkjktt jj kj ,)()(

14、/ , 22 2 )(t )( 2 RL 小波变换原理与应用27 小波的基本类型多分辨分析 4典型的正交小波Haar小波 00.51 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Haar小 波 时 间 t 幅度 A -100001000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Haar小 波 频 谱 频 率 f/Hz 幅度 A 其他 1 2 1 2 1 0 0 1 1 )(t t th 小波变换原理与应用28 小波的基本类型多分辨分析 4典型的正交小波Meyer小波 其他 3 8 3 4 3 4 3 2 0 1 4 3 2 cos 2 1 1 2 3 2 sin 2 1 )( 2 2 j j

15、 e e -505 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 尺度函数 时间 t 幅度 A -505 -0.5 0 0.5 1 小波函数 时间 t 幅度 A 小波变换原理与应用29 小波的快速算法Mallat算法 4在多分辨分析的讨论中，可以看到正交小波变换可以 等效为一组镜像滤波的过程，即信号通过一个分解高 通滤波器和分解低通滤波器，自然的高通滤波器输出 对应的信号的高频分量部分，称为细节分量，低通滤 波器输出对应了信号的相对较低的频率分量部分，称 为近似分量。对应的快速算法称为Mallat算法 小波变换原理与应用30 小波的快速算法Mallat算法 4滤波分解算法带来一个新的问题，

16、就是针对离散的数 据序列，经过滤波分解会得到多于原数据点数的数据 序列。比如，原数据序列有1000个采样点，经过滤波 分解后，会得到1000点的近似分量序列和1000点的细 节分量序列，这样就得到了2000个采样点数据，在小 波变换的Mallat算法实现中，可以利用降采样的方法即 在输出的两点中只取一个数据点，这样产生两个为原 信号数据长度一半的序列，称为简单记为cA和cD，虽 然近似分量和细节分量的数据长度仅为原信号序列的 一半，但是却完整的包含的原信号的信息内容。 小波变换原理与应用31 小波的快速算法Mallat算法 4Mallat算法的降采样 小波变换原理与应用32 小波的快速算法Ma

17、llat算法 4小波分解树 小波变换原理与应用33 小波的快速算法Mallat算法 4到此我们已经知道离散小波变换是怎么样分析或者怎 样来分解一个信号，这个过程通常也称为分解分析， 那么自然想到另外一个对应的问题就是如何将这些分 解得到分量能够整合到一起恢复原信号并且没有任何 的信息损失，这一过程就称为小波重构或者小波合成， 实质上就是逆离散小波变换（Inverse Discrete Wavelet Transform，简称：IDWT）。在离散小波变换或小波 分解的过程中包含了滤波和降采样，那么在小波重构 过程中需要进行过采样和滤波。过采样是通过在相邻 采样点之间插入零值的来实现的，利用过采样

18、可以使 得信号分量的长度增加为原来的两倍，以达到和需要 重构信号一致的采样数据长度。 小波变换原理与应用34 小波的快速算法Mallat算法 小波变换原理与应用35 小波的快速算法Mallat算法 4塔式分解和重构示意图 小波变换原理与应用36 小波的快速算法Mallat算法 4局部分量的重构 在一些工程应用中，只需要关心信号中的某个分量， 此时对细节分量和近似分量的单独重构成为必要，通 过将其他分量系数置零的方式，利用Mallat算法是非常 容易的 小波变换原理与应用37 小波包分解算法精细化处理 4小波包分析可以看作是小波分解的一种推广方法，利 用小波包进行分析可以得到对信号更为精细的分析

19、结 果。通过将频带进行多层次划分，对多分辨分析没有 细分的高频分量部分进行进一步的分解，并根据被分 析信号特征，通过自适应的选择相应频带，达到与信 号频谱的匹配，实现精细化处理。小波包原子是一种 被时间、尺度和频率来表征的函数波形，对于一个给 定的正交小波函数，我们能够在此基础上生成一组基， 这组基一般称为小波包基。简单的说，小波包就是一 个函数族，可以由这组函数族构造出L2(R)的标准正交 基库，从这组标准正交基库中可以选择出多组标准正 交基，对于多分辨分析小波变换（正交小波变换）只 是选择了其中的一组基，从这个意义上讲小波包就是 小波变换的一种推广。 小波变换原理与应用38 小波包分解算法

20、精细化处理 4小波包分解树 小波变换原理与应用39 小波的工程应用时频分析与降噪 4时间-尺度-小波系数图 小波分解可以得到一组小波细节分量和近似分量系数， 将时间-尺度-小波系数联合表示，就得到了信号的时间 -尺度分析结果，不过这里带来两个问题：第一小波的 尺度是不连续的，这样得到的时间-尺度-小波系数表示 解读起来比较困难，虽然根据框架理论可以推测到冗 余系数在时间-尺度平面上产生的额外的分布信息，但 是这毕竟显得不够直观；第二个问题就是，有时候想 在时间-尺度时频表示和时间-频率时频表示中进行比较 分析，那么尺度和频率之间应该存在着一定的关系， 这种关系是如何确立的 小波变换原理与应用4

21、0 小波的工程应用时频分析与降噪 4尺度与频率的关系 尺度和频率之间存在一个倒数关系，这个倒数关系式 和信号的采样周期以及选择的小波基函数的中心频率 有关，假设尺度因子为a，信号的采样周期为，小波 基函数的中心频率为fc，那么和尺度因子a对应的频率 fa可以用下面的式子来计算 a f f c a 小波变换原理与应用41 小波的工程应用时频分析与降噪 0123 -2 -1 0 1 2 db2小 波 中 心 频 率 近 似 估 计 周 期 :1.5; 中 心 频 率 : 0.66667 051015 -2 -1 0 1 2 db7小 波 中 心 频 率 近 似 估 计 周 期 : 1.4444; 中 心 频 率 : 0.69231 0246 -2 -1 0 1 2 3 coif1小 波 中 心 频 率 近 似 估 计 周 期 : 1.25; 中 心 频 率 : 0.8 -505 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 gaus4小 波 中 心 频 率 近 似 估 计 周 期 : 2; 中 心 频 率 : 0.5 小波变换原理与应用42 小波的工程应用时频分析与降噪 -20-1001020 -1 -0.5 0 0.5 1 shan0.5-1小 波 中 心 频 率 近 似 估 计 实部 -20-10010