11.3一般项级数及审敛法

1、11.3 一般项级数的审敛法一般项级数的审敛法 1 1234 1 ( 1)n n n uuuuu 一、一、 交错级数及其审敛法交错级数及其审敛法 1.定义定义 的数项级数的数项级数, ,称为交错级数称为交错级数. . 设设 形如形如01,2, n un ， 1234 1 ( 1)n n n uuuuu 或或 例如例如, ,交错级数交错级数 1 1111 1(1) 234 n n 定理定理 （莱布尼茨判别法）莱布尼茨判别法）设交错级数设交错级数 满足条件满足条件: : 1 1 ( 1)n n n u 则交错级数则交错级数 收敛收敛, ,且其和且其和 , , 其余项其余项 的绝对值的绝对值 . .

2、 1 us n r 1 nn ur 1 1 ( 1)n n n u 证明证明: : 故级数收敛于故级数收敛于s, ,且且 21234212 ()()()0 nnn suuuuuu 2123452221 ()()() nnn suuuuuuu 2n u 1 u 2 lim n n s 是单调递增有界数列是单调递增有界数列, , 2n s故故 21 lim n n ssu 又又 21221 limlim() nnn nn ssu 12nnn ruu s 1, su nn rss 12 () nn uu n s的余项的余项 1n u 1 11 1 nn uu nn 1 limlim0 n nn u

3、n 由莱布尼茨定理知，该交错级数收敛，且其和由莱布尼茨定理知，该交错级数收敛，且其和 1s 如果取前如果取前 项和项和n 1 1111 1( 1) 234 n n s n 作为作为s的近似值，所产生的误差的近似值，所产生的误差 . . 1 1 1 nn ru n 例例1. 判定交错级数判定交错级数 11 1 11111 ( 1)1( 1) 234 nn n nn 的敛散性的敛散性. . 解解 交错级数满足条件交错级数满足条件 收敛 收敛 n n 1 ) 1( 4 1 3 1 2 1 1) 1 1 ! 1 ) 1( !4 1 !3 1 !2 1 1)2 1 n n 用用莱布尼茨判别法莱布尼茨判别

4、法判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性: n n n 10 ) 1( 10 4 10 3 10 2 10 1 )3 1 432 收敛收敛 上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ? ; 1 ) 1 1 n n ; ! 1 )2 1 n n . 10 )3 1 n n n 发散发散收敛收敛收敛收敛 1 (1)!n 1 !n 1 1n 1n n u u 1 1 10n n 10n n 11 10 n n 讨论一般的级数讨论一般的级数 它的各项为任意的实数，称之为任意项级数或它的各项为任意的实数，称之为任意项级数或 一般项级数一般项级数. . 12 1

5、nn n uuuu 二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛 1 1 1 ) 1( n n n 对任意项级数对任意项级数 若若 收敛收敛 , , 则称原级数则称原级数 绝对收敛绝对收敛 ； , 1 n n u 1n n u 1n n u 若原级数收敛若原级数收敛, , 但取绝对值以后的级但取绝对值以后的级 数发散数发散, ,则称原级数则称原级数 条件收敛条件收敛 . . 1n n u 为条件收敛为条件收敛 . . 为绝对收敛为绝对收敛. . 例如例如, , 绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 1 2 1 1 ( 1)n n n 定理定理 证明证明： 1 ()(1,2,), 2 nnn v

6、uun 令令 0, n v , nn vu 显然显然且且因级数因级数 收敛，收敛， 1 n n u 故由比较审敛法知道，级数故由比较审敛法知道，级数 收敛收敛. . 1 n n v 11 (2), nnn nn uvu 又又 例例2. 判定下列级数的敛散性，若收敛，指出判定下列级数的敛散性，若收敛，指出 其是绝对收敛还是条件收敛其是绝对收敛还是条件收敛. . 2 1 sin n n n 22 sin1n nn 2 1 1 n n 解解因为因为 ，而，而 收敛，收敛， 所以级数所以级数 也收敛也收敛. . 2 1 sin n n n 2 1 sin n n n 为绝对收敛为绝对收敛. . 从而级

7、数从而级数 例例3. 判定级数判定级数收敛性收敛性. . n n n n n 2 1 11 11 2 n nn u n 2 11 1, 2 e 1 1, 2 解解 这是交错级数，记这是交错级数，记 可知可知 因此所给级数发散因此所给级数发散. . n n n uen n 111 1 22 n un0, 有有 而而 练习练习11pp181.3.判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性, , 若收敛若收敛, ,是绝对收敛还是条件收敛是绝对收敛还是条件收敛? ? n n n 1 ( 1) (1) ln(1) n n n 1 cos (2) n n n 1 sin 3 (3) 2 条件收敛条件收敛 绝对收敛绝对收敛 条件收敛条件收敛 练习练习11pp181.3.判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性, , 若收敛若收敛, ,是绝