自动控制原理吴怀宇课后习题精编版

1、最新资料推荐第四章K4-1 已知单位反馈系统的开环传递函数为 G(s) 试绘制该系统在正、 负反馈s(s 1)(s 2)情况下的根轨迹图。解：( 1)负反馈情况令 s(s 1)(s 2)=0 ，解得 3 个开环极点 p1 0, p2 1,p3 2根轨迹分支数为 3，起点分别为 (0, j0),( 1, j 0),( 2, j0) 终点均为无穷远处。在实轴上的根轨迹为 , 2 , 1,0 两段。nmpizj由 n=3,m=0 得轨迹有 3 条渐近线，它们在实轴上的交点坐标 a i 1 j 1 1nm渐近线与实轴正方向的夹角为 a (2k 1) =(2k 1) ，( k=0,1,2 )a n m

2、3当 k=0,1,2 时，计算得 a分别为 60， 180， -601 1 1确定分离点， 由 + + =0 解得 d10.42, d 21.58由于 d2 不是根轨迹上d d 1 d 2 1 2 2的点，故不是分离点，分离点坐标为d1确定根轨迹与虚轴的交点：控制系统特征方程s3 3s2 2s K=0 令s=j代入上式得 j 3 3 2 2j K=0 写出实部和虚部方程K 3 2=032 3 0可求得2K6或 K=00因此，根轨迹在 2 处与虚轴相交，交点处的增益 K 6 ；另外实轴上的根轨迹 分支在 0 处与虚轴相交。负反馈系统根轨迹如下图所示(2)正反馈情况令 s(s 1)(s 2)=0

3、，解得 3 个开环极点 p1 0, p2 1,p3 2 根轨迹分支数为 3，起点分别为 (0, j0),( 1, j 0),( 2, j0) 终点均为无穷远处。 在实轴上的根轨迹为 2, 1 , 0, 两段。nmpizji1 j 1nm最新资料推荐由 n=3,m=0 得轨迹有 3 条渐近线，它们在实轴上的交点坐标2k渐近线与实轴正方向的夹角为 a=，( k=0,1,2 )3当 k=0,1,2 时，计算得 a 分别为 0， 120， -120 1 1 1确定分离点，由 d1+d11+d12=0解得d1 0.42,d2 1.58由于 d1不是根轨迹上的点，故不是分离点，分离点坐标为 d2确定根轨迹

4、与虚轴的交点：控制系统特征方程s3 3s2 2s-K=0 将s=j代入上式得 j 3 3 2 2j -K=0 写出实部和虚部方程-K 3 2=032 3 0可求得 2 或 =0K -6 K 0因此，根轨迹在0 处与虚轴相交。正反馈系统根轨迹如下图所示4-2设系统的开环传递函数为 G( s) H (s) K(s+z) (z p)绘制根轨迹图， 证明根轨迹 s(s p)的复数部分是圆，并求出圆的圆心和半径。解：系统实轴上的根轨迹为 , z , p,0根轨迹分离点坐标满足1 + 1 = 1 解得 d1z z2 pz,d2zz2 pzddpdz系统闭环特征方程s2 (p K)s+Kz=0 解得 s1,

5、2=- p K4Kz (p K)22令 x=-pK,y4Kz (p K)2(p K)24Kz (p K )24Kz(p K)24(x z)2=(z- p2K)2 z2 z(p K) 4两式相加得 (x z)2 y2=z2 zp又分离点 d 到开环零点距离 r=d zz2 pz最新资料推荐即 (x z)2 y2 r2 =(d z)2故根轨迹的复数部分是圆，圆心为零点，半径为零点到分离点之间的距离。根轨迹图如下：4-3 已知单位负反馈系统的开环传递函数，试绘制根轨迹图。1)G(s)K(s 2)s(s 1)(s 3)2)G(s)K(s 1)s2 (0.1s 1)3)G(s)K(s 5)(s 1)(s

6、 3)4)G(s)K (s 1)2s5)G(s)K(s 4)(s 1)26)G(s)K(s 0.2)s2(s 3.6)解：( 1)由开环传递函数可知，系统有1 个开环零点 z1 23 个开环极点 p1 0, p2 1,p33根轨迹分支数为 3，起点分别为 (0, j0),( 1, j 0),( 3,j0) 一个终点为 ( 2, j0) 另两个终点为无穷远处。在实轴上的根轨迹为 3, 2 , 1,0 两段。nm pi zj 由 n=3,m=1 得轨迹有 2 条渐近线，它们在实轴上的交点坐标a i 1 j 1 1a n m 渐近线与实轴正方向的夹角为 a (2k 1) =(2k 1) ，(k=0,

7、1 )a n m 2当 k=0,1 时，计算得 a 分别为 -90 ， 90则系统根轨迹如下图所示( 2)由开环传递函数可知，系统有 1 个开环零点 z113 个开环极点 p1 0,p2 0, p3 10根轨迹分支数为 3，起点分别为 (0, j 0),(0, j0),( 10, j0) 一个终点为 ( 1,j0) 另两个终点为无穷远处。在实轴上的根轨迹为 10, 1 段。zjpi由 n=3,m=1 得轨迹有 2 条渐近线，它们在实轴上的交点坐标i1j14.5nm最新资料推荐渐近线与实轴正方向的夹角为 a （2k 1） =（2k 1） ，（k=0,1 ） n m 2当 k=0,1 时，计算得

8、a 分别为 -90 ， 901 1 1 1确定分离点，由 + + =解得 d1 4,d2 2.5d d d 10 d 1 1 232确定根轨迹与虚轴的交点：控制系统特征方程0.1s3 s2 Ks K =0 将 s=j=0代入上式可求得K0则系统根轨迹如下图所示（ 3）由开环传递函数可知，系统有 1 个开环零点 z1 52 个开环极点 p11,p23根轨迹分支数为 2，起点分别为 （ 1, j 0）,（ 3, j0） ，终点分别为 （ 5,j0） 和无穷远处。在实轴上的根轨迹为 , 5 , 3, 1 两段。nmpizj轨迹有 1 条渐近线，它与实轴上的交点坐标 a i 1 j 1 1anm渐近线

9、与实轴正方向的夹角为 a （2k 1） =（2k 1） ，（ k=0）则 a a n m a 确定分离点，由 1 + 1 = 1 解得 d15 2 2，d2 5 2 2d 1 d 3 d 5 1 2确定根轨迹与虚轴的交点：控制系统特征方程s2 （4 K）s 3 5K=0 将 s=j代入上式可求得K=0-3, K= 147j5均舍去则系统根轨迹如下图所示4）由开环传递函数可知，系统有1 个开环零点 z112 个开环极点 p1 0, p2 0根轨迹分支数为 2，起点分别为 （0, j 0）,（0, j 0） ，终点分别为 （ 1,j0） 和无穷远处。 在实轴上的根轨迹为 , 1 段。最新资料推荐n

10、mpizj轨迹有 1 条渐近线，它与实轴上的交点坐标a i 1 j 1 1anm渐近线与实轴正方向的夹角为（2k 1）a=（2k 1）nm（k=0） 则 a1 1 1确定分离点，由 1 + 1 = 1 解得 dd d d 1则系统根轨迹如下图所示2 ，则分离点为 2, j05)由开环传递函数可知，系统有1个开环零点 z1 42 个开环极点 p11,p21根轨迹分支数为 2，起点分别为 ( 1, j 0),( 1, j0) ，终点分别为 ( 4,j0) 和无穷远处。在实轴上的根轨迹为 , 4 段。nm pizj轨迹有 1 条渐近线，它与实轴上的交点坐标 a i 1 j 1 2 a n m渐近线与

11、实轴正方向的夹角为a （2k 1） =（2k 1） ， （k=0） 则 a nm1 1 1确定分离点，由 1 + 1 = 1 解得 d 7 d1d1d4 则系统根轨迹如下图所示6)由开环传递函数可知，系统有1 个开环零点 z10.23 个开环极点 p1 0,p2 0, p3 3.6根轨迹分支数为 3，起点分别为 (0, j0),(0, j0),( 3.6, j 0) ，终点分别为 ( 0.2, j0)和无穷远处。在实轴上的根轨迹为 3.6, 0.2 段。pi轨迹有 2 条渐近线，它与实轴上的交点坐标i1mzjj11.7nm渐近线与实轴正方向的夹角为 a (2k 1) =(2k 1) ，(k=0

12、,1) 则 aa n m 2 a 2 1 1 1 1确定分离点，由 + = 解得 d11.67, d 20.43d d d 3.6 d 0.2 1 2 则系统根轨迹如下图所示最新资料推荐4-5 已知系统如下图所示，试绘制根轨迹图。K 解：由图可知系统的开环传递函数为 G(s)H(s) 3 2 s 2s 2s32 令s3 2s2 2s=0 ，解得 3个开环极点 p1 0, p2 1 j,p3 1 j根轨迹分支数为 3，起点分别为 (0, j0),( 1, j)和( 1, j ) ，终点分别为 ( 5, j0)和无穷远处。 在实轴上的根轨迹为 ,0 段。轨迹有 3 条渐近线，它与实轴上的交点坐标nmpizji 1 j 1nm渐近线与实轴正方向的夹角为 a (2k 1) =(2k 1) ，( k=0,1,2 ) n m 3当 k=0,1,2 时