八上培优半角模型

1、八上培优5-半角模型八上培优5 半角模型方法：截长补短图形中，往往出现90。套45的情况，或者 120套60的情况。还有2套 的情况。求证的结 论一般是线段的和与差。解决的方法是：截长补短 构造全等三角形。旋转移位造全等，翻折分割构全 等。截长法，补短法。勤学早和新观察均有专题。勤学早在第49页，新观察在第34页，新观察培优也有涉及，在第 27页 2两个例题，29页有习题。这些题大同小异，只是 图形略有变化而已。证明过程一般要证明两次全下面是新观察第34页14题1如图，四边形 ABCD 中，Z A= Z C=90，Z D=60 ,AB=BC ,E、F，分别在 AD、CD 上，且 Z EBF=6

2、0 .求证：EF=AE+CF .2. 如图2,在上题中，若E、F分别在AD、DC的 延长线上，其余条件不变，求证： AE=EF+CFACB=120 形 ABCDE,CA=CB=4, ZAE=3, BF=2,求五边BBB=90 ，Z ECF=60 ， 的面积.4如图1 在四边形ABCD中.AB=AD , Z B+ ZD=180, E、F分别是边BC、CD上的点，且ZBAD=2 / EAF .(1) 求证：EF=BE+DF ;(2) 在(1)问中，若将 AEF绕点A逆时针旋转, 当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时，如图 2所示，试探究EF、BE、DF之间的数量关系.E1国23. 如图3,在四

3、边形 ABDC中，/ B+ Z C=180, DB=DC , Z BDC=120 ，以 D 为顶点作一个 60 的角，角的两边分别交 AB、AC于E、F两点，连 接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系， 并加以证明.勤学早第40页试题1. (1 )女口图，已知 AB= AC, ZBAC=90 , Z MAN=45 ,过点 C 作 NC 丄AC 交AN于点N,过点B作BM垂直AB交AM于点M , 当Z MAN在Z BAC内部时，求证：BM+CN =MN;证明:延长MB到点G，使BG=CN,连接AG，证 ABGACN(SAS), AN=AG, Z BAG= ,Z NAC. L I Z GA

4、M= Z GAB + Z BAM= Z CAN+ Z BAM=45 = L Z MAN,证厶 AMN 旦厶 AMG(SAS), MN= MG= BM + BG= BM 十 NC.证明二：(此证明方法见新观察培优第 27页例3)如图，在(1)的条件下，当AM和AN在AB两侧 时，(1)的结论是否成立？请说明理由.My/FNNAC AC解:不成立，结论是:MN=CN 一 BM, 证明略.基本模型二120套602. 如图， ABC 中,CA=CB, / ACB=120 ,E 为 AB 上一点，/ DCE=60 ,Z DAE= 120 , 求证:DE=BECBF证明:（补短法涎长EB至点F使BF=AD

5、,连接CF,则厶 CBF CAD , CED CEF,.DE- AD=EF- BF= BE.3. 如图, ABC 中,CA=CB, / ACB=120。，点 E 为 AB 上一点，/ DCE= / DAE= 60 , 求证:AD+DE= BE.CEFEB证明：（截长法）在BE上截取BF=AD,连接CF ,易证 CBFCAD , CED 也 ACEF, DE= EF, AD+DE= BF+EF=BE.比较：新观察培优版27页例4如 图， ABC是边长为1的等边三角形， BDC是顶角，/ BDC= 120的等腰三角形，以 D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB、AC 于M、N,连结MN,试求 A

6、MN的周长.A分析:由于/ MDN=60 ，/ BDC=120。，所以/BDM十/ CDN=60 ，注意到DB=DC，考虑运用“旋转法”将/ BDM和/ CDN移到一起，寻找全 等三角形。另一方面, AMN 的周长 AM+AN +MN= AB+ AC+MN-BM- CN.猜想 MN= BM+CN,证三角形全等解决.新观察培优68页 例5如图，点A、B(2,0)在x 轴上原点两侧，C在y轴正半轴上，OC平分/ ACB.(1) 求A点坐标；如图1, AQ在/ CAB内部，P是AQ上一点， 满足/ ACB= Z AQB, AP=BQ.试判断 CPQ 的形 状，并予以证明；如图2. BD丄BC交y轴负

7、半轴于D. Z BDO=60 , F为线段AC上一动点，E在CB延长 线上，满足Z CFD+ Z E=180 .当F在AC上移动 时，结论：CE+CF值不变；CE- CF值不变， 其中只有一个正确结论，请选出正确结论并求其值.xG分析:(1)由 Z A0C BOC 得 AO= BO=2, A(- 2,0).(2) 由厶 ACPBCQ 得 CP=CQ.(3) 由BD丄BC, Z BDO=60。，可证得等边厶 ABC.由角平分线和DB_丄BC的条件，运用对称性知DA 丄AC,连结DA,加上条件/ CFD+ / E=180,可 证得 ADF BDE,于是 CE+CF=2AC= 2AB= 8.基本模型

8、三 2 。套。4. (1)如图 1,在四边形 ABCD 中，AB=AD, Z B+ Z D=180 , E,F 分别是 BC,CD 上的点，且Z EAF=: Z BAD,求证:EF= BE+ DF;如图2,在 (1)的条件下，若将 AEF绕点A逆时针 旋转，当点E,F分别运动到BC,CD延长线上时，则EF,BE,DF之间的数量关系是 EF=BE- DFGE解:(1)EF=BE+DF,延长 FD 到点 G，使 DG=BE,连 接AG,证厶 ABE ADG (SAS), . AE = AG,Z BAE= Z DAG , v/ EAF =丄 Z BAD, Z GAF= Z DAG+ Z DAF= Z

9、 BAE+ Z DAF= ZBAD- Z EAF= Z EAF, aZ EAF= Z GAF,证厶 AEF 旦厶 GAF(SAS),. a EF= FG, / FG=DG+ DF=BE+ DF , a EF=BE +DF;(2)EF=BE DF .外地试题：4. 探究：如图，点 E、F分别在正方形 ABCD 的边BC、CD上，/ EAF=45 ,连结EF，求证： EF=BE+DF .应用：如图，在四边形 ABCD中，点E、F分别在 BC、CD 上，AB=AD，/ B+ / D=90 , Z EAF=； / BAD ，若 EF=3, BE=2，贝V DF=.5. 通过类比联想、引申拓展研究典型题

10、目，可达 到解一题知一类的目的.下面是一个案例，请补充 完整.原题：如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边 BC、CD 上，/ EAF=45 ,连接 EF，求证： EF=BE+DF .(1) 思路梳理 AB=AD，二把 ABE绕点A逆时针旋转90至 ADG，可使 AB与AD重合. / ADG= / B=90 , / FDG= / ADG+ /ADC=180。，则点 F、D、G 共线.根据, 易证 AFG也，从而得EF=BE+DF ;类比引申如图 2,四边形 ABCD 中，AB=AD，/ BAD=90 点E、F分别在边 BC、CD上，/ EAF=45。若 / B、/ D都不是直角，但当/ B与

11、/ D满足等量 关系时，仍有EF=BE+DF，请给出证明；(3)联想拓展如图 3，在厶ABC 中，/ BAC=90 ，AB=AC，点 D、E均在边BC上，且/ DAE=45 ，猜想BD、 DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程.7. (1)如图1,在四边形ABCD中，AB=AD，/ B= Z D=90 , E、F分别是边BC、CD上的点，且 AE=AF，Z EAF= ； Z BAD .现有三种添加辅助线 的方式：延长EB至G,使BG=BE，连接AG ;延长FD至G，使DG=BE，连接AG ;过点A 作AG丄EF，垂足为G;选择其中一种方法添加辅 助线，求证：EF=BE+FD ;(2) 如图

12、2,在四边形 ABCD中，AB=AD，若Z B+ Z D=180 ，Z EAF=-2 Z BAD，证明(1)中结 论是否还成立？(3) 如图3,在四边形 ABCD中，AB=AD，Z B+ Z ADC=180 , E、F分别是边BC、CD延长线上 的点，且Z EAF= 2 Z BAD , (1)中的结论是否仍然 成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之 间的数量关系，并证明.8 (1)如图1,在四边形ABCD中，AB=AD ,/ B= / D=90 , E、F分别是边BC、CD上的点，且 Z EAF= 1 Z BAD .求证：EF=BE+FD .2(2) 如图2,在四边形 ABCD中，AB=

13、AD , Z B+Z D=180, E、F分别是边BC、CD上的点，且 Z EAF=1 Z BAD , (1)中的结论是否仍然成立？若 成立，请证明；若不成立，请写出线段 EF、BE、 FD它们之间的数量关系，并证明.(3) 如图3,在四边形 ABCD中，AB=AD , Z B+ Z ADC=180 , E、F分别是边BC、CD延长线上 的点，且Z EAF= 2 Z BAD , (1)中的结论是否仍然 成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、 BE、FD它们之间的数量关系，并证明.半角模型问题放到平面直角坐标系中是什么样子？1.如图1,在平面直角坐标系中， AOB为等腰-20 -(1)

14、 求B点坐标；(2) 如图2,若C为x正半轴上一动点，以AC为 直角边作等腰直角 ACD，/ ACD=90 ，连接 OD，求/ AOD的度数；(3) 如图3,过点A作y轴的垂线交y轴于E，F 为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG 为直角边作等腰Rt EGH，过A作x轴垂线交EH 于点M ,连FM ,等式AM=FM+OF是否成立？若 成立，请说明；若不成立，说明理由.解：(1)如图所示，作 AOB为等腰直角三 角形，且AE丄OB ,二 OE=EB=4, 0B=8, B (8, 0);(2)如图所示，作AE 丄OB于E, DF丄OB于F, ACD为等腰直角三 角形，AC=DC ,/ACD

15、=90 即/ACF+/DCF=90 ,/FDC+/DCF=90 ,/ ACF= / FDC , 又/ DFC= /AEC=90 , DFC也 CEA(AAS), EC=DF=4 , FC=AE , A (4, 4), AE=OE=4 , FC=OE , 即OF+EF=CE+EF , OF=CE , OF=DF ,/ DOF=45 , AOB为等腰直角三 角形，/ AOB=45 , / AOD= / AOB+ /DOF=90 ;/? 0Eb i0B s(3)AM=FM+OF成立， 理由：如图所示，在AM上截取AN=OF，连EN .ZAEN+Z A (4, 4)，OEM=45 . AE=OE=4，

16、又/ AEO=90 ，又 I Z EAN= Z Z NEM=45 = ZEOF=90 ，AN=OF，FEM， EAN也 EOF又 EM=EM，(SAS)， NEM 也 FEM Z OEF= Z AEN，(SAS)，EF=EN， MN=MF，又 EGH为等腰直角 三角形，AM-MF=AM-MN=AN ，Z GEH=45。，即Z AM-MF=OF，OEF+ Z OEM=45 , 即 AM=FM+OF ;【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判 定、等腰三角形的性质和坐标与图形性质的综合应 用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等I三角形解决问题，属于中考常考题型.2如图，直线L交x轴、y轴

17、分别于A、B两点,A (a，0) B (0，b )，且(a-b) 2+|b-4|=0(1) 求A、B两点坐标；（2）C为线段AB上一点，C点的横坐标是3, P 是y轴正半轴上一点，且满足/ OCP=45。，求P 点坐标；（3）在（2）的条件下，过B作BD丄0C,交0C、 0A分别于F、D两点，E为0A上一点，且/ CEA= Z BDO，试判断线段0D与AE的数量关系，并说 明理由. A (4, 0)，B (0, 4);(2)-# -3.如图，已知A (a, b), AB丄y轴于B,且满足|a-2|+ (b-2) 2=0,(1) 求A点坐标；(2) 如图1,分别以AB , AO为边作等边三角形

18、ABC和厶AOD，试判定线段AC和DC的数量关 系和位置关系，并说明理由；(3) 如图2,过A作AE丄x轴于E,点F、G分 别为线段OE、AE上两个动点，满足/ FBG=45 ,求其2017-2018江汉期中 如图点P为厶ABC勺外角/BCD的平分线上一点，PA=PB(1) 求证：/ PACK PBC(2) 作 PEI BC于 E, 若 AC=5 BC=11 求 SA PCESA PBE(3) 若M N分别是边AC BC上的点，且/ MPN=/ APB则线段AM MN BN之间有何数量关系，并/ PAC= / PBC,作PE丄BC于E, PF丄AC 于 F,IAA圍1、 PC平分/ DCB ,

19、解：(1)如图1,过点P PE=PF,在 Rt PAF 和 Rt PEB 中，PF = PE PE 丄 BC , CP 是/BCD的平分线， PE=PF , / PCF= /PA= PB,PCE , Rt PAF Rt PEB, I PC=PC ,-28 -t PEB,AF=BE ,AF=AC+CF PCFPCE , CFCE ,由(1)知，Rt PAF 也RE=BC-CE , AC+CF=BC-CE , 5+CF=11-CE ,CE=CF=3 , PFCPEC , S PFC厶 pec ,Rt PAF Rt PEB, PAF = Sa PEB , S PCE :S PBE=S PFC :S

20、PFA2CF X PF: 2aC X PFCF : AC=3 : (3+5) =3:8(3)如图3,在BC上截取BQAM ,在厶PMA和厶PQB中，PA= PBPAM= PBQMA= BQ, PMA BA PQB ,PMPQ ,/MPAQPB, / APM+ / QPA /APQ+ / QPB,即：/ APB / MPQ , / MPN鬥 / APB， / MPN丄 / MPQ ,/ MPN / QPN , 在厶MPN和厶QPC中，PN= PNMPN = QPNMP= QP, MPN BA QPC , MNQN , BNAM+MN .【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全 等三角形的判定和性

21、 质，角平分线定理和角 平分线的定义，解（1） 的关键是判断出PE=PF，解（2）的关键是求出CE=CF=3，解（3）的关键是构造全等 三角形判断出/ APB= Z MPQ，是一道中等难 度的中考常考题.2015-2016江岸八上期末已知在 ABC中， AB=AC，射线BM、BN在Z ABC内部，分别交线 段AC于点G、H .I.（1）如图 1,若Z ABC=60 、Z MBN=30。，作 AE丄BN于点D，分别交BC、BM于点E、F.（2）如图2,点E为BC上一点，AE交BM于点求证：CE=AG ;若BF=2AF，连寸接 CF，求Z CFE的度数；ABC为等边三角形，根据等边三角形的性质得到

22、/ BAC= Z ACB=60 , AB=CA ,求得/ BFD= Z AFG=60 ，推出 Z EAC= Z GBA 证得 GBA EAC ,根据全等三角形的性质即可得到结论；如 图1,取BF的中点K连接AK，由BF=2AF，推出 FAK是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到 Z FAK= Z FKA ,求得 z akf = ； z bfd = 30,根据全等三 角形的性质得到 AG=CE , BG=AE , Z AGB= Z AEC ,推出 GAK EFC ,根据全等三角形的性 质得到Z CFE= Z AKF即可得到结论；(2)如图2,在BF上取BK=AF，连接AK ,推出 Z EAC= Z FBA ,根据全等三角形的性质得到 Sabk=S acf, Z AKB= Z AFC，证得 FAK是等腰三角形， 根据等腰三角形的性质得到 AF=FK，即可得到结 论.【解答】解：(1)I AD J-BN ,ZAB=AC ,Z ABC=60 MBN=30 ABC为等边三角ZBFD=Z形