练习7恒定磁场

1、练习 7 恒定磁场电流的磁效应 试述第一个揭示电流磁效应的科学家及其实验。这个实验距今已100多年了 , 到物理演示实验室来重做一下这个实验 , 你将会感到很有意思 , 并对讨论下列问题可能会有帮助。（ 1） 小磁针在电流周围或永久磁铁周围为什么会发生偏转（ 2） 怎样用小磁针来判定空间磁场的方向 并指出图（教材 P304）中所示各小磁针 N 极 的指向:（ 3） 电流周围能激发磁场。永久磁铁周围的磁场是什么激发的（ 4） 传导电流是电荷在导体中定向运动形成的 , 且 I neSv （ n 为载流子密度 , v 为 电荷定向运动的平均速度 , S 为截面积） , 那么, 电流I 与电流密度 的

2、关系为I 分析与解答 奥斯特实验（ 1820年）。（1）电流或永久磁铁周围存在着磁场，小磁针处于其中，将受到磁场的作用，从而就会 发生偏转，直到小磁针 N极指向该磁场方向为止。（2）小磁针 N极的指向就是该处磁场的方向。图（ b）中三个磁针的 N极均指向左方。（3）永久磁铁中存在“分子电流”，且分子电流的磁性呈有序排列，因此对外显示出磁 性。（ 4） Ids试说明直线电流 I 1,I 2间相互作用的物理机理 , 并讨论:（ 1） 图示的I 1,I 2的相互作用情况 , 你是怎样判断的（ 2） 图（ a ） , （ b ）所示的 q1 , q2 的相互作用情况。你在分析中 , 考虑到参考系没有题

3、（ 1）图题（ 2）图 分析与解答 （1） I1在I 2处激发指向纸面内的磁场 B1 ，根据安培定律 dF I2dl B1可知， I2受到向 上的安培力；同理， I1 受到向下的安培力。（ 2）在图（ a）中 q1，q2 相对静止，它们之间的相互作用力为库仑力。在图（ b）中， q1，q2 仍相对静止，都各自受到对方所激发的电场力 （库仑力） 。但对地面参考系而言， 它们均为运动电荷，除激发电场外，还要在周围激发磁场，双方还受到对方所激发的磁场力 （洛伦兹力）。3已知铜的摩尔质量 M=63.75g/mol，密度 =8.9g/cm ，在铜导线里，假设每一个铜原子贡献出一个自由电子， （1）为了技

4、术上的安 全，铜线内最大 电流密度j m2=6.0A/mm ， 求此时铜线内电子的漂移速率 vI，（ 2）在室温下电子热运动的平均速率是电子漂移速率 vd 的多少倍毕奥- 萨伐尔定律及其应用用毕奥 -萨伐尔定律求 B,需要用高等数学工具。 请认真研究几个典型例题 （ 直线电流、圆 电流等） , 总结一下求解的思路和方法 , 并将几个特殊结论填在下面 ,必要时可直接选用。( 1)无限长载流直导线周围的B =( 2)载流直导线延长线上任一点的( 3)圆电流中心的 B =0I2R( 4)长直螺线管内的 B =n 0I( 5)长直螺线管端点的 B =( 6)一个运动电荷激发的磁场B =1n20 I 2

5、r B = 0; 轴线上任一点的 B =02 R2Pm3x2 2B 0 qv er 。B 4 。中所示点 P 的磁感强度能否简单计算或直接写出图 （ a ） （ f ）题图 分析与解答 （a）B120I2l4 0 lI 方向：1( b) B0I0I方向：22R4R（c） B1021 2 两电流在 P点产生的磁场方向不同，不能直接相加，经分析合2 y2 l 2 磁场方向应沿中垂线向上的方向，故两磁场在该方向的投影之和即为总磁场。B 2B1cos 2B1l20I1l 2 方向：向上r y ld)B 0I0I0sin t 方向： sin t 0时为 ，sin t 0时为2 d 2 d（e） B0 I

6、0I 方向：2R 4 R（f） B1 0I1 方向：B20I2方向：向左2 r12 r2 r1总磁场 BB12 B22（I1）2 （ I2 ）2 方向：沿 B B1 B 2 方向。2r1r2 r1求解:（1）一圆形载流导线的圆心处的磁感强度为 B1 , 若保持I 不变, 将导线改为正方形 , 其 中心处的磁感强度为 B2 , 试求 B2/B1 。（2）如图所示, 宽度为a 的无限长金属薄片 , 均匀通以电流 I 并与纸面共面。试求在纸 面内距薄片左端为 r 处点 P 的磁感强度 B。 分析与解答 （1） 图形载流导线中心的 B 1 0 I 。改为正方形时，每边长1 2 R2R412 R , 距

7、中心点 O的垂直距离均为 a1R , 每边（载流 I ）在 O点激发的44 22R0I ,则BB12有 dII dx aB0I sin45 , 则中心O点的总磁感强度 B2 4 0I sin 452 a 2 a题（ 2）图（ 2）以P点为坐标原点，作 OX轴。在薄片内距 O点为 x 处，取宽度为 dx 的长直电流 dI ，0dI0I它在 P点激发的磁感强度为 dB00 dx2 x 2 ax 则整个薄片电流在 P点激发的磁感强度为B dB 0 I dx0 I ln r a 方向：r 2 ax 2 a r（3）半径为 R 的薄圆盘均匀带电 , 电荷面密度为 +, 当圆盘以角速度绕过盘心 O、并 垂

8、直于盘面的轴逆时针转动时 , 求盘心 O 处的 B。 分析与解答 （ 1）绕中心轴转动的带电介质圆盘可以看成是一个载流圆盘。 载流圆盘 又可看做是由一个个同心载流圆环所组成。点 O的磁感强度 B就是由这一个个载流圆环的磁感 强度叠加的结果。现在半径r处取一宽为 dr的同心圆环，其上的 dI 可写成dI n2 rdr 2 rdr rdr2式中， 为电荷面密度， 2 rdr 为圆环的面积。圆电流中心的磁感强度0dI 1B 0I 2R ，因此，所取圆环在其中心的磁感强度 dB为dB0 0 dr2r 2按叠加原理可知，整个圆盘在中心的磁感强度 B 为dBR102dr（ 4） 一均匀带电的半圆弧线 ,

9、半径为 R, 带电量为 Q, 以匀角速度绕对称轴 OO转动（见图） , 求半圆弧线圆心点 O 处的磁感强度 B。 分析与解答 由题设条件得电荷线密度 Q 。 R取线元 dl Rd ，其上所带电荷为 dQ Q dl Q Rd Q dRR当 dQ 以匀角速度绕 oo 轴做半径 r Rsin 的圆周运动时，所形成的圆电流为dI dQ Q2 d2 2 2dB设圆电流在其轴线上O点激发的磁感强度d B的大小为20 Rsin3 dI2R30 2Q sin4 2R方向：向上。则点 O处磁感强度 B 的大小为 BdB0 2.Q sin2 d4 2R0 .Q8R如图所示，半径为 R的木球上绕有密集的 细导线，线

10、圈平面彼此平行，且以单层线圈覆盖住 半个球面，设线圈的总匝数为 N，通过线圈的电流 为I ，求球心 O处的磁感强度。磁场高斯定理 题 图何谓磁通量 m 说明其正、负的物理意义（1）在如图所示的均匀磁场 B 中, 有一面积 S, 试求S 处于图示不同方位时 , 通过 S 面 的 m （ n 为正法线 ）题（ 1） 图(2) 在非均匀磁场中 , m 的一般表达式为 m =dm = ;(3) 通过一闭合曲面的 m = 分析与解答 1)maBSmb BScos ；0；mc mdBS。2)B dSs3)dSBs在非均匀场中 ,(1) 现有一无限长载流直导线 , 载流 I, 试求通过 图中所示与直线共面的

11、矩形面积的磁通量 m如何计算通过一面积的磁通量（2） 若 I I0 cos t , 则m 为多少题图 分析与解答 ( 1)对非均匀磁场 mB dS ，无限长电流的磁感应强度 B0I ，2x磁场随 x 的变化而变化，是非均匀磁场，在矩形 abcd 内取一竖直小矩形面积dS ldx ，得x2mx10I ldx0Il ln x22 x 2x12） m 20l I0sintln x2x1安培环路定理及其应用列出安培环路定理的表达式 , 安培环路定理的具体形式。讨论其物理意义 , 并写出图所示各图中 , 对于 L 回路的 分析与解答 安培环路定律为LB dl（ a） LB dl0 I1 I2 ；（ b）

12、 B dl0 I1 I 2 ；（c） B dl L10I1 ，B dlL2（ d） LB dl0；（e） B dl L在 B dl 0L0Ii 中的 I i表示什么 B 是题图0iIi ,它表明磁场是非保守场。 i0 I2 I1 ；0。i并判断下列说法的正误。它是由哪些电流激起的（ 1） B dl 仅与回路所包围的 I i 有关, 与回路外的电流无关 ; i（ 2） 式 B dl 中的B与回路所包围的 Ii 有关,与回路外的电流无关 ;i（ 3） 当 B dl 0 时, 则 L上各点的 B必处处为零 ;（ 4） 由于 LB dl 0 , 所以,磁场是有旋场 ;若 LB dl 0, 则该范围内的

13、就是保守场 ;（ 5） 如题 图（ d ） 所示, 回路L 与圆电流 I 共面, 则B dl Bdl 0 LL（ 6） 安培环路定律只适用于具有对称性的磁场。 分析与解答 Ii 是回路中所包围电流的代数和， B是回路上各点的磁感强度，它是空i间所有电流（回路内部和外部）所激发的。（1）正确。（ 2）错误。回路上的 B 不仅与回路内电流有关，而且与回路外电流也有关，它是由回路 内、外电流共同激发的。（3）错误。当 LB dl 0 时，只说明回路内无电流（或代数和为零），而回路上各 点的 B 不一定处处为零。（ 4）错误。一个保守场应满足回路的环流 恒等于零，若其环流有时为零，有时不为零， 就一定

14、是非保守场。（ 5）正确。由毕奥萨伐尔定律可分析圆电流在回路 L上各点产生磁场的方向始终垂直 纸面，即 Bl 恒等于零，故 LB dl L Bldl 0成立。（6）错误。安培环路定律是反映磁场基本性质的定律，无论磁场是否对称均适用。但若 用安培环路定律来简便计算磁感强度 B时，只适用于某些有对称性（或均匀分布）的磁场。仔细研究几个典型例题 （ 长直载流导线、螺线管等 ） , 总结一下应用安培环路定律计算 磁场分布的条件和一般思路方法。然后再练习求解下列各题。已知 10mm2 裸铜线允许通过 50A电 流 而 不 会 使 导 线 过 热。电 流 在导线横截面上均匀分布。求：导线内、外磁感强度的分

15、布。有一同轴电缆，其尺寸如图所示，两导体中的电流均为 I ，但电流的流向相反，导体的 磁性可不考虑。试计算以下各处的磁感强度：（1）rR1， （ 2） R1r R2，（ 3） R 2rR4 分析与解答 同轴电缆中电流呈轴对称性，故磁场分布也具有轴对称性。取半径为 r 的同心圆为积分环路，由安培环路定理 B dl 0 Ii 求各个区域的磁场分布。 1 分1) r R1B dl B1 2 r =0IR12R2B10I r2 R122)R1 r R2B dl B2 2 r0IB20I2r3) R2 rB3 dl B3 2 rr2R2R22B30I R32 r 22 r R32 R224) r R3B

16、 dl B42 rB4 0 2 分一根半径为 R 的实心铜导线 , 均匀流过的电流为 I , 在导线内部作一平面 S( 见图) , 试求:(1) 磁感强度的分布 ;(2) 通过每米导线内 S 平面的磁通量。 分析与解答 题 图( 1)作与铜导线同轴的圆形安培环路 L，由安培环路定 理有vv? B dl B 2 r 0 I2rr R 时，环路包含的电流为12IR1 2 r 2 ；r R 时，代入式得B 2 0RIr2rR2）dm0IrrR在截面 S上取面积元 dS 1dr，穿过 dS的磁通量 d m 为BvgdSv0 Ir22 R2dr则通过单位长度导线内S平面的磁通量m为d R 0Ir m d

17、 m 20 2 R2dr 40I磁场对载流子与载流导线的作用分析如图所示正、负载流子 （ 带电粒子 ） 在磁场中的受力和运动情况 , 并判断:题图（1）一束质子射入场中 , 其轨迹为抛物线 , 可知此空间存在电场 ;（2）同上 , 但作圆周运动 , 表明此空间存在磁场 ;（3）同上 , 其轨迹为直线 , 则此空间不存在电场和磁场 ;（4）带电粒子在磁场力作用下作匀速圆周运动 , 其半径与速度 v 成正比。周期与 v 无关 分析与解答 运动电荷在磁场中，将受到洛仑兹力，且 FL qv B，则（ a） +q受向上的由 B产生的洛仑兹力； -q 受向下的由 B产生的洛仑兹力。（b）+q受沿 方向的由

18、 B产生的洛仑兹力。 -q 受沿方向的由 B产生的洛仑兹力。（ c） q受力均为零。（ d）+q受向下的由 B产生的洛仑兹力和向下的电场力； -q受向上的由 B产生的洛仑兹力和 向上的电场力。由此也可判断：（ 1）正确。因为质点运动轨迹为抛物线，可知其必定受到一定大小、方向均不变化的恒 力作用，而洛仑兹力处处与速度方向垂直，即洛仑兹力的方向在变，因此不可能存在磁场，只有电场，并且应当是均匀电场，才可能出现抛物线轨迹（2）正确。轨迹为圆周时应受一个大小不变、方向始终与速度方向垂直的力作用，符合 洛仑兹力的特点（质子在均匀磁场中运动时有可能出现半圆轨迹）。（ 3）错误。轨迹为直线时，要么合外力为零

19、 （匀速直线 ） ，要么受力始终与速度同方向 （变 速直线），当电场力与洛仑兹力始终等大反向时， 或只有均匀电场时都有可能出现直线轨迹。2（4）正确。洛仑兹力大小 FL qvB，该力提供匀速圆周运动的向心力，即 mv qvB 整 R理得 R mqBv 周期T2Rv2mqB可见其半径与速度 v成正比，而周期与速度 v 无关。 测定离子质量的质谱仪如图所示，离子源 S产生质量为 m，电荷为 q的离子，离子的初速 很小，可看作是静止的，经电势差 U加速后离子进入磁感强度为 B的均匀 磁场，并沿一半圆形轨道到达离入口处距离 为9的感光底片上，试证明该离子的质量为 m=B 2qx2/8U题图无限长载流

20、（ I1= 20A）直导线旁置另一长 L1=20cm、载流 I2 = 10A 的导线ab, 如图（a） 所 示。求 :（ 1） 导线 ab所受的作用力 ;（ 2） 若将 ab换为一刚性线框 abcd （见图（b） , 试分析其受力情况和运动趋势( 3) 当 I1 20sin t ，rad3s 时，再求（ 1）题图 分析与解答 （ 1）无限长直载流导线旁任一点的磁感强度为B 0 I 1 方向：2x在 ab上距长直导线为 x处取电流元 I 2dxiv v v受力为 dF I 2dxi B 方向：向上v 则Fv dF0.3 v0.1 I 2Bdxj0I1I 2v ln 3j10 720 10 ln3

21、4.410 5（2）线框受力可看作是 4段直导线受力的总和。 ab和cd受力大小相等、方向相反，相互抵 消。ad段受力FabI 2B1L20I1I2L21.2 10 4方向：向左2 x1bc段受力FabI 2B2L20I1I 2L20.4 10 4方向：向右2 x2由于 Fad Fbc ，线框将向左（靠拢长直导线）加速运动。ur r（3）当 I1 20sin t时， F将随t周期性变化，即 F 4.4 10 5sin tj1 3 3 载流圆线圈半径 R = 200mm, I = 10A, 置于均匀磁场 B = 1 . 0 T 中, 如图所示。 B 的 方向与线圈平面垂直。试求 :（1）a, b

22、, c, d各处 1cm 长电流元各受力多少（2）半圆 abc 所受的合力如何（3）线圈如何运动（4） 如果磁场方向沿 x 正方向 , 情况又如何 分析与解答 （1）电流元 Idl 在 a、b、c、d各处均与 uBr 垂直，故dF IBdl 10 1.0 0.01 0.1（ 2）半圆载流导线 abc在磁场中所受的安培力等于直径 ac载同样电流的受力。即uuur rFabc2IBRiuuur r（ 3）由于 Fadc 2IBRi ，则线圈处于静止。ur uuur uuur（4）如B的方向沿x轴正方向，则 Fabc 沿纸面向里， Fadc沿纸面向外，线圈将受到力矩 作用，并绕 y轴转动（俯视：逆时

23、针方向）。题图 题图 题图两根平行长直细导线 , 分别通有电流I 1 和I2 , 它们之间相距为 d, 如图所示。试求: （1） 每根导线上单位长度线段受另一载流导线的作用力 ;（2） 如果 I 1 和I 2 流向相反 , 则情况如何 分析与解答 参阅主教材 P293例 7.5.5 。如图所示, 两根带电平行长直导线 1和2, 相距为d, 均以速度 v 沿x方向运动, 带的电荷线密度分别为 1 和2 。试求 :(1) 运动的载流导线 1和2形成的电流 I 1,I 2;(2) 两根导线各自单位长度所受的电场力 Fe;(3) 两根导线各自单位长度所受的磁场力 Fm;(4) 证明: Fm/Fe =

24、v2/ c2。 分析与解答 (1) 根据电流 I 是单位时间内通过 S面的电荷数，则 I11v,I 2它们所2v(2) 两导线单位长度上的电荷各自在对方处产生的电场强度为 EFe11E2则两导线单位长度之间的电相互作用力为21 2 0d122 0dFe12 E1120d2 0d(斥力)3)两导线单位长度之间的磁相互作用力为Fm1I 1B 20I 1I 22d21 2v2dFm1I 2 B121 2vd引力)4)根据( 2)，( 3)由于 c 100，即 0 0Fm2dFe122 0dFm2 v0的计算结果，得02 cFe磁力矩 试述处理载流线圈受磁场力作用的思路和方法 , 并说明 :uur u

25、r r ur( 1) 磁力矩一般表达式是 M=Pm B ISn B ;( 2) 引入线圈磁矩 pm和线圈平面法向 n的意义 ;( 3) 半径为R、共N匝的平面圆线圈 , 通有电流为I , 其磁矩pm = NI R2nr边长为a = 0.2m 的正方形线圈 , 共有N = 50 匝, 通以电流 I = 2A, 把它置于 的均匀磁场中 , 试问 :( 1) 线圈处于什么方位所受磁力矩最大 其值为多少 :（ 2） 处于什么方位所受磁力矩最小 其值为多少（ 3） 由磁力矩最大时的方位转到最小时的方位 , 磁力矩做功为多少 分析与解答 线圈的磁矩 Pm INa2 4A m2uur uur ur（1）由

26、M Pm B 可知，当 sin1时有M maxPm B sinPm B 4 0.05 0.2 m 即线圈的正法线方向与 B 垂直（2）当 n/ B，即 sin0 ，此时磁力矩最小，即 M minPm B sin0（ 3）由磁力矩的功 A Im ，按题意 m10，m2 BSBa2则 A I m I m1m2 I m2 NIBa502 0.05 0.220.2J如题图（教材 P311）所示, 半径为R = 0.20m,载流I= 20A, 可绕Oy 轴转动的圆形线圈置于均匀磁场中 , 磁感强度 B =T, 方向沿 x 轴正向。试求: （ 1） 线圈所受的磁场力 Fm;（ 2） 线圈的磁矩 pm;（ 3） 线圈所受的磁力矩M。 分析与解答 （1）分别在图中的 a，b， c，d处各取电流元 Idl ，根据安培定律dF Idl B 可知，它们所受的安培力分别为题图dFa IdlB sin 0dFb IBdl垂直纸面向