概率统计真题—Byfan

1、统计之都COS Capital Of Statistics人大概率统计考研历年真题精华版(02-07) By fan声明：这是由 fan 整理编辑，仅供参考。 )IN THE NAME OF STATISTICS, UNITE!1统计之都COS Capital Of Statistics2007 年人大概率统计初试题、（20分）两个不能分辨的盒子里都有 9个球，其中一个是 5红 4白，另一个是 4红 5白 从两个盒子中随机抽一个，希望通过无放回抽样来猜测抽到底是哪个盒子。其规则是： 无放回抽取三次，如果抽到的红球多，则认为盒子是 5红 4白；反之认为是 4红 5白。 问

2、这样猜错的概率有多大？如果用有放回抽样，猜错的概率又有多少？、（20 分）相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从参数为 1 和 2 的泊松分布，证明随机变量X+Y 服从参数为 1+ 2 的泊松分布。要求用两种方法证明，其中一种是特征函数。三、（10 分）二维随机变量 （X,Y） 的联合概率密度为cxy, 0x2, 1y2 f (x,y)0, otherwise求 Z min（ X,Y） 的概率密度函数。四、（15 分）设随机变量序列 n 及 n 分别以概率收敛于随机变量 和 ，证明： n n 以概率收敛于 。五、（15 分）二维随机变量 （X,Y）的联合分布律为X Y012-10.10.20

3、000.20.1求 EY | X 和VarX |Y 的分布律。六、（20分）设 X1,X2, , Xn是来自正态总体 N（ , 2 ）的简单随机样本，证明：1）1n(X X) 2(n 1)；1IN THE NAME OF STATISTICS, UNITE!2统计之都COS Capital Of Statistics2) X 与 Sn2相互独立。七、（15分）设总体 X 的分布函数为 F （x） ，概率密度函数为 f （x），X1,X2, ,Xn是总体 X 的 简单随机样本，证明第 k个次序统计量 X（k） 的概率密度函数为fk(x)n!(k 1)!

4、(n k)!F(x)k 11 F(x)n kf(x), k 1,2, ,n八、（20 分）设总体 X 服从正态总体 N（ , 2） ，其中 2已知。参数 的先验分布为正态总体N（ , 2），其中 和 2已知。 X1,X2, ,Xn是总体 X 的简单随机样本，求（1）参数 的后验分布；（2）在平方损失函数下求 的贝叶斯估计；（3）求 的置信水平为 1 的区间估计。九、（15 分）某市作电视收视率调查，随机调查了 100 人，在晚七点二十分收看中央台新闻 联播节目的人数是 45 人，根据以往经验，这一时刻节目的收视率是 50%，则 （1）能否认为收视率有了显著减少（显著性水平=0.05）；（2）假

5、设检验问题与区间估计具有对偶性，给出与以上假设检验问题相对偶的单侧区间 估计，并说明如何由此区间估计做上面的假设检验。（已知 （1.960） 0.975, （1.645） 0.975 ）IN THE NAME OF STATISTICS, UNITE!3统计之都COS Capital Of Statistics2006 年人大概率统计初试题一、(20分)设有编号 1, ,n的n个球和从左到右排列的编号为 1, ,N的N 个格子( N n)， 每个球都以同样的概率 1/ N落到 N 个格子中的一个格子中，试求：1. 某指定的 n 个格子中各有一个球的概率；2. 任何 n

6、个格子中各有一个球的概率；3. 任何 n 个格子中各有一个球并且球号从左到右严格上升的次序排列的概率；4. 任何 n个格子中各有一个球并且球号从左到右严格上升的次序排列，同时编号为 m 的 球落在第 M 个盒子中的概率 ( m M , n m N M ) 。二、(20 分)在可靠性与生存分析中，所研究的寿命现象是非负随机变量，记作，其分布函数为 F ( x) ，密度函数为 f(x)，称 S(x) 1 F(x) 为生存函数，这时常引入失效率函数 (x)，其定义为 (x) f (x) /S(x) 。1. 给出失效率函数 (x) 的直观解释，并推导用 (x) 表示S( x) 的公式；2. 某放射性物

7、质在初始时刻的质量为 m0 ，在单位时间内每个原子产生分裂核的概率为常 数 ，求经过时间 x 后改放射性物质质量的期望。三、(20 分)设 1和 2不相关，分别对以下两种情况证明 1与 2独立：1.1与 2都是只取 0 和 1 两个值的随机变量；2.1是只取 a1和b1( b1 a1 )这两个值的随机变量， 2是只取 a2和b2 ( b2 a2)这两个值的随机变量。四、(15 分)一个同学采用如下方法获得标准正态分布的随机数：每次产生12 个(0,1) 区间均匀分布的随机数，求和后再减 6，作为标准正态分布的一个随机数。你认为该同学 的做法是否合理 ?说明原因。五、(20 分)假设 X1,X2

8、, , Xn取自正态分布 N( , 2) 的简单随机样本， 和 2未知，求1. 和 2 的极大似然估计；IN THE NAME OF STATISTICS, UNITE!4统计之都COS Capital Of Statistics1n2. 在上述分布下，求用 Sn21 1 (Xi X)2估计 2的均方误差，比较 Sn2 1和上一问中 n 1i 1的 2 的极大似然估计的均方误差谁大谁小。六、(20分)以下是 13 名大学生刚入校时某项体能测试成绩和入校进行了三个月体育训练后 的测试成绩，数据如下表所示入校时42573849633648584751832731训练后406

9、54837684050604958623344在水平为 0.01 之下，回答训练前后测试数据的均值是否存在显著性差异。1. 观察两组数据，讨论所选检验方法的假定条件；2.用 1中所选用的假定条件， 在 0.01 的显著性水平下， 判断训练前后测试数据的均值是 否存在显著性差异。七、(20 分)设从均值为 ，方差为 2 0的总体中，分别抽取样本量为 n1和n2 的两个独立 样本， X1和 X2分别是两个样本的样本均值。确定常数 a和b使得 Y aX1 bX2为 的无 偏估计且 Var (Y )达到最小。八、(15分)设总体 X 的分布密度为 1x e , x 0, 0 p(x, ) 0, x 0

10、(X1, ,Xn)为总体 X 的样本，求参数 的置信度为 1 的置信区间IN THE NAME OF STATISTICS, UNITE!5统计之都COS Capital Of Statistics2005 年人大概率统计初试题一、( 20 分)证明几何分布是离散随机变量中唯一具有无记忆分布的分布。二、(20 分)记 U1， U2是相互独立的 0,1 区间均匀分布的随机数，令11 ( 2ln U1 )2 cos(2 U2)12 ( 2lnU1)2 sin(2 U2)证明： 1与 2是相互独立的 N (0,1) 随机变量。三、(20 分)设 1, 2, , n是相互独立随

11、机变量， i 的方差 Var( i) i2 ，试找非负实数a1,a2, ,an (其中a1 a2an 1)，使 a1 1 a2 2an n的方差最小。四、(15分)设 k,k 1是一列相互独立的随机变量序列， k服从区间 k, k 上的均匀分布， 用林德贝格条件证明 k,k 1 服从中心极限定理。五、(20 分)令 X1,X2, , Xn是从分布族 p(x, )中抽取的独立同分布随机样本， p(x, )如下 所示1, 0 x , 0p(x, )0, 其它求参数 的极大似然估计 ?MLE ，判断 ?MLE 是否是 的无偏估计，如果是，求出它的方差； 如果不是，请构造一个无偏估计，并求出不偏估计的

12、方差，在均方差的标准下说明谁更 优。(提示：参数 的估计量 T(X1,X2, , Xn )的均方差定义为 E(T(X1,X2, , Xn) )2)六、(15 分)某超市为方便附近居民对某种商品的需求，调查了 100 家住户，得出每户平均 需要量 X 为15kg ，S2为 6.25kg 。假如居民对该类商品的月需要量服从正态分布，如果 该超市附近有 10000 户居民。1. ( 8 分)试求一户居民对该种商品的平均月需求量置信水平为 0.99 的区间估计；2. (7 分)本着节约库存的考虑，至少需要准备多少该类商品才能以 0.99 的概率满足附IN THE NAME OF

13、 STATISTICS, UNITE!6统计之都COS Capital Of Statistics近居民的需要？七、（20 分）设 X1, ,Xn 是取自正态总体N（ ,1）独立同分布 样本，对假设 检验问 题H0 : 0 H1 : 0：1 （10 分）试给出一个水平为 的检验和检验拒绝域； （要求：给出求解的全部过程）2. （10 分）假设 有先验分布 N （1,2） ，求 在平方损失函数下的 Bayes 估计。（提示：的 Bayes估计定义为： ?B E（ | X）八、（20 分）一个社会工作者选取 10 对夫妻，考察他们对婚姻状况的满意程度，婚姻满意度 描述的是每个人在婚姻中的快乐。结果

14、由下表给出：女性男性统计量均值 标准差均值 标准差婚姻满意度25.6 8.632.0 9.81. （8 分）如果需要分析在婚姻满意状况中，男性的差异和女性的差异是否存在不同，请讨论可以选择怎样的假定和方法进行分析，你对如上的数据汇总方式是否满意？2. （6 分）根据你的假定和选择的方法回答，是否可以认为在婚姻满意状况中男性的差 异与女性的差异不同？3. （6 分）构造男性和女性对婚姻状况满意度之间的 90%置信区间。IN THE NAME OF STATISTICS, UNITE!7统计之都COS Capital Of Statistics2004 年人大概率统计初试题

15、、（15 分）袋中有 m n枚同型号硬币， m枚是正品， n 枚是次品，次品的两面都是国徽。从袋中任取一枚，将它抛掷 r 次，每次都出现国徽，求这枚硬币是正品的概率。、（20 分）设一个家庭有 n 个小孩的概率为pn, n 1Pnp1 , n 01p这里 0 p 1， 01 p ，若认为生一个小孩为男孩或女孩是等可能的，求证一个家p庭有 k （k 1） 个男孩的概率为2 pkk1(2 p)三、（20分）设二维随机变量 （ , ） 的联合概率密度函数为8xy, 0 x y 1 f (x,y) 0, 其它求条件数学期望 E（ | x） 和条件方差 Var（ | x） 。四、（20分）（伯恩斯坦定理

16、）已知随机变量序列 n,n 1 的方差有界：Var（ i） C （i 1,2, ）， 并且当 i j 时， i 和 j 的相关系数 rij 0，证明对 n,n 1 成立大数定律。五、（20分）假定钢铁制造厂 A生产的钢材的强度服从 N（ 1, 12 ） ，从中获得容量为 16 的样本， 测定其强度，得到 X 1190 ，Sx2 902（样本无偏方差）。钢铁制造厂 B生产的同种钢材 的强度服从 N（ 2, 22 ） ，从中抽取容量为 13的样本，测定其强度，得Y 1190 ，Sy2 1002。1. （6 分）求 1 / 2 的置信水平为 0.95 的置信区间；2. （ 7 分）由上述置信区间是否

17、可以假定 1 2 ？请指出这样做的理由。IN THE NAME OF STATISTICS, UNITE!8统计之都COS Capital Of Statistics3. (7 分)在 1 2 条件下求 1 2 的置信水平为 0.95 的置信区间。六、(20分)设 (a,b) ，T(X)是 的无偏估计，令T(x), a T(x) bS(x) a, T(x) ab, T(x) b证明： E(S(X) )2 E(T(X) )2 。七、(20 分)有一种专门用于动物治疗的新安眠药，据说在一定剂量下，能比某旧安眠药平 均增加睡眠时间 3 小时。根据以往资料，用旧安眠药平均睡眠时

18、间为 20.8 小时。为了检 验新安眠药是否达到疗效，收集到一组( 8 个)用新安眠药的睡眠时间分别为： 26.7 ， 22.0，24.1，21.0，27.2 ，25.0 ，24.3 ，24.5 。1. (10 分)假定睡眠时间为正态分布，试在显著型水平 0.05 下，判断新安眠药是否 达到疗效。2. (10 分)如果没有正态假定，用符号检验给出检验，并和 1 中的结果进行比较。八、(15 分)设总体密度函数为2p(x; ) 2 ( x) (0 x )从中获得样本 X1,X2, , X n ，试给出下列检验问题H0:0 H1 :0的广义似然比检验法则。IN THE NA

19、ME OF STATISTICS, UNITE!9统计之都COS Capital Of Statistics2003 年人大概率统计初试题、(20 分)甲、乙两人下棋，每局获胜概率各为 0.5 ，约定谁先胜 5 局赢得全部 8000元奖 金。现已下 4局，甲3胜 1负，这时因故终止比赛。 若按最终获胜概率的比例分配奖金， 甲、乙两人各应分得多少奖金？、(20 分)若 ， 独立，且均服从 N (0,1) ，试证U 2 2与V / 相互独立。、(20分)设( , ) 服从二元正态分布， E( ) E( ) 0 ，Var ( ) Var( ) 1，相关系数为 r， 求 E(max( , ) 。四、(

20、15 分)将编号为 1,2, , n的球随机放入编号为 1,2, , n的盒中，每盒只放一球。以 Sn 表 示球与盒的编号正好相同的个数，求证：1P(Sn ESn) 0 (n ) n五、(20 分)设 X1,X2, ,Xn 是相互独立的连续性随机变量，且 Xi 的 分布函数为 n2Fi(xi), i 1,2, , n 。试证明随机变量 Y 2 in1ln(Fi(xi)服从 2(2n) 分布。六、(20分)设 X1,X2, , Xn为一组简单随机样本。总体分布密度为 x 1, 0x| | 0，求极限2)求二次极限lim f(1 )x f(x)xp xp(1)p xplim lim f(1 )x

21、f (x)3)0x若 f ( x)单增，证明对任何 h 0， x (0, )，只要 x h (0, ) ，就有f (x) f (x h) hf (x) f (x h) f (x)4)证明：lim f (x) x px、(本题满份 25 分)设直线 y ax (0 a 1)与抛物线 y x2 在第一象限所围成的平面图形的面积为s1，y ax， y x2 与直线 x 1所围成的平面图形的面积为 s2。1)试确定 a的值使得 s1+s2达到最小 ,并求出最小值；2)3)求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积； 用定积分表示该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的侧

22、面积(不 必求出它的值)。、(本题满分 30 分)(1)设 p (0,1) ，将 f (x) cos( px) 在 , 展开为以 2 为周期的傅立叶级数；2)利用 1 的麦克劳林展开式，证明： p (0,1) 时，1x1 xp 1( 1)n011x xdx n 0(p1)IN THE NAME OF STATISTICS, UNITE!14统计之都COS Capital Of Statistics3)证明： p (0,1) 时，1 xp 1 x pdx sin p0 1 x四、(本题满分 20 分)证明边长分别为 a,b,c,d 的凸边形中，当 a , b边的夹角 满

23、足2 2 2 2 abcd cos2(ab cd)并且 c,d 的夹角 满足 + = 时，该四边形的面积最大，并且最大面积为1S (ab cd )sin2五、(本题满分 20 分)设 a,b c, ) ( x, y)|a x b, c y ， f(x,y) 定义在 a,b c, ) 上。1)叙述含参变量 x 的无穷限广义积分I(x) c f(x, y)dy在a,b上一致收敛的柯西原理；2)叙述函数级数n(x) 在 a, b上一致收敛的柯西原理；n13)证明： I(x)f(x, y)dy在a,b 上一致收敛的充要条件是对任何发散到的数列cAAnn 1 (An c, n 1,2,.) ，函数项级数

24、A f ( x, y)dy 在a,b 上一致收敛，其中n 1 An 1A0 c 。六、(本题满分 35 分)设 V 是空间二维单连通的有界区域，其边界 是简单光滑曲面，点 P0 (x0, y0, z0) V ，u u(x,y,z)在 V V 上具有连续偏导数 , 在V 内具有二阶连续偏导数 , 且满足IN THE NAME OF STATISTICS, UNITE!15统计之都COS Capital Of Statistics2222u 2u 2u2x22 2 0y2 z21)证明:1ltim0 4 t 2udS u0( x0, y0,z0) t其中 t 是含在 V 内的球面 (x x0)2 (y y0)2 (z z0)2 t2 (t 0) ；2)3)设 n n(x,y,z)为 t 上点 p(x,y,z)处的外法向量 , r p0p x x0,y y0,z z0，r r ，证明 :t 1r undS设 n n(x,y,z) 为 上点 p(x, y,z)处的外法向量 , r p0 p x x0,y y0,z z0 ，r r ，计算积分1cos(r , n) 1 u41 ucosr(r2,n) r1 undS