气体动理论习题解答

1、习题8-1 设想太阳是由氢原子组成的理想气体，其密度可当成是均匀的。若此理想气体的压强为 1.351014 Pa。试估计太阳的温度。 （已知氢原子的质量 m = 1.6710-27 kg，太阳 半径 R = 6.96 10 8 m，太阳质量 M = 1.99 10 30 kg）解：MMn3 m Vm (4/3)R3m8-2 目前已可获得 1.013 10 -10 Pa 的高真空，在此压强下温度为 27的 1cm3 体积内 有多少个气体分子？10解： N nV p V 1.013 213010 6 2.45 104 /cm 3kT 1.38 10 23 3008-3 容积 V1 m3的容器内混有

2、 N11.01023个氢气分子和 N24.01023个氧气分子，混合气体的温度为 400 K ，求：（ 1） 气体分子的平动动能总和； （2）混合气体的压强。解：（1）33t kT（N1 N2）1.38 10 23 400 5 1023 4.14 103J（ 2 ）22pnikT 1.38 10 23 400 5 1023 2.76 103Pa8-4 储有 1mol 氧气、容积为 1 m3的容器以 v=10 m/s 的速率运动。设容器突然停止， 其中氧气的 80%的机械运动动能转化为气体分子热运动动能。 问气体的温度及压强各升高多 少？（将氧气分子视为刚性分子）解：1mol 氧气的质量 M 3

3、2 10 3kg ， i 515由题意得 Mv 2 80% R T T 6.2 10 2K 228-5 一个具有活塞的容器中盛有一定量的氧气，压强为 1 atm 。如果压缩气体并对它 加热，使温度从 27 上升到 177 ，体积减少一半，则气体的压强变化多少？气体分子 的平均平动动能变化多少？分子的方均根速率变化多少？解：已知p1 1atm、 T1 300K根据 pV RTp1V1 p2V2 p2 3p1 3atmT1T22 18-6 温度为 0 和 100 时理想气体分子的平均平动动能各为多少？欲使分子的平均 平动动能等于 1 eV ，气体的温度需多高？33解：（1） t1 3kT1 3 1

4、.38 10 23 273.15 5.65 10 21Jt1 2 1 2（2）1ev 1.6 10 J t 3kT28-7 一容积为 10 cm3的电子管，当温度为 300 K 时，用真空泵把管内空气抽成压强为 510-4 mmHg的高真空，问此时（ 1）管内有多少空气分子？（ 2）这些空气分子的平均平动 动能的总和是多少？ （3）平均转动动能的总和是多少？ （ 4）平均动能的总和是多少？ （将 空气分子视为刚性双原子分子， 760mmHg = 1.013105 Pa ）51.013 10解： 1mmHg 133Pa760（1） N nV pV 1.61 1014 个kT3336（2）tN 3

5、kT3RT3 pV110 6Jt222（3）r N 2kT RT pV 6.65 10 7J2（4）t r 5 pV 1.65 10 6Jt r 28-8 水蒸气分解为同温度的氢气和氧气，即H2O H2 1 O22也就是 1mol 水蒸气可分解成同温度的 1mol 氢和 1/2mol 的氧。 当不计振动自由度时， 求此 过程的内能增量。解： E i RT ， 1mol2若水蒸气温度是 100时8-9 已知在 273 K、1.0 10-2 atm 时，容器内装有一理想气体，其密度为1.24 10 -2kg/m3。求：（1）方均根速率； （2）气体的摩尔质量，并确定它是什么气体； （3）气体分子

6、的平均平动动能和转动动能各为多少？ （ 4）容器单位体积内分子的总平动动能是多少？ （ 5） 若该气体有 0.3 mol ，其内能是多少？解：1） p494m/s3RT3p1 v23RT3RT28g所以此气体分子为 CO或 N2（3） t 3kT 5.65 10 21J t233 （ 4） t n kT P 1.52 10 Jt 2 2 （5） E 5 RT 1701J28-10 一容器内储有氧气，其压强为 1.01105 Pa，温度为 27.0 ，求：（1）分子数密度；（2）氧气的密度；（ 3）分子的平均平动动能； （ 4）分子间的平均距离。 （设分子间均匀等距排列）解：（1） n kpT

7、2.44 1025/m33p 3p P 1.297kg/m 3 v23RT RT3）4）3t kT 6.21 10 21J2d3 1 d 3.45 10 9m n8-11设容器内盛有质量为 M1 和M 2的两种不同的单原子理想气体， 此混合气体处在平衡态时内能相等，均为 E ，若容器体积为 V试求：（1）两种气体分子平均速率 v1与v2 之比；（2）混合气体的压强。解：（1）E 23M11 RT 23M2 RTV 3 3V2） pnikT N1kT N2kT 2N1kT 2 2E 4Ei V V V8-12 在容积为 2.0 10 -3 m3的容器中，有内能为 6.75 102 J 的刚性双原

8、子分子理想气体。（1）求气体的压强； （2）设分子总数为 5.4 1022个，求分子的平均平动动能及气体的温度。解：（1） E i RT i pV p 2E 1.35 105pa2 2 iVNk1.35 105 2 10 35.4 1022 1.38 10 23362.3K8-13 已知 f （v） 是速率分布函数，说明以下各式的物理意义：vp（1） f（v）dv；（2） Nf （v） d v ；（ 3） 0 f（v）dv 解：（1） v v dv范围内的粒子数占总粒子数的百分比；2） v v dv 范围内的粒子数3）速率小于 vp 的粒子数占总粒子数的百分比8-14 图中 I 、II 两条曲

9、线是两种不同气体氢气和氧气） 在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线。试由图中数据求：最概然速率；（2）两种气体所处解：（ 1）由习题 8-14（2）由vpvp22R235002 32 10 32 8.31习题 8-14 图481.3K（ 1 ）氢气分子和氧气分子的的温度。图可知：8-15 在容积为 3.0 10 -2 m3 的容器中装有2.0 10-2 kg 气体，容器内气体的压强为5.06 104 Pa ，求气体分子的最概然速率。解：由 pV M RTRTpVM8-16 质量 m =6.2 10-14 g 的微粒悬浮在 27的液体中，观察到悬浮粒子的方均根速率为 1.4 cm/s ，假设粒子服

10、从麦克斯韦速率分布函数，求阿伏伽德罗常数8-17 有 N个粒子，其速率分布函数为 f（v） c （v0 v 0） 0 （v v0）1）作速率分布曲线； （2）由 v0 求常数 c；（3）求粒子平均速率v01解：( 2) cdv 1 cv0v03) vvf (v)dv0v0v0 cv2布曲线如图所示， 当 v 2v08-18 有 N个粒子， 其速率分习题 8-18 图时 f （v） 0 。求：（1）常数 a；（2）速率大于 v0 和小于v0 的粒子数；（3）求粒子平均速率。解：（1）由速率分布函数的归一化条件可得2） v v0 时：v v0时： N2 N N1 2N32kv2 v v v03v0

11、223) f (v) av0 v 2v03v00 v v08-19 质点离开地球引力作用所需的逃逸速率为 v 2gr ，其中 r 为地球半径。1）若使氢气分子和氧气分子的平均速率分别与逃逸速率相等，它们各自应有多高的温度；2）说明大气层中为什么氢气比氧气要少。 （取 r =6.40 10 6 m）解：（1）由题意知 v8RT 2gr T 2g8rR又 O 32 10 3 kg/molH 2 10 3 kg/mol2）根据上述分析，当温度相同时，氢气的平均速率比氧气的要大（约为4 倍），因此达到逃逸速率的氢气分子比氧气分子多。按大爆炸理论，宇宙在形成过程中经历了一个极 高温过程。在地球形成的初期

12、，虽然温度已大大降低，但温度值还是很高。因而，在气体 分子产生过程中就开始有分子逃逸地球，其中氢气分子比氧气分子更易逃逸。另外，虽然 目前的大气层温度不可能达到上述计算结果中逃逸速率所需的温度，但由麦克斯韦分子速 率分布曲线可知，在任一温度下，总有一些气体分子的运动速率大于逃逸速率。从分布曲线也可知道在相同温度下氢气分子能达到逃逸速率的可能性大于氧气分子。8-20 试求上升到什么高度时大气压强减至地面的75%？设空气温度为 0，空气的摩尔质量为 0.0289 kg/mol 。解：由 p p0 exp（ gz） z RT ln p0RT g p8-21 （1）求氮气在标准状态下的平均碰撞次数和平

13、均自由程； （ 2）若温度不变，气压 降低到 1.33 10 -4 Pa ，平均碰撞次数又为多少？平均自由程为多少？（设分子有效直径为 10-10 m）解： v 1 2kT 2 8.38 10 7mZ 2 d2n2 d2 p8-22 真空管的线度为 10-2 m，真空度为 1.33 10 -3 Pa，设空气分子有效直径为 310-10 m，求 27时单位体积内的空气分子数、平均自由程和平均碰撞频率。解： n p 1.33 12303.21 1017 /m 3kT 1.38 10 23 300由 v 1 2kT 2 ，当容器足够大时，取 d 3 10 10mZ 2 d 2n2 d 2p代入可得

14、7.8m 10 2m （真空管线度）所以空气分子间实际不会发生碰撞， 而只能与管壁碰撞， 因此平均自由程就是真空管的线度，即10 2m8-23 在气体放电管中， 电子不断与气体分子碰撞。 因电子速率远大于气体分子的平均 速率，所以可以认为气体分子不动。设气体分子有效直径为 d ，电子的“有效直径”比起 气体分子来可以忽略不计，求： （ 1）电子与气体分子的碰撞截面； （2）电子与气体分子碰 撞的平均自由程。 （气体分子数密度为 n）解：(1) (d de )2 d2 2 4veveZ nu其中 u 为电子相对于分子的平均相对速率由于 vev分子 ，所以 u ve8-24 在标准状态下，氦气（

15、He）的内摩擦系数 = 1.89 10 -5 Pas，求：（ 1）在此把 p 0.18kg/m 3v8RT 1202m/s代入状态下氦原子的平均自由程； （2）氦原子半径。解：标况：p 1.01 105 pa、 T 273.15K3111)nmv v33得 2.62 10 7m12)212 d2nkT2 d2pd 2 kT2p8-25 热水瓶胆的两壁间距 L =-3410 m，其间充满温度为 27的氮气，氮分子的有效直径为 d = 3.1 10-10 m，问瓶胆两壁间的压强降低到多大数值以下时，氮的热传导系数才会比它在一个大气压下的数值小？解：热传导系数 K 1 cV v32dn由于 nm ，1 2 ，所以 m 2 与压强无关，即热传导系数与压强无关。然2 d n 2d而在抽真空的容器中当压强降到一定程度时， 平均自由程 会大于容器本身的线度， 这时取为容器的线度不变，当真空度进一步提高时，因不变，所以 p 时， ，则 K ，于是热传导系数就小于一个大气压下的数值了。因此当2 d2p L 时传导系数开始发生变化8-26由范德瓦耳斯方程（p a V2）（V b） RT ，证明气体在临界状态下温度Tk 、压强 pk 及体积 Vk 为8a ，a26bR