Mathematica求解方程组、级数

1、方程（组）与级数的 Mathematica求解学习目标1. 能用Mathematica求各种方程（组）的数值解和近似解；2. 能对常见函数进行幕级数的展开。一、求解简单方程（组）数学里的方程是带有变量的等式。一般地说，一个或一组方程总是对于方程 中出现的变量的可能取值范围增加了一些限制。所谓求解方程就是设法把方程对于 变量取值的限制弄清楚，最好的结果是用不含变量的表达式把变量的值表示出来。 在这个系统里，方程也用含有变量的等式表示，要注意的是在这里等号用连续的两 个等号（=）表示。方程的两端可以是任何数学表达式。用户可以自己操作Mathematica系统去求解方程，例如使用移项一类的等价 变换

2、规则对方程加以变形、对方程的两端进行整理、把函数作用于方程的两端等 等。系统也提供了一些用于求解方程的函数。1、求方程的代数解最基本的方程求解函数是 Solve，它可以用于 求解方程（主要是多项式方程） 或方程组。Solve有两个参数，第一个参数是一个方程，或者是由若干个方程组的 表（表示一个方程组）;第二个参数是要求解的变量或变量表。例如，下面的式子对 于变量X求解方程In 1:=SolvexA4-xA3-6xA2+1=0,x输入了这个表达式，系统立刻就能计算出方程的四个根，求出的解都是精确 解（代数根）。对于一般的多项式，这样得出的解常常是用根式描述的复数。方程的 解被表示成一个表，表中是

3、几个子表，每一个子表的形式都是x-.，箭头后面是方程的一个解。Solve也可以求解多变量的方程或者方程组：In 2:=Solvex-2y=0,xA2-y=1,x,y这个表达式求解方程组x-2y = 0有时求解方程会得到非常复杂的解。例如将上面的第一个方程稍加变形，所 得到的解的表达式就会变得很长：In 3:=SolvexA4-xA3-6xA2=2=0,x这个表达式求出的解的表达式非常长，以至一个计算机屏幕显示不下。使用MS-DO系统上的Mathematica的读者可以用键盘上的 PgUP键和PgDn键把计算机 屏幕上已经卷出的表达式翻回来阅读，附录 B里提供了使用这类计算机的有关操作 的更详细

4、的说明。对于使用图形界面提供的功能去翻阅前面的结果。在被求解的方程里还可以有其他符号参数，可以要求系统对于这一个或者那 一个变量求解方程。对于 Mathematica系统来说，方程中的符号变量（无论使用什 么变量名）都是一样的。对于处理复杂的方程，MATHEMETICA统还提供了例外两个有用的函数。函 数Eliminate用于从方程组消去一个或几个变量，例如下面的表达式消去方程组里 的变量Y:IN4:=Elimi nateXA2-2Y= =1,X+2Y= =4,YEliminate 的使用形式与 Solve 类似，它的第二个参数用于说明希望消去的 变量。另一个函数Reduce用于化简复杂的方程

5、或方程组，它试图用一组比较简单 的逻辑关系来描述由原来方程所描述的变量之间的关系。它的使用形式与 Solve, Eliminate 一样，这里不举例字了。2、 求方程的数值解理论上已经证明，对于五次以上的多项式方程没有求代数解的一般方法， MATHEMATICS不出那些不能分解因式的五次以上的多项式方程的解，例如：IN5 :=SOLVEXA5+5XA3-2= =0,X它返回一个带有函数TORUOE的表达式。可以把函数N作用到这个结果表达 式上，求出方程的数值解：IN6:=N%可以看到系统同时求出了方程的五个根的时候可以直接用函数N和SOLVE吉合完成工作：IN7:=NSOLVEXA6+4XA2

6、-31=0,X在系统里直接提供了一个函数 NSOLV做这件事。对于更复杂的方程（或方程组），用 SOLVED不出根，使用函数N也解决不 了问题。对于这样的方程，用户可以使用REDUCE,ELIMINAT等函数去处理，设法把方程描述的变量之间的关系搞清楚。如果需要的就是方程的根，那么只要用求数 值根的函数FINDROOT函数FINDROO求数值根所采用的方法与人们一般用计算机 求数值根的方法一样。但是，由于 MATHEMAT有求导函数的能力，在这里计算有 导函数的表达式的数值根就非常简单。不管表达式多么复杂，系统都能自动的求出 它的导函数。求数值根使用的也是牛顿法，用户必须给FINDRO O提供

7、一个初始值。下面一个简单的例子：IN8:=FINDROOTSINXEXP2X-COSX= =0,X,0.5对于求不出导函数的表达式，例如用户自己定义的一个复杂计算函数，使用 FindRoot 提供函数值取不同符号（正负号）的两个点（用表的形式放在上面初始 值 0.5 的位置），形式是：IN9:= FindRoot FUN1X= =0,X,0,1这里假使FUN1是用户定义的一个函数。使用计算机求数值根的第一个问题是确定初始点，若初始值选取得不好将给 求根带来困难。再一个麻烦是用户要自己求出函数的导函数。在MATHEMATICS里处理的对象是表达式，一个表达式可以服务于不同的用途，可以作为求值的对

8、 象，作为画图的对象，也可以作为演算的对象。当需要求一个表达式的数值根的时 候，表达式的这样的多种功能，或者说 MATHEMATICS对于表达式的多方面的操 作能力就表现出很大的优越性。一个代数表达式，无论多么复杂，MATHEMATICS统都可以直接求出它的导函数，可以作出它的图形。从图形上我们很容易认识这个 函数表达式在某一个区间的大致性质，包括它的根的出现和分布情况。对表达式的 这些认识为人们确定如何取初始值、如何求根提供了很有价值的线索。这样，某些 比较难以处理的问题可能就容易解决了。二、 求解常微分方程（组）1、常微分方程（组）的精确解Mathematica 能求常微分方程（组）的准确

9、解，能求解的类型大致覆盖了人 工求解的范围，功能很强。但不如人灵活（例如在隐函数和隐方程的处理方面）， 输出的结果与教材上的答案可能在形式上不同。另外， Mathematica 求数值解也很 方便，且有利于作出解的图形。求准确解的函数调用格式如下：求方程eqn的通解y求满足初始条件y (x0)=DSolveeqn , yx , x(x)，其中自变量是x。DSolveeqn , yx0= =y0 , yx , x y0的特解y (x)求方DSolveeqn1 , eqn2,-, y1x , y2x，, x程组的通解。DSolveequ1 ,，y1x0= =y10，, y1x , y2x，, x

10、求方 程组的特解。说明：应当特别注意，方程及各项参数的表述方式很严格，容易出现输入错误。微分方程的表示法只有通过例题才能说清楚。例1解下列常微分方程(组)：(1)(2)y - zzr = -y盘=-y的通解及满足初始条件y (0) =0, z (0) =1的特解。解：In1 : =DSolvey x= =2yx/( x+1) + (x+1) A (5/2 ),yx , xOut1=弋+疋）迫1In2 : =DSolvey x= =(1+yxA2 ) /(x+xA3 ) yx) , yx , xOut2=In3 : =DSolvey x= =zx, z x= =-yx,yx , zx , xOu

11、t3=yx C1Cosx+ C2Si nxzx C2Cosx - C1SinxIn4 : =DSolve y x= =zx, z x= =-yx , y0= =0 , z0=yx , zx , xOut4=yx Sinx , zx Cosx=1,提示：认真观察上例，可以从中学习输入格式，未知函数总带有自变量，等 号用连续键入两个等号表示，这两点由于不习惯会出错！导数符号用键盘上的撇 号，连续两撇表示二阶导数，这与习惯相同。自变量、未知量、初始值的表示法与 普通变量相同。说明：输出结果总是尽量用显式解表出，有时反而会使表达式变得复杂，这 与教科书的习惯不同。当求显式解遇到问题时，会给出提示。通解

12、中的任意常数用 C1，C2，表示。例2求解下列微分方程：(1)/+3/+3y+j = (x-5Xx(2)(3)解: In1 : =DSolve+3y x+3y x + yx=(x - 5 ) Exp-x，yx，xOut1=+厂6+* 珂习十In2 : =Simplify%Out2=Ax t 丄厂卜20X +/+ 24Cl+24xCI2J + 24x3Q3J)4In3 : =DSolvexA2 + y z xA2 = = 1 , yx , xOut3=嗣亠制手-警+qi,嗣号胡一如譽+qiIn4 : =DSolveSqrty x = = x yx , yx , xOut4=yx t x3-Cl说明：由以上可以看出对方程的类型并无限制，但是输出的答案未必符合习 惯，例如第一个方程的答案需要化简，有时即使化简后也未必与教材上的答案一 致。例3求微分方程xy + y - ex = 0 在初始条件y|x=1 = 2e下的特解。解: In1 : =DSolvex*y x+yx -EAx= =0 , y1= =2E , yx , xOut1= yx2、常微分方程（组）的数值解函数NDSolve用于求给定初值条件或边界条件的常微分方程（组）的近似解，其调用格式如下：NDSolveeqns，y1，y2, x