2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷理)详解

1、试卷类型：A2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类解析）本试题卷共4页，三大题21小题。全卷满分150分。考试用时120分钟。祝考试顺利注意事项：1 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B铅笔将答题卡上试卷类型 B后的方框涂黑。2 选择题的作答：每小题选 出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。咎在试题卷、草稿纸上无效。3 填空题和解答题用 0.5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。答在试题卷、草稿纸上无效。4

2、考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题： 本大题共10小题.每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的1. i为虚数单位，则/ 、2011.31 -iA. -i【答案】AB. -1C.D.1 + i解析：因为1 -i2 i1 -i，所以1 i2011i2011 =i45。2 3 =i3 = _i，故选 A.2.已知 u =y y二 log 2 x, xA. J，：=B.10, 2丿C.D.1-:,0 -,:_2【答案】A解析：由已知U所以Cu p二1 ,；，故选A.IL2r兀A.xk兀+兰x兰k兀+n,kEZ3 .3.已知函

3、数f x = . 3 sin x -cos x , x R，若f x _ 1，则x的取值范围为JI5兀315兀C.丿x+兰 x 兰 kn +,k z、D.x2k江 + 兰 x 兰 2k?r +,k Z66 66 TtB.2k +一 兰 x 兰 2+ 兀，k E Z3【答案】B解析：由条件 v3 sin x _cos x 色1 得 sin x，贝U6厂252k-： _x_ _2k，解得 2 k _ x 空 2 k，亠. , k 三 Z，所以选 B.66634将两个顶点在抛物线y2 =2 px p . 0上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为则A. n = 0B. n = 1 C. n

4、= 2【答案】C解析：根据抛物线的对称性，正三角形的两个 顶点一定关于x轴对称，且过焦点的两条直线倾斜角分别为30 0和150 0，这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形 的个数记为n , n = 2，所以选C.5.已知随机变量服从正态分布a2N 2,二 ，且 P ：: 4 =0.8，则 P 0 ：:：: 2 二A. 0.6B. 0.4 C. 0.3 D.0.2【答案】C 解析：如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于直线x =2对称，所以P ： 2 =0.5，并且P 0 ：:：: 2 二 P 2 ：:：: 4则 P 0 ：:：: 2 二 P ：: 4 -P . 2=

5、0.8 0.5 =0.3所以选C.6.已知定义在 R上的奇函数f x和偶函数g x满足fx *gx二ax-a，2a 0,且 a=1，若 g 2 =a，贝U f 2 =A. 215B.C.17D.2 a44【答案】B解析：由条件f 2 g 2.a2-a 2 ,f -2 g -2 =a -a2 2，即所以a =2 ,15f 2 =2_2-，=：一，所以选 B.47.如图，用K、A、A2三类不同的元件连接成一个系统，K正常工作且At、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作已知K、A,、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的A. 0.960B. 0.864 C. 0.720

6、D. 0.576【答案】B解析：At、A2至少有一个正常工作的概率为1 -P P A2=1 - 1-0.81-0.8 =1 -0.04 = 0.94，系统正常工作概率为 P K 1 _ P A, P A2 i；i；=0.90.96 =0.864，所以选B.8. 已知向量a = (x + z,3 ), b= (2, y _z )，且ab.若x, y满足不等式x + y兰1，则z的取值范围 为D. 1-3,3 1A. _2,2 B. 1-2,3 1 C. 1-3,2 1【答案】D解析：因为a丄b, 2 x z3y-z = 0 ,则z=2x+3y , x, y满足不等式x + y 1 ,则点x, y

7、的可行域如图所示, 当z = 2x 3y经过点A 0,1时，z = 2x 3 y取得最大值 3 当z =2x 3y经过点C 0,-1时，z =2x 3y取得最小值-3所以选D9. 若实数a, b满足a亠0 ,b亠0，且ab = 0，则称a与b互补，记：:a ,b=b -a-b，那么:：；a ,b =0是a与b互补A必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件【答案】C解析：若实数a, b满足a亠0, b丄0，且ab =0，贝卩a与b至少有一个为0，不妨设b = 0，则：；a ,b = . a a = a a = 0 ;反之，若：；a,b=.a 亠 b ab=0 ,

8、 - a（ 1 2 *18 r r =15 二 r =2，含 x5 的项的系数为 C,； I =17，故填 17. I 3丿12.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质 期饮料的概率为（结果用最简分数表示） b2=a b_0两边平方得a2 - b2 =a2 b2 2ab = ab =0 ,则a与b互补，故选 C.10. 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量 M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）t满足函数关系：Mt =M 02贡，其中M 0为t =

9、 0时铯137的含量，已知t =30时，铯137的含量的变化率是_10 In 2 （太贝克/年），则M （60 ）=A. 5 太贝克B. 75 In2太贝克 C. 150 In2太贝克D. 150太贝克【答案】Dt301 _ 1 _解析：因为 M / tIn 2 M 0 2 30，则 M 30In 2 M 0 2 30 = -10 In 2，解得3030t601M 0 = 600,所以 M t ；=6002 30，那么 M 60 = 6002 30 = 600150 （太贝克），4所以选D.二、填空题：本大题共 5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上, 题两空的题，其

10、答案按先后次序填写答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11.在3、. x展开式中含x15的项的系数为（结果用数值表示）6627131529*27 汉13，所以 P a ；=1 - P B ；=1 15 汇 2928145，所以填28145【答案】17“ |1 i18 _r r 1 【解析】二项式展开式的通项公式为卡=C：8xJ =C：8x2 丄，令I 3dx 丿、3 丿12九章算术“竹九节”问题：现有一根 9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升.【答案】67解析：设该数列：a n /的首项为a1，公差为d，依题意a +a? +

11、a3 +玄4 =3a? + a? = 4Nat +6d =3 即丿13at 21 d =4at + 7d，解得7d =66则 a - at :卜4d - at :卜7 d _ 3d42166二竺，所以应该填66676614. 如图，直角坐标系xOy所在的平面为，直角坐标系面为 1：，./xOx / = 45 .(I)已知平面一：内有一点P / 2 , 2 ,2 ,则点P/在平面:-内的射影P的坐标为 ;(n)已知平面内的曲线C/的方程是 2X，-、一2 2y/2 -0，则曲线C /在平面内的 射影C的方程是x，Oy，(其中y，轴与y轴重合)所在的平【答案】(2,2 ) (x _1 $ + y2

12、 =1解析：(I)设点P，在平面：.内的射影P的坐标为x, y , 则点P的纵坐标和P，2 2 ,2纵坐标相同，所以y = 2，过点P，作P，H - Oy，垂足为H ,连结PH，则.P，HP = 45 0, P横坐标/ 0 /x = PH = P H cos 45 xcos 45 0 = 22所以点P，在平面:-内的射影P的坐标为 2,2 ;(n)由(I)得 x=x，cosy/ = y，所以=二2 x代入曲线C，的方程二 yy /2 -2=0，得、2x - = 2+ 2y22=0= (x1+y2=1，所以射影C的方n=3n=415. 给n个则上而下相连的正方形着黑色或白色.当n乞4时，在所有不

13、同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：n=1 n=2由此推断，当n =6时，黑色正方形 互不相邻着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻着色方案共有种.（结果用数值表示）【答案】21 ,43解析：设n个正方形时黑色正方形互不相邻 的着色方案数为an ,由图可知, ai =2 ,a3=5=23=ai a2 ,a 4 8 35 a 2 a 3 ,由此推断a5 = a3 - a4 = 5 - 6 =13 , a6 = a4 a5 = 8 T3 = 21 ,故黑色正方形互不相邻着色方案共有21种；由于给 6个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有2种方法，所以一共有2氏2氏2沆2沆2

14、只2 = 2 = 4种方法，由于 黑色正方形 互不相邻着色方案共有21种，所以至少有 两个黑色正方形相邻.着色方案共有64 -21 = 43种着色方案，故分别填 21,43 .三、解答题：本大题共 6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分10分）1设.：ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知a =1 , b =2 , cos C .4（I）求：ABC的周长；（n）求 cos A C 的值.本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力2 2 2 1解析：（I）： c = a b 2 ab cos C =1 4 44

15、4 .IABC 的周长为 a b c = 12 2=5.、15a sin C 4 sin A =c2,158 a :：: c , A ：: C ,故 A 为锐角,cos A=一 1 - sin 2 A78 - cos A C = cos A cos C 亠sin Asin C7丄聖84841617. （本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度 x （单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0;当车流密度不超过 20辆/千米时，车流速度为 60千米/小时.研

16、究表明：当20辽x乞200时，车流速度v是车流密度x的一次函数.（I）当0岂x乞200时，求函数v x的表达式；（H）当车流密度 x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f x = x v x可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力解析：（I）由题意：当 0_x_20时，v x =60 ;当20_x_ 200时，设v x = ax b，显然v x = ax b在20,200是减函数，由已知得200 a + b = 020 a + b = 60，解得1a 二 _3200b =3360

17、,0 兰 X 20 ,故函数v x的表达式为vx = 1- 200 - x ,20 _ x _ 200 .360 x,0 乞 x : 20 ,(n)依题意并由(I)可得 f x =x 200 -x ,20 岂 x 乞 200 .当0三x三20时，f x为增函数，故当X =20时，其最大值为 6020 = 1200 ;_211 x 亠 | 200x 10000当 20 _ x _ 200 时，f x x 200x3 3 2 一 3当且仅当x =200 _x，即x =100时，等号成立.所以，当x =100时，f x在区间20,200 上取得最大值10000 .3综上，当x =100时，f x在区

18、间0,200 1上取得最大值10000- 3333 ,3即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.18. （本小题满分12分）如图，已知正三棱柱 ABC - ARQ,的各棱长都是4, E是BC的中点，动点F在侧棱CC ,上，且C不与点C重合.（I）当 CF =1 时，求证 EF _ A.C ;（H）设二面角 C AF - E的大小为 tan二的最小值. 本题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础 知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解 能力解析：IS-康小圭K4*空弭畫蜒与平面的位关杀和二廉祁墓减越 絵力*推理论证堆力和运算就解績力.（

19、篇分12分） 解法hEV丄鼻Q于AT* I）lxc|t 由 1校柱的性rttai Kifi乂赛面且evcjsaujw?” 所U 3VWF为F在侧血内的射! 摟 FUACWE 中* CX = Ccim6O =L糰NF # AJ又AQ X/Cr直NF丄心理知EF丄人C II）如ARZ if蜻川FUN柞NM丄dF于就. 由 如EV丄攔面( 1 由已慚可再孤】吃小 两武相禅町褂J f I 5心1邯厂(1叽L Xtfj =w, =m所抵 出尸时*教科%为；a* 0 叫0当 rrO . rn-m* 由己知 于見由碼寸”*】处，可S12- &r+ 1 ( N*:吋 气.叫.*成導比数列*化当川卫2时.俎”尸

20、*胪泊.综匕豪列%的尬項公式丸 hatrt,*+r* 曲上 2*(H)Rfliw苏 入心 U 即门嵐第孙枚列*证崛如“当2”仃由f I知.对于任且宙 aU 比決成等誥独乳1*0 t r * -I Wi / St = 54 + oi+l + ai+1= St tJni *苦存在ieN卷1如，场.列*则严Sg25 A 2S4 +2,(+ =2Sj * 即吗打坷心由(1 ) JQL 吗* a)t * 应. z的公比 r +1 * -2 - T:M 对于任H黑芒氛j =-2a. * 从 a,tJ 4aw * -卫z + J =2.*即码屮* U 曲聯差嶽列 综上.对F枉意的wjeNS且m2 2 j*

21、a.*即.】哦绅用嫂列+20. (本小题满分14分)平面内与两定点A1(-a,0)，A2(a, 0) (a - 0)连续的斜率之积等于非零常数 m的点的轨迹,加上Ai、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线.(I)求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值得关系；()当m - _1时，对应的曲线为C1 ；对给定的m (_1,0)U (0,；)，对应的曲线为C2， 设Fi、F2是C2的两个焦点。试问：在Ci撒谎个，是否存在点N，使得 Fi N F2的面 积S =|m|a2。若存在，求tan F1 N F2的值；若不存在，请说明理由。20. 本小題主与方程、阴何曲圾解*知识，网时考誉推理运算的能力.

22、以&井奧与合和魏形结合的思(満分M#)解* (I、设动点为X坐标为“*艸当x * H *由条杵可帰左吃饥g ” *此-，匕、 m x-a x + a x -r即 mx2 -才=ma1 (x # la)(理工J!)试A6M)X 4 (-0,0).州(忆0)的举标満足-y1 - ma1 故fltflfjft.曲线C的方用为皿於二枷代曲线 I叫0).对T给宦的酗(70)11(0. +呦G上殍金点 机和片)5 *0) tt得Smla2的充饕齐杵是i 2dJl + m|y0|pm|d由#0|jrt|Sa由WlTbHma ia * 即-_ n -时.不存在満定条杵的点M当m打匕学,o)u(a三坷时，Jbw由 丽 fc-ajl+jii 一和片) NF、-(oVT+m-*可滞丽丽卜彳1*側讨=-mo令|而3両S纠阳划由 NF,-NFj wstf* 可/jfj = - a *COS#从而丄仍rin/-空迴空于是由i22cos0 2可-WJ1341 -| /n|(i2 p 即 tan2ai综上可擲匸驾輻日匕咅机 庄G