二项式定理-2019年高考数学母题题源系列(浙江专版)(原卷版)

1、828二项式定理【母题来源一】【2019 年高考浙江卷】在二项式 ( 2 +x ) 有理数的项的个数是_5【答案】 16 29的展开式中，常数项是_；系数为【解析】由题意， ( 2 +x )9的通项为tr +1=cr9( 2)9 -rxr( r =0,1,2, l ,9)，当r =0时，可得常数项为t =c0 ( 2) 9 =16 2 1 9；若展开式的系数为有理数，则 r = 1,3,5,7,9 ，有 t , t , t , t , t2 4 6 8 10共 5 个项【名师点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次， 计算要细心，确保结果正确【母题

2、来源二】【2018 年高考浙江卷】二项式( 3 x +11 x)8的展开式的常数项是_【答案】7【解析】二项式(3x +11 x)8的展开式的通项公式为 t =c rr +1 81 1( 3 x )8-r ( ) r =c r x2 x 2r8-4r3，令8 -4 r 1 =0 ，可得 r =2 ，故所求的常数项为 c =73 2 2【母题来源三】【2017 年高考浙江卷】已知多项式( x +1)3 ( x +2)2=x5+a x 4 +a x 3 +a x 2 +a x +a 1 2 3 4 5，则a4=_， a =_5【答案】16 4【解析】( x +1)3 ( x +2) 2的展开式的通

3、项为c r x r c m x m 22-m = c r cm 23 2 3 22 -mxr +m，分别取r =0, m =1 和 r =1, m =0 可得 a =4 +12 =164，取r =m =0 ，可得 a =1 252=4【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题二项展开式定理的问题也是高考命题 热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：m0 1 n（1）考查二项展开式的通项公式tr +1=c r a n -r b r n（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）；（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和； （3）二项式定理的应用【命题意图】

4、考查二项式定理及其应用，意在考查 学生的逻辑推理能力和基本计算能力【命题规律】高考对二项式定理的考查主要是利用二项展开式的通项求展开式中的特定项、特定项的系数、二项式系数 等，同时考查赋值法与整体法的应用，题型一般为选择题或填空题【答题模板】1求解二项式问题，一般步骤如下：第一步：首先求出二项展开式的通项；第二步：根据已知求 r ；第三步：得出结论2求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项的特点，一般需要建立方程求 k，再将 k 的值代回通项求解，注意 k 的取值范围（k =0,1,2, l , n）（1） 第 项：此时 k+1=m，直接代入通项（2） 常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“

5、变元”的幂指数为 0 建立方程 （3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程【方法总结】1二项式定理的概念( a +b )n=c0nan +c1nan -1b +l +c kna n -k bk+l +cnnb n ( n n*)，这个公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做( a +b )n的二项展开式，共有 n+1 项，其中各项的系数ckn( k 0,1,2, l , n)叫做二项式系数二项展开式中的c k a n -k b k n叫做二项展开式的通项，用tk +1表示，即通项为展开式的第k +1项：tk +1=c k a n -k b k n注意：二项式系数是指 c ， c ，

6、c ，它是组合数，只与各项的项数有关，而与 a，b 的值无关；n n nrkk 1k k -11 3 5而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与 a，b 的值有关如( a +bx )n的展开式中，第 r1 项的二项式系数是 c ，而该项的系数是ncrnan -rbr当然，某些特殊的二项展开式如(1+x )n，各项的系数与二项式系数是相等的2活用二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的 两个二项式系数相等，即c m =c n -m n n（2）增减性与最大值：二项式系数为c ，当nk n +1 n +1时，二项式系数是递增的；当k 时，二项 2 2式系数是

7、递减的，当 n 是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当 n 是奇数时，中间两项的二项 式系数相等，且同时取得最大值（3）各二项式系数的和( a +b )n的展开式的各个二项式系数的和等于 2 n，即c0n+c1n+c2n+cnn=2n二 项 展 开 式 中 ， 偶 数 项 的 二 项 式 系 数 的 和 等 于 奇 数 项 的 二 项 式 系 数 的 和 ， 即c 0 +c 2 +=c1+c3+=2n-1 n n n n3必记结论（1）ck a n -k nbk是第 k1 项，而不是第 k 项（2） 通项公式中 a，b 的位置不能颠倒（3） 通项公式中含有 a，b，n，k，t 五个元素，

8、只要知道其中四个就可以求出第五个，即“知四求一”4 求展开式系数的最大项：如求( a +bx ) n ( a , b r )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项的系数分别为a , a ,a 1 2 n +1a a，且第 k 项系数最大，应用 从而解出 k 来，即得a ak k +15“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如( ax +b )n、( ax2+bx +c )n( a , b, c r )的式子，求其展开式的各项系数之和常用赋值法，只需令x = y =1各项系数之和，只需令即可x =1即可；对形如 (ax+by )n的式子，求其展开式6 若f ( x

9、) =a +a x +a x0 1 22+ax nn，则f ( x)展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a +a +a += 0 2 4f (1) + f ( -1) f (1) -f (-1)，偶数项系数之和为 a +a +a +=2 2注意：某一项的系数是指该项中字母前面的常数值 (包括正负符号 )，它与 a , b 的取值有关，而二项式系数与a , b的取值无关1【浙江省重点中学 2019 届高三 12 月期末热身联考】(2x-1)51展开式中， 的系数是 x2ac8040bd-80-402【浙江省金华市浦江县 2018 年高考适应性考试】 a 1( x 2 +1)( x

10、-1) 5-9b的展开式中 x5的系数为c11d 213【浙江省宁波市 2019 届高三上学期期末考试】设 a -4c -12( x 2 -3 x +2) 4 =a +a x +l +a x0 1 8-8b-16d8，则a =74【浙江省杭州市 2018 届高三第二次高考科目教学质量检测】二项式1 (2 x - )x5的展开式中含 x3项的系数是ac80-40bd48-805【湖北省荆门市沙洋中学、龙泉中学、钟祥一中、京山一中四校 2019 届高三下学期六月考前模拟】在2 ( x 2 - ) 6x-240a60c的展开式中，常数项为bd-602406【浙江省七彩联盟 20182019 学年第一

11、学期高三 11 月期中考试】若(2 x2-1x)n展开式的所有二项式系数之和为 32 ，则该展开式的常数项为a10b-105c7 【浙江省金华十校 2019 届高三上学期期末联考】已知a =+l +a ( x -1)8，则3864a-48c-5d( x +1)448b-64d+( x -2)8=a +a ( x -1) +a ( x -1)2 0 1 28【浙江省台州市 2019 届高三上学期期末质量评估】在( x31 -2 x + )x4的展开式中常数项为28-28a b 56-56c d 9【浙江省绍兴市 2018 届高三第二次（5 月）教学质量调测】二项式( 3x +13 x)n的展开式

12、中只有第11 项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为a7b5c 4d310 【浙江省 2019 年高考模拟训练卷三】若 a +a +a +l +a =_0 1 2 8( x -2) 8 =a +a ( x -1) +a ( x -1)2 +l +a ( x -1)80 1 2 8，则11【山东省临沂市、枣庄市 2019 届高三第二次模拟预测】已知二项式( x2a- )x6展开式中含 x 3项的系数为160，则实数 a 的值为_12【浙江省温州市 2019 届高三 2 月高考适应性测试】若x6=a +a ( x +1) +l +a ( x +1)5 0 1 5+a ( x +1)6 6，则

13、a +a +a +a +a +a +a = 0 1 2 3 4 5 6_， a =_513 【浙江省金华十校 2019 届第二学期高考模拟】已知(2 +x )(1 -2 x ) 7 =a +a x +a x 2 +l +a x0 1 2 88，则a +a +l +a = 1 2 8_， a =_314【浙江省三校 2019 年 5 月份第二次联考】已知二项式(2 x +1x)n的展开式中，第 5 项是常数项，则n =_，二项式系数最大的项的系数是_15 【浙江省湖州三校 2019 年普通高等学校招生全国统一考试】若( x -3) 3 (2 x +1)5 =a +a x +a x0 1 22+l

14、 +a x 88，则 a =_， 0a +a +l +a = 0 2 8_16【浙江省温州九校 2019 届高三第一次联考】已知(1 +x ) 5 =a +a (1 -x ) +a (1 -x ) 2 +l +a (1 -x )0 1 2 55，则 a =_ 317【山东省栖霞市 2019 届高三高考模拟】(1+x -2 x 2 )5展开式中的 x 6 的系数为_18【浙江省 2019 届高考模拟卷一】设( 2 +x)10=a +a x +a x 0 1 22+l +a x10 10，则a =2_，( a +a +a +l +a ) 2 -( a +a +a +l +a ) 0 2 4 10 1 3 5 92的值为_19【浙江省嘉兴市 2019 届高三第一学期期末检测】已知(2 -x 2 )(1+ax )3的展开式的所有项系数之和为 27 ，则实数 a =_，展开式中含 x2的项的系数是_20 【浙江省“七彩阳光”联盟2019 届高三期初联考】( x 2 -x +1)10展开式中所有项的系数和为_，其中 x 3 项的系数为_21【浙江省衢州市五校联盟 2