八个无敌模型——全搞定空间几何的外接球和内切球问题之欧阳引擎创编

1、八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球欧阳引擎(2021.01.01)文：付雨楼、段永建今天给大家带来8个求解立体几何内切球与外接球半 径的模型，本文最开始源自付雨楼老师分享的模型，教研 QQ群(群号：545423319)成员段永建老师逬一步作图编辑 优化分享。类型一.墙角模型(三条线两个垂直，不找球心的位置即可求 出球半径)方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2时=/+方2+。2,即 2R = yla2 +b2 +c2 ,求出 R例1(1)已知各灰点都在同一球直上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是(C )A. 16兀 B. 20 兀C. 24兀 D. 32龙(2)

2、若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为的，则其外接 球的表面积是9龙解： (1 ) V=6/2/2 = 16 , a = 2 , 4/?2=6Z2+2 + /r =4 + 4 + 16 = 24 ,S = 24龙,选 C ;(2) 4/?2=3 + 3 + 3 = 9, S=4欣2=9兀(3) 在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM丄A/N,若侧棱SA = 2/,则正三棱锥S-ABC外接球的表廂积 是。36兀解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：如图(3) -1,取的中点D、E ,连接AE、CD , AE,CD交于H,连接SH,则H是底正三角形ABC的中心，SH丄平

3、面 ABC,二 SH丄 AB,/V AC=BC9 AD=BD, . CD丄4B, /. AB丄平面SCD,AB ISC,同理：BC丄SA, 4C丄SB,即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3） -2, V AM丄MN, SBHMN,:.AM丄SB, / AC丄SB,二 SB丄平面SAC,.SB 丄 SA, SB 丄 SC, SB 丄 SA, BC 丄 SA, /. SA丄平廂SBC, /. SA丄SC,故三棱锥S - ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，.- (2/?)2 = (275)2 + (2V3)2 + (2V3)2 =36,即4/?2 = 36,.-正三棱锥S-ABC外接球的表面积是36

4、龙(4 )在四体S-ABC中，SA丄平面ABC ,ZBAC = 120,SA = AC = 2,AB = 1,则该四面体的外接球的表面积 为(D) B.Itt C. D.7t3(5) 如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6.4、3,那么它的外接球的表面积杲(6) 已知某几何体的三视图如图所示，三视图杲腰长为1的等 腰直角三角形和边长为I的正方形，则该几何体外接球的体积为解析：(4)在 A4BC中，BC1 = AC2 + AB2-2AB-BC cos120 = 7 ,2,沁的外接球直径为“备耆老T（5 ）三条侧棱两两生直,设三条侧棱长分别为，(2R$ = (2r)2 + SA2 =(瞥

5、F +4 = y(a,b,ce/T),则ab = 2/=（力_/?）2 +几 解出R方法二：小圆直径参与构造大圆。例2 个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（）CA. 3B. 2;rC喧 D.以上都不对解：选 C, （y/3-R）2+l = R2,3-2y/3R + R2 + = R2,4-2y/3R = 0,R = -2=, S = 4冰 = 7rV33类型三.切瓜模型（两个平血互相垂直）欧阳引擎创编1. 题设：如图9-1,平廂C丄平廂4BC,且AB丄BQ （即AC为 小圆的直径）第一步：易知球丿山0必是AR4C的外心，即AE4C的外接圆是大 圆，先求出小圆的直径AC =

6、2r ；第二步：在APAC中，可根据正弦定理- = - = = 2/?,求 sm A sin B sine出R2. 如图9-2,平面C丄平面ABC,且AB1BC （即AC为小圆的 直径）3. 如图9-3,平面PAC丄平面ABC,且AB丄BC （即AC为小圆的 直径），且P的射影杲A4BC的外心O三棱锥P-ABC的三条侧棱 相等O三棱P-ABC的底面AABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆 锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心0的位置，取AABC的外心贝三点 共线；第二步：先算出小圆q的半径AO, = r ,再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：OA2=OA2+ OxO2 = /?2 =

7、（h - R）2 + r2,解出 R4. 如图9-3,平PAC丄平面ABC,且AB丄BC （即AC为小圆的 直径），且氏丄AC,则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： （2疔=PA1 + （2r）2 O2R =（PA2 + 丁 ； R? = r2 + 002 o R = yjr+OO；例3 (1)正四棱锥的顶点都在同一球廂上，若该棱锥的高为1,底廂边长为2,则该球的表廂积为。(2)正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为血，各顶点都在同一个球上，则此球的体积为解： 由正弦定理或找球心都可得2R = 7, S = 4尿=49”,(2)方法一：找球心的位置，易知一 1, /2 = 1, h =

8、r,故球心在正方形的中心ABCD处，/? = 1, V = -方法二：大圆是轴面所的外接圆，即大圆是场C的外接圆,此处特殊，TC的斜边是球半径，2R = 2, 2, V =-(3)在三棱锥P-ABC中，PA = PB = PC = 侧棱与底面ABC所成的角为60。，则该三棱锥外接球的体积为()A. 7TC.4”dt解：选D,圆锥ABC在以-甞的圆上，R = 1(4)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球。的求面上,A4BC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径，且SC = 2,则此棱锥的体积为(逅 c D 632A.至B.6OO=QM - f =1一(岛卫331 V3 26 V2 , = 3 4

9、36类型四.汉堡模型（直棱柱的外接球.圆柱的外接球）题设：如图10-1,图10-2,图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心。的位置，是AABC的外心，则M丄平直ABC;第二步:算出小圆O】的半径AO = r , oq詁“=存（AAh也是圆柱的高）；h、=勾 股 定 理OA2 =OA2 +OO2 n R = (-)2 +r2 =R= !r2 + (-)2 ,解出 R 2V2例4 （1）个正六棱柱的底直上正六边形，其侧棱垂直于底 廂，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体 积为学 底直周长为3,则这个球的体积为O解：设正六

10、边形边长为，正六棱柱的高为，底面外接圆的关 径为厂，贝山冷底积为S=6字 =半，岭 5=半,h = ,42 oo o心(宁+($=1, 尺=1,球的体积为年（2）直三棱柱ABCAC.的各顶点都在同一球面上，若AB = AC = AA=2, ZBAC = 120 ,则此球的表面积等于。解：C = 2V3, 2r = -| = 4, r = 2 , “ ,(3)已知AEAB所在的平廂与矩形ABCD所在的平廂互相垂直， EA = EB = 3,AD = 2、ZAEB=6O ,则多面体E-ABCD的外接球的表直 积为。16兀解析：折叠型，法一：AEAB的外接圆半径为G=V3, OO,=lfR = yT

11、T3 = 2 ；法二：O网亠，r,=O,D = ,/?2=- + = 4 ,2-244R = 2. S = 16/r(4)在直三棱柱 ABC A/e 中，AB = 4,AC = 6,A = ，M= 4 贝 U 直 三棱柱ABC-AC,的外接球的表面积为。岁 解析：BC2 =16 + 36-2 4-6-l = 28 , BC = 2、厅，2厂=孕=军，2V3 V32类型五.折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如 图11) 第一步：先ifflj出如图所ZJX的图形，将ACDifflj在小圆上，找出ABCD和A40D的外心耳和弘；第二步：过厲和/分别作平面BCD和平AfBD

12、的垂线，两垂线的交点即为球心0,连接OE.OC ;第三步：解吐OEHi ,算出O,在心AOC/中，勾股定理：OH +CH; =OC2例5三棱锥P-ABC中，平面PAC丄平面ABC, APACffiA ABC均欧阳引擎创编心3+W+扌弓r=法一：。2日=帀,OH =正,AH = r第二步：设出长方体的长宽高分别为匕处,AD=BC=x,AB = CD = y AC=BD=z,列方程组，a1 +b2 = A-2222 (2/?)2 = a2 +b2 +c2 = U ；一十、-l +tr = z补充：匕-眈d =abc-ydbcx4 = abco3第三步：根据墙角模2R = ylcr +b2 +c2*

13、 22宀822丁x+r+r,求出心例如，正四体的外接球半径可用此法。例6 （1）棱长为2的正四廂体的四个顶点都在同一个球廁为边长为2的正三角形，贝0三棱锥P-ABC外接球的半径为. 解析：22沪為倍卞,M怙类型六、对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径(AB = CD, AD=BC, AC=BD) 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱;上.若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是.(2)个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是()A.3、厅仃

14、)題解答图解：(1)截面为APCO,面积是运;(2)高U底面外接圆的半径为尺=1,直径为2R = 2t设底面边长为则27? = -sin 60a = y3 9y/3 ,3y/3cr =44三棱锥的体积为护畔(3 )在三棱锥 A-BCD 中，AB = CD = 2.AD=BC = XAC=BD = 4,贝 三棱锥A-BCD外接球的表直积为。%2解析：如图12,设补形为长方体，三个长度为三对直的对角线 长，设长宽高分别为“，b，c,则/+夕=9,Z?2 + C2 = 4c2+2 = 16.2(a2 + 戻 + c?) = 9 + 4 +16 = 292(/+/+/) = 9 + 4 + 16 =

15、29 , 以。29 心 29 c 296T+/t+l= ,4R =,S =兀2 2 2(4)如图所示三棱锥A-BCD,其中AB = CD = 5, AC = BD = 6, AD = BC = 7,则该三棱锥外接球的表面积为. 解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为e,b,c, 2(/+沪+刊=25 + 36 + 49=110,cr +b2 +c2 =55, 4/? =55, S = 55/r 【55”；对称几何体；放到长方体中】(5)正四面体的各条棱长都为血，则该正廁体外接球的体积 为解析：这杲特殊情况，但也杲对棱相等的模式，放入长方体 中，2/? = V3,

16、/百，心笃.班二匣2382类型七.两直角三角形拼接在一起(斜边相同，也可看作矩形沿对 角线折起所得三棱锥)模型题设：ZAPB=ZACB = t求三棱锥P-ABC外接球半径(分析： 取公共的斜边的中点0,连接OP、OC ,贝 OA = OB = OC = OP = -AB, :. O 为三棱锥 P - ABC 外接球 2球心，然后在OCP中求出半径)，当看作矩形沿对角线折起所 得三棱锥时与折起成的二廂角大小无关，只要不是平角球半径 都为定值。例7 (1)在矩形ABCD中，AB = 4, BC = 3,沿AC将矩形ABCD折 成一个直二廂角B-AC-D,则四面体ABCD的外接球的体积 为()A.

17、B. C. D. 12963解:(1 ) 2R = AC=59尺=专,八扌尿二彳兀呼=耳 ,选C233 o o(2)在矩形ABCD中，AB = 2t BC = 3,沿将矩形ABCD折 叠,连接AC,所得三棱锥A-BCD的外接球的表面积为.解析：(2 )3的中点是球心0 , 2R = BD = V13 ,S = 4加?2=13兀；类型八.锥体的内切球问题1.题设：如图14,三棱锥P-ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。第一步:先现出内切球的截庖图，*分别杲两个三角形的外心;第二步:求 DH = -BD, PO=PH-r, PD 是侧面 A43P 的高；3第三步:由APOE相似于APM,建立等式：

18、岳舞,解出厂2.题设：如图15,四棱锥P-ABC上正四棱锥，求其外接球的半径 第一步：先现出内切球的截面图，PQ、H三点共线； 第二步：求皿护，PF是侧龄CD的 第三步：由APOG相似于APFH ,建立等式： = 解出HF PF3.题设：三棱锥P ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径 方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的 体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积;第二步：设内切球的半径为建立等式：Vp-MC = OABC + 5-PA8 + O-PAC +=第三步：解出 - 习题：1 .若三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，fi SA = 2 ,SB = SC = 4,则该三棱锥的外接球半径为()A3B6C36D9解：【A】(2时=J4 + 16 + 16 =6, R = 3【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底是直角三角形】【共两 种】_2.三棱锥S-ABC中，侧棱SA丄平 ABC,底ABC是边长为盯 的正三角形，SA = 2 ,