全等证明--解题方法归纳

1、【第1部分 全等基础知识归纳、小结】1、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。两个全等三角形中， 互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重 合的角叫对应角概念深入理解：（1）形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。（外观长的像）（2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（位置变化）图22、全等三角形的表示方法：若AABC和公ABC，是全等的，记作“ AABC旦A，BC” 其中，“今”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对 应的位置上。3、全等三角形的性质：全等是工具、手段，最终是为了得到边等或角等

2、，从而解决某些问题。（1）全等三角形的对应角相等、对应边相等。（2）全等三角形的对应边上的高，中线，角平分线对应相等。（3）全等三角形周长，而积相等。4、寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边 是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此, 由全等三角形的记法便可写岀对应的元素。（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;(3) 通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位垃关系的观察和分析，可以看出貝中一

3、个是由另一个 经过下列各种运动而形成的；运动一般有3种：平移、对称、旋转：5、全等三角形的判定：(深入理解)边边边(SSS)边角边(SAS)角边角(ASA) 角角边(AAS)斜边，直角边(HL)注意：(容易出错)(1) 在判泄两个三角形全等时，至少有一边对应相等(边泄全等)：(2) 不能证明两个三角形全等的是，三个角对应相等，即AAA；有两边和其中一角 对应相等,即SSA。全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位苣的工具。在平 而几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位巻，常 常需要借助全等三角形的知识。6、常见辅助线写法：(照着辅助线说明

4、要能做出图、养成严谨、严密的习惯)如：过点A作BC的平行线AF交DE于F过点A作BC的垂线，垂足为D(3) 延长AB至C,使BC=AC(4) 在AB.上截取AC,使AC=DE(5) 作ZABC的平分线，交AC于D(6) 取AB中点C,连接CD交EF于G点同一条辅助线，可以说法不一样，那么得到的条件、证明的方法也不同。【第2部分中点条件的运用】1还原中心对称图形（倍长中线法）中心对称与中心对称图形知识:把一个图形绕着某一个点旋转180%如果它能够与另一个图形重合,那么就说这 两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心。这两个图形中的对应 点叫做关于中心的对称点。中心对称的两条基本性质：

5、（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。（2）关于中心对称的两个图形是全等图形。中心对称图形把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。（一个图形）如：平行四边形线段本身就是中心对称图形，中点就是它的对称中心，所以遇到中点问题，依托中点借助辅助线还原中点对称图形，可以把分散的条件集中起来（集散思想几例1、AD是aABC中BC边上的中线，若AB=2, AO4,贝ij AD的取值I羽是2、已知在 ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上-点，延长BE交俨于F,AF=EF

6、求证：AC=BE.例3、如图，D是 ABC的边BC上的点，且CD=AB, z ADB=z BAD, AE是 ABD的中线。求证：AC=2AE例4 AABC中，AD、BE. CF是三边对应中线。（则0为重心）求证：（DAD、BE、CF交于点0。（类倍长中线）；练习1、在ABC中，D为BC边上的点，已知aBAD=aCAD. BD=CD,求证：AB = ACCBM2、如图，已知四边形ABCD中，AB = CD, M、N分别为BC. AD中点，延长MN与AB、CD延长线交于E、F,求证z BEM = zCFM3、如图，AB=AE, AB丄AE, AD=AC, AD丄AC,点 M 为 BC 的中点，求证

7、：DE=2AM（基本型：同角或等角的补角相等、K型）例1已知梯形ABCD, ADll BC,点E是AB的中点，连接DE、CE。求证:s =LS 讥 DEC HiABCD例2 如图，在平行四边形ABCD中，AD=2ABM是AD的中点，CE丄AB于点E,zCEM=40%求zDME的大小。（提示：直角三角形斜边中线等于斜边的一半）例3已知aABD和aACE都是直角三角形，Kz ABD = z ACE=90,连接DE,设M为DE 的中点。求证：MB=MC：设z BAD = zCAE,固RtA ABD, ih RU ACE移至图示位置，此时MB=MC是否成立？请证明你的结论。练习1、已知：如图，梯形AB

8、CD中，ADll BC, z ABC=90.若BD = BC, F是CD的中点，试问：zBAF与zBCD的大小关系如何？谙写出你的结论并加以证明：2、RtA ABC中，z BAC=90% M为BC的中点，过A点作某直线/,过B作3D丄/于点D,过C作CE丄/于点E。(1)求证：MD=ME3、如图（1）,在正方形ABCD和正方形CGEF （CGBC）中，点B. C、G在同一直线 上，M是AE的中点，（1）探究线段MD、MF的位置及数量关系，并证明；（2）将图（1）中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形CGEF的对角线CE恰好 与正方形ABCD的边BC 同一条直线上，原问题中的其他条件不变。

9、（1）中得到的两个 结论是否发生变化？写岀你的猜想并加以证明。（结合前而字型“全等，仔细思考）3构造中位线三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线性质：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.重点区分：要把三角形的中位线与三角形的中线区分开，三角形中线是连结一顶点和它对边 的中点：而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段。（全等法）在 ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，证明：DEll BC, DE=-BC 2证明：延长DE至F点，使DE=EF,连接CF （倍长中线）三角形的中位线在位置关系和数量关系二方而把三角形有关线段联系起来，将题目给岀的分散

10、条件集中起来（集散思想九注：题目中给出多个中点时，往往中点还是不够用的。求证：四边形EFGH是平行四边形。在四边形ABCD中，E. F. G、H分别是AB、例2已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点0,且AC=BDM、N分别是AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于点E、F. 你能说出0E与0F的大小关系并加以证明吗?练习1、三角形ABC中，AD是zBAC的角平分线，BD丄AD,点D是垂足，点E是边BC的中点，如果AB=6, AC= 14,求DE的长。2、ABll CD, BCll AD , DE丄BE , DF=EF,甲从 B 岀发，沿着 BA-ADDF 的方向 运动，乙B出发，沿着B

11、C-CE-EF的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从B 出发，则谁先到达F点?DB3、等腰 RM ABC 与等腰 RMCDE 中，z ACB=z EDC=90,连 AE、BE,点 M 为 BE 的中点，连DM。（1）当D点在BC时，求2邑的值AE（2当aCDE绕点C顺时针旋转一个锐角时，上结论是否任然成立，试证明4. a ABC. aCEF都为等腰直角三角形,当E、F在AC、BC, z ACB=90,连BE、AF,点M、N分别为AF. BE的中点（1）MN与AE的数量关系（2）将aCEF绕C点顺时针旋转一个锐角，MN与AE的数量关系4、与等面积相关的图形转换在涉及三角形的面枳问题时，中点

12、提供了底边相等的条件，这里有个基本几何图形如图，a ABC中，E为BC边的中点，那么显然 ABE和厶AEC有相同的高AD,底边也相等,则边形AGCQ =S世形磁DE、F是矩形ABCD的边AB. BC的中点，连AF、CE交于点G,AEB扩展 如图，等腰RtA ACD与RtAABC组成一个四边形ABCD, AC=4,对角线BD把四边形ABCD分成了二部分，求Sjbd-Szd的值。【5、等腰三角形中的、三线合一】三线合一是相当重要的结论和解题工具，它告诉我们等腰三角形与直角三角形有着极 为亲密的关系。例ZkABC中，AB=AC, BD丄AC于D,问z CBD和z BAC的关系？分析：zCBD和zBA

13、C分别位于不同类型的三角形中，可以考虑转为同类三角形。例 在 ABC 中，AB=AC=5, BC=6,点 M 为 BC 中点,MN丄AC于点N,贝ij MN=【6、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半】这可以作为一个泄理宜接运用，关于这个左理的证明有多种方法，包括利用前而所讲中点的一些知识。例 如图RtA ABC中，z ACD=90, CD为斜边AB上的中线 求证：CD= -AB2(1)利用垂直平分线的性质：垂直平分线上任一点到线段的二个端点的距离相等。取AC的中点巳 连接DE。则DEll BC （中位线性质）z ACB=90.-. BC丄 AC , DE 丄 AC则DE是线段AC的垂直平分线

14、/. AD=CD（2）全等法，证法略。AC的中点，求证：四边形EFGD是等腰梯形。练习 1、在 RtA ABC 中，z A=90, AC=AB, M、N 分別在 AC. AB 上，且 AN = BM,2、AABC中，z A=90, D是BC的中点，DE丄DF“求证:be2+cf2 = ef2（集散思想）3、AABC 中，AB=AC,点 D 在 BC 上，E 在 AB 上,AD、BE、BC的中点(1)若z BAC=90则z PMN =若z BAC=60.则z PMN =(2),并证明例 在三角形ABC中，AD是三角形的髙，点D是垂足，点E、【中点问题练习题】1、假设给岀如下左义：有一组相邻角相等

15、的四边形叫做等邻角四边形.请解答下列问题：（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的冬称：（2）如图1,在aABC中，AB=AC,点D在BC上，且CD=CA,点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G.求证：四边形AGEC是等邻角四边形；（3）如图2,若点D在aABC的部，（2）中的英他条件不变，EF与CD交于点H,是否 存在等邻角四边形，若存在，是哪个四边形，不必证明：若不存在，请说明理由.2、已知：a ABC和aADE都是等腰直角三角形，zABC=zADE=90,点M是CE的中点，连接BM（1）如图，点D在AB上，连接DM,并延长DM交BC于点N,可探究得出BD与BM的数量关系为,写出证明过程。（2）如图，点D不在AB上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不 成立，说明理由。3、在OB 中，AB=OB=2, COD 中，CD=OC=3, z ABO=z DCO连接 AD、BC,点M、N. P分别为OA、OD、BC的中点.若A、0. C三点在同一直线上，zABO=60。，则aP