参数方程化普通方程

1、参数方程化普通方程重点难点 掌握参数方程化普通方程的方法，理解参数方程和消去参数后所得的普通方程的等价性；应明 确新旧知识之间的联系，提高综合运用所学知识解决数学问题能力。 例题分析 1把参数方程化为普通方程(1)(庚R, B为参数)解:/ y=2+1-2sin（庚R,0为参数）解：T x2=(sin 0 +cos=1+)sin 0 cos 把 y=sin 0 co代入,. x2=1+2yo B 把 sin 0 代入，二 y=3-2x2,(2)又：|sin 0 | 1, |cos2 0 |. 1x| w 1, 1 y-3 所求方程为 y=-2x2+3(-1 x 1, 1 y 0,2+1 1.;

2、.0W 1,-1-1 W 1； -1 0,二-1 0,. -1x w 由y=,t=0 时，y=0;=1，从而t工0寸,|y|=w|y| w。法一 :注意到分子，分母的结构，采用平方消参，=1。x2+y2=()2+()2=法二:关键能不能用x, y表示t，且形式简单 由x=t2=，代入y=t(1+x)t=再代入x=，化简得 x2+y2=1。法三 :注意到表达式与三角中万能公式非常相象=cos2Q,可令 t=tg Q (-) x=y=sin2 Q ,),X2+y2=1，又 2 Q(- ,22-10)，过原点作互相垂直的两条直线分别被抛物线截得线段为AB, CD, M点，N为CD中点，G为MN中点。

3、求G点轨迹方程，并说明其图形。yM=解:设AB方程为y=kx代入抛物线方程 y2=4p(x+p)k2x2-4px-4p2=0, 若 A，B 坐标为 (x1, y1), (x2, y2) 则xM=ABFCD1 00U.O yu-X24PX4P2HP济 c?y3)D(x4yy4) P 2=2p，而y R在方程中都已体现，轨迹方程为y2=p(x-2p)为顶点(2p,0)开口向右的抛物线。说明：消参一般应分别给出x,y的范围，而二题中变量的范围已体现在方程之中。在某些特殊情况，消参之后给出x,y的范围也不能说明原曲线的轨迹，这时应用语言作补充说明。如方程0 0,n,是个圆，但消参之后得 X2+y2=1

4、(|x| 1, |y|却无法说明这一点。在线测试选择题A、椭圆的一部分B、双曲线的一部分C双曲线的一支D、抛物线1.曲线的参数方程为为（）A、射线B、线段（0为参数），则方程所表示的曲线2.参数方程（B为参数，且 0 0 2n ）所表示的曲线是C、抛物线的一部分，且过 （-1,）点D、抛物线）点的一部分，且过（1,则直线I的倾斜角为（）3.已知直线I的参数方程为D、B、当炮弹到达最高点时，炮弹飞行的水平距离是（)4.抛物线A、x=3B、x=-1C、y=0D、y=-25弹道曲线的参数方程为（t为参数，a.Vo, g为常数）（t为参数）的准线方程是（）A、B、C、D、 答案与解析解析： / x=c

5、os2$ 0, 1, y=1-cos2 =1-x,. x+y-仁0, x 0 , 1为一条线段。故本题应选B。是不对的，因为只有当直（ 3） 本题认为直线 l 的倾斜角是线的参数方程为：（其中t为参数），其中的a才是直线的倾斜角，消去参数t，化参数方程为普通方程后，再求直线I的倾斜角是可以的。但直线 I的倾斜角B适合tan 0tan0这里只要把两个方程相除就可得：又 00 0,这与y2=x中y的允 许值范围y R不一致，故A应排除.在B中，x=sint 0 x 0 , 1与y=sint -1 , 1与方程y2=x中的x, y取 值范围不一致，故 B 也应排除.中的x O,+s),y R完全相同

6、，所以D中参数方程与y2=x同解，应选 D【点评】 参数方程与消去参数后所得普通方程是否同解的判定，涉及函数定义域与值域的研究而无通法可循， 只能根据参数方程通方程 F(x， y)=0 中 x， y 的允许值范围(即方程F(x, y)=0的定义域)是否一致来判断仅根据消去参数后所得的普通方程F(x, y)=0的外形来判定，常易失误A.圆 B.半圆C.四分之一圆表示的曲线是（ ）D.以上都不对消去B,得X2+y2=1,未分析X, y的取值范围，即断言表示的曲线为圆，而误选 A.时t不存在，所以消去t后方程X2+y2=1中X勺，即在圆x2+y2=1 中应除去一点 （-1, 0）.所以此参数方程表示

7、的曲线为单位圆 X2+y2=1 上除去一点 （-1 , 0）.在普通方程 X2+y2=1 中应注明x （-1, 1.应选D.为参数 ）交于 A、B 两点，求弦长 |AB| 【疑难或错解】以直线的参数方程代入双曲线的普通方程（y-2）2-/=1，有（-4t） 2-（-1+3t） 2=1，即7t2+6t-2=0 方程的两个根分别为ti=PA, t2=PB,其中点P的坐标为（-1，2）.方程的两个根：错解混淆了直线参数方程的标准型和非标准型中参数t的几何意义.在标准型中，P ( xo, yo)为直线上的定点，Q (x, y)为直线上任意一点，则 t表示有向线段 PQ的数量(规定直线向上、向右为正方向

8、).这一结 论不适用于非标准型.因此运用直线参数方程求二次曲线的弦长时，应先将直线的参数方程化为标准型，否则 将导致错误. (y-2)2-x2=i.将双曲线方程化为普通方程：方程的两个根分别为 t1=PA， t2=PB,点评】 设 A、B 两点的坐标分别为（ x1， y1）、（ x2，y2）的定点，故Xi-x2=a(ti-t2), yi-y2=b(ti-t2)，二(xi-X2)2+(yi-y2)2=(a2+b2)(ti-t2)2. 利用这一结果也可求 |AB| 之长，结果与正解同所以此曲线为以为端点的线段。点评】 消去参数过程中不分析 x，y 的取值范围，导致轨迹纯粹性受破坏【剖析】错解仅考虑

9、ab0的情况，而忽视ab=O的情形，因而解答不完整.ab=O时，有a=0,b=0； a=0， b=0 三种情况，应逐一进行讨论【正确】当ab0时，如上解有当 ab=0 时，有下列三种情形：(1) a=0, b0寸，原方程为(2) aQ b=0,原方程为此寸， 曲线为 y 轴(含原点)|a|,即 x|a|或 x=|a| .消去 t，得普通方程为 y=0, x (-g, -|a| 的两条射线，端点分别为 (|a| ， 0)指向正半轴； (-|a| ， 0)指向负半轴U |a| , +g).此时曲线为x轴上点评】 消去参数过程中不注意方程中 x， y 的取值范围，对任意常数a， b 的可能情况不分别

10、讨论是导致失误的主要原因.（t为参数）问li与12是否表示同一曲线为什么疑难或错解】l1：未对x, y的取值范围进行分析，根据两曲线的普通方程，即断言 li和12表示同一直线，焉能不失误.【剖析】在曲线li的参数方程中，x=1+cos2 0 =2&）S 0 , 2，消去参数B所得的普通方程 2x-y+1=0中x 0, 2,所以曲线li为以（0, 1）与（2, 5）为端点的线段.只【点评】12,所以11、12不是同一条曲线.在曲线 l1 消去参数时，未分析 x 的取值范围，破坏了轨迹的纯粹性，是导致失误的主要原因A 20B 70 C110 D 160而误选（ A）（D）还有将原方程化为而无法作出

11、判断剖析】 上述疑难的根源在于对直线参数方程标准型概念模糊所致在直线参数方程的标准型：这才是此直线参数方程的标准型，此直线倾斜角为110，应选 Csin a 0,故当av 0, b 0,且a2+b2=1时，才是标准型.等都不是直线参数方程的标准型，由此推出的直线的倾斜角都是错的。 欲将其化为标准型,应将 x=tsin20 +3 化为 x=3+(-t)sin(-20 )=3+(-t)cos(90 +20) 即 x=3+(-t)cos110 ,y=(-t)sin(90 +20)=(-t)sin110 .倾斜率为 110，无须化为标准型另外结合直线的图像，过点(3，0)、( 3+sin20 ， -c

12、os20 )。所以直线的倾斜角为钝角，排除 A、B,又由cos20sin20 可知倾斜角v 160排除D,而选C.诚如华罗庚所说：不可得义忘形 ”，形义结合，常可快速获解。B两点，试求|PA|+|PB|之值.疑难或错解】 直线 l 的参数方程为代入椭圆方程，得方程的两个根分别为 t1=PA， t2=PBt=PA 0, t2=PB 5, tit2 0,即ti、t2同号，【点评】当问题中出现任意常数(如这里的X0 )时，应考虑各种可能，逐个进行分析讨论，否则可能犯以偏概全或漏解的错误直线及圆的参数方程教学重点和难点 :直线参数方程及圆的参数方程的基本形式，对直线标准参数方程中参数 方程如何化为标准

13、方程并求出倾角，并应用直线参数方程解决有关问题。例题分析 :例 1下列各式中， 哪一个是直线的三角式方程， 试述理由， 若是点角式参数方程时， 化为点角式参数方程。t 的理解，非标准参数写出始点和倾角， 若不是，1）t 为参数）；（ 2 ）t 为参数） ；（ 3 ）t 为参数）但是形如t 为参数）的可化为参数方程的标准式即为点角式参数方程的必要2）不是点角式参数方程，不满足条件，即 a2+b2=1t 为参数）(3)（t为参数）不是点角式参数方程，令t=-t，得直线始点为（-2, 2）,倾角为例2.写岀过点A （1 , -2），倾角为45的直线li的点角式参数方程，若 li与l2：x+2y-4=

14、0相交于B(1)求|AB| ;( 2)求点B的坐标1+t+2(-2+t)-4=0解:设 l1 的参数方程为(1)( t为参数) 把(I)代入12方程,解出 t=II），|AB|=|t-0|=把（II）代入（I）B(小结:从此例可看岀应用三角式参数方程求距离很简捷。例3.求椭圆=1中斜率为2的平行弦中点的轨迹(6)解：(1)用普通方程解决，设弦中点P(xo, yo),弦的两端点A(x1, y1), B(x2, y2)由已知得(1)-(2)：=o，段。将(5)代入(6),二2=, xo+3yo=O,轨迹为含在椭圆内的一条线法(2)参数方程解题设弦中点P(xo,yo)，弦的倾角为a, 平行弦的直线参

15、数方程为 :( t 为参数) (1)将()代入 2x2+3y2-6=0 中，整理后得：(2cos2 a +3sina )t+2(2x0cos a +3ysin a )+3yo2-6=O,tl+t2=P为弦中点， ti+12=0,即卩 2xocos a +3ysin a =0 又 tg a =2,. 2xo+6yo=O,=1内的一条线段。 P点轨迹是方程为x+3y=0在椭圆小结:此例用普通方程及参数方程对比解决，体会参数t的几何意义，其中tl+t2=0对点角式方程而言具有普遍的意义，常用于解决弦中点问题。例4.设M，N是抛物线y2=2px(p0)的对称轴上两点，且它们关于顶点0对称，过M，N作两

16、条平行线，分别交抛物线于 P1，P2, Q1, Q2,求证:|MP 1| |MP2|=|NQ 1| |NQ 2|证明：由已知可设 M(a,O), N(-a, 0)(a0)则直线MP1，NQ1的参数方程为：（ 1）和（2）其中t是参数，a是倾斜角。把（1）（ 2 ）分别代入y2=2px中，由韦达定理可得：|MP i| |MP2|=|NQ i| |NQ2|=，二 |MP i| |MP 2|=|NQ i| |NQ2|评述:此例中应用了点角式参数方程中t的几何意义，即It l|,|t 2|为相应点到定点M的距离，据此证明了关于线段的等式问题。例5.椭圆长轴|AiA2|=6，焦距|FiF2|=4，过椭圆

17、焦点 Fi引直线交椭圆于 若|MN|等于短轴时，求a。解：a=3, c=2,b=1, Fi(-2,0) ,椭圆方程2+y2=1M，N 两点，设/ F2FiM=a， a 0, n，.(1) (t为参数)法（1）设MN所在直线参数方程为将(1)代入+y2=1 得:(1+8sin2a )-4tcos -a=0t1+t2=ti t2=,2b=2I |t 1-t2| 2 =22, sin2 a =a 0, n ，二 sin a =法二)设 MN 方程 :y=k(x+2)|MN|=e(x 1+x2)+2a=(x1+x2)+6, / |MN|=|X 1-X2| 又 |X 1-X2| 2 = (X1+X2)2

18、-4X1X2将(1),(2)代入，将代入(I)解得:k2=(下略)另； / e=,M(xi,yi), N(x2,y2)由第二定义：|MF 2|=ex 2+a,|MF 1|=ex 1+a2= +6,k2=（下略 ）。评述 :利用直线参数方程，常常解决弦长的问题，对比普通方程的弦长公式可知，形式上要简捷，运算上也将更 加简化，减少运算的出错可能。例 6过 M(-1,0) 的直线 l 交双曲线 x2-y2=10 于 A，B 两点，且 |MA|=3|MB| ，求直线 l 的方程。分析:V |MA|=3|MB| ，若设普通方程，则两线段间的上述关系表述很繁琐，条件不利于应用。设直线参数方程 点角式，直接

19、利用参数 t 的几何意义表达 |MA|=3|MB| ，可以很方便的代入式子中去应用。t 为参数)解:设直线 MA 的参数方程为(-1+tcos a-)2sin2a-10=0(cos2a-sin2a )-2tC0S -9=0,有 ti+t2=t1 t2=又 |MA|=3|MB| t 1 =32t3=当 ti= 32 时， 4t2=t2=解得 :cos2=5sin2,tg a =l: y= (x+1) 当 t1=3t2 时，同理可求 l:y=(x+1)若参本周小结 :直线参数方程点角式问题，应注重从下面几点讲解。会判断方程是否为点角式参数方程；数方程为会化为点角式，并会求出倾角，一定要注意倾角的范

20、围会应用它解决弦长问题，弦的中点线分弦成定比问题，点在直线上位置等常见问题。参考练习1直线 :110D、 160t 为参数） 的倾斜角是 （ ） A、20 B、70C、2直线t 是参数）与圆（a为参数）相交所得弦长为（参考答案C、D、(3+)3圆x2+y2=8内有一点 叫-1,2), AB为过P0且倾角为a的弦。n,求|AB| ;( 2)当弦AB被点Po平分时，写岀直线AB的方程。3.解:设直线AB方程为：(t为参数)把代入X2+y2=8,整理得：t2-2(cos -2sin a-3=0(2)直线与圆相交，二(2)有实根，则由韦达定理:ti+t2=2(cos仿sin a ),itt2=-3,(

21、1)当 a =n时,222n-si n|AB| 2=|t 1-t2| 2=(t1+t2)2-4t1t2=2(cosn 2-4 X (-3)=302）弦 AB 被点 P0 平分COS a2sin a )=0tg a =AB方程为:y-2=，即 k=(x+1),即卩 x-2y+5=0在线测试选择题1.直线C、110D、1602 曲线的参数方程为rA、线段B、双曲线的一支C、圆弧（t为参数）的倾斜角是（）D、射线A、20（0 t 5），则曲线是（）B、703 椭圆的两个焦点坐标是（）A、（-3,5）, （-3,-3）B、（3,3）,（3,-5）C、（1,1）,（-7,1）D、（7,-1）,（-1,-1）4 下列参数方程（t为参数）与普通方程x2_y=o表示同一曲线的方程是（）A、B、D、C、5曲线的参数方程