直线与方程知识点总结例题习题精讲详细答案提高训练

1、提高训练 课程星级： 【知识点一：倾斜角与斜率】 (1) 直线的倾斜角 关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与x轴相交；2、x轴正向；3、直线向上方向。 直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0 倾斜角的范围0180 (2) 直线的斜率 直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为90的直线斜率不存在. 记作 k tan (90。) 当直线l与x轴平行或重合时,00,k tan00 0 y2 yi 当直线l与x轴垂直时，900,k不存在. x2 xi 经过两点R(xi,yi), P(X2,y2)(x1 x?)的直线的斜率公式是 k 每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 (3) 求斜率的一

2、般方法: 已知直线上两点，根据斜率公式k 辿一 (x2 x1)求斜率； x2% 已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据 k tan来求斜率； (4) 利用斜率证明三点共线的方法： 已知 A(X1, yj, B(X2,y2),C(X3, y3)，若 x? X3或kAB kBc，则有 A、B、C三点共线。 【知识点二：直线平行与垂直】 (1)两条直线平行：对于两条不重合的直线|1,|2，其斜率分别为knk2，则有11 /l2 k1 k2 特别地，当直线IJ2的斜率都不存在时，h与12的关系为平追 (2)两条直线垂直： 如果两条直线|1,|2斜率存在，设为knk2，则有l1 l2注：两条直线ll, 1

3、2垂直的充要条件是斜率之积为 -1，这句话不正确; 由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果11,12中 有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0时，与l2互相垂直 【知识点三：直线的方程】 （1）直线方程的几种形式 需要更多的高考数学复习资料 请在淘宝上搜.索宝贝：高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲（详细解答） 或者搜店铺.:龙奇迹【学习资料网】 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 y y1 k(x X1) （Xi,力）为直线上一定点， k为斜率 不包括垂直于 X轴的 直线 斜截式 y kx b k为斜率，b是直线在

4、y轴 上的截距 不包括垂直于X轴的 直线 两点式 y y1x X1 y2 y1X2 X1 经过两点(X1,yJ,(X2,y2) 且(为 X21 y2) 不包括垂直于 X轴和 y轴的直线 截距式 x 乂 1 a b a是直线在x轴上的非零截距， b是直线在y轴上的非零截距 不包括垂直于 X轴和 y轴或过原点的直线 一般式 Ax By C 0 2 2 (A B 0) 代B,C为系数 无限制，可表示任何 位置的直线 问题：过两点 R（X1, yd F2（X2, y2）的直线是否一定可用两点式方程表示？【不一定】 (1)若 X1 X2 且 y1 y2，直线垂直于 X轴,方程为XX1 ； 若X1 X2

5、且 y1 y2，直线垂直于 y轴方程为屮y2 ； 若X1 X2 且 y1 y2，直线方程可用两点式表示 直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式； 利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否. 用截距式方程表示直线时，要注意以下几点：方程的条件限制为 a 0,b 0，即两个截距均不能为零，因 此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线；用截距式方程最便于作图，要注意截距是 坐标而不是长度 截距与距离的区别：截距的值有正、负、零。距离的值是非负数。截距是实数，不是“距离”，可正可负。 截距式方程的应用 与坐标轴围成的三角形的周长为：|a|+|b|+b2 ； 1 直线与

6、坐标轴围成的三角形面积为：S= -1 ab | ； 2 kx 直线在两坐标轴上的截距相等，则k 1或直线过原点，常设此方程为x y a或 y （2）线段的中点坐标公式 若点R,P的坐标分别是（X-, %）,化小）, 2 % y2 x 且线段RP2的中点M （x, y）的坐标为 y 【知识点四 直线的交点坐标与距离】 （1）两条直线的交点 设两条直线的方程是 h ： Ax By C1 0 , I2 ： A2xB?yC20 Ax B1 y C10 两条直线的交点坐标就是方程组11 的解。 A x B?y C20 若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； 若方程组无解，则两条直线无公

7、共点，此时两条直线平行. （2）几种距离 两点间的距离：平面上的两点R（X1, y1）, F2（X2, y2）间的距离公式 I PP2 I 、.,（X2X1）2（y2yj2 特别地，原点0（0,0）与任一点P（x, y）的距离|OP|X2 y2 点到直线的距离：点Po（x,yo）到直线Ax By C 0的距离 | Ax 0By 0 C 7a 2=b l 两条平行线间的距离：两条平行线 Ax By C1 0与Ax By C2 0间的距离 d |G C2| d Jr_B2 注:1求点到直线的距离时，直线方程要化为一般 _ 2求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的二般形式后，才能套用

8、公式计算。 需要更多的高考数学复习资料 请在淘宝上搜.索宝贝：高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲（详细解答） 或者搜店铺.:龙奇迹【学习资料网】 1 精讲精练_J 【例】已知R （L, V3）, B 2, 2V3），直线I过原点0且与线段AB有公共点，则直线I的斜率的 取值范围是（） A閉伯 B 爭,问 C （爭,価 D閉爭 答案：B 分析：由于直线I与线段AB有公共点，故直线I的斜率应介于 0A，0B斜率之间. 解：由题意，利二_，由于直线|与线段AB有公共点， 所以直线I的斜率的取值范围是: 考点：本题主要考查直线的斜率公式，考查直线I与线段AB有公共点，应注意结合图象理解. 【

9、例】在坐标平面内，与点 A （1, 2）距离为1,且与点B （3, 1）距离为2的直线共有（） A 1条B 2条C 3条D 4条 答案：B 分析：由题意，A、B到直线距离是1和2，则以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线的条 数即可. 解：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求. 考点：本题考查点到直线的距离公式，考查转化思想 【例】将直线11： y=2x绕原点逆时针旋转 60。得直线12,则直线I2到直线I3： x+2y - 3=0的角为（） A 30 B 60 C 120 D 150 答案：A 分析：结合图象，由题意知直线 I1I3互相垂直，不难推出

10、I2到直线13： x+2y - 3=0的角. 解：记直线11的斜率为k1，直线I3的斜率为k3，注意到k1k3= - 1，11丄13，依题意画出示意图，结合图形 分析可知，直线I2到直线I3的角是30 需要更多的高考数学复习资料 请在淘宝上搜.索宝贝：高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲（详细解答） 或者搜店铺.:龙奇迹【学习资料网】 考点：本题考查直线与直线所成的角，涉及到角公式 【例】方程x |y 1所表示的图形的面积为 答案：2 解：方程|x y 1所表示的图形是一个正方形，其边长为.边 【例】设a b k(k 0,k为常数)，则直线ax by 1恒过定点. 1 1 答案：(丄，

11、1) k k 解：ax by 1 变化为 ax (k a)y 1,a(x y) ky 10, x y 0 对于任何a R都成立，则 ky 10 【例】一直线过点M( 3,4)，并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是 答案： 4x y 16 0，或 x 3y 9 0 解：设 y 4 k(x 3),y 0,x- 4 k 3；x 0,y 3k 4；k4 3 3k 412 3k 4 11 0,3k2 11k 4 0,k 4,或k 1 k 3 【例】 已知 A (1, 2), B (3, 4) 直线 11: x=0 , 12： y=0和 13： x+3y - 1=0、设 Pi 是 li (i=1

12、 , 2, 3) 上与A、B两点距离平方和最小的点，则 P1P2P3的面积是 答案：- 2 分析：设出P1, P2, P3，求出P1到A , B两点的距离和最小时，P1坐标，求出P2, P3的坐标，然后再解 三角形的面积即可. 解：设P1(0,b), P2 (a,0),P3(X0,y0)由题设点P1到A, B两点的距离和为 2+12+ C2：-b) 显然当b=3即P1(0,3)时，点P1到A , B两点的距离和最小，同理P2 (2,0),P3(1,0),所以 考点：本题考查得到直线的距离公式，函数的最值，考查函数与方程的思想，是中档题. 【例】已知直线（a- 2） y= （ 3a- 1） x-

13、 1，为使这条直线不经过第二象限，则实数 a的范围是_ 答案：2，+8） 分析：由已知中直线（a- 2） y= （3a- 1） x- 1不经过第二象限，我们分别讨论a- 2=0 （斜率不存在）， a-2工0（斜率存在）两种情况，讨论满足条件的实数a的取值，进而综合讨论结果，得到答案. 解：若a-2=0,即a=2时，直线方程可化为 x=，此时直线不经过第二象限，满足条件； 5 若a-2工0直线方程可化为 丫=竺_1乂-，此时若直线不经过第二象限，则竺2一Q解 a_ 2 a 2a_ 2 a_ 2 得a 0 k0且 bwo时, a- 2=0（斜率不存在） 综上满足条件的实数a的范围是2 , +8）

14、考点：本题考查的知识点是确定直线位置的几何要素，其中根据直线的斜截式方程中，当 直线不过第二象限得到关于a的不等式组，是解答本题的关键，但解答时，易忽略对 时的讨论，而错解为（2, +8）。 【例】过点A 解：设直线为 5, 4）作一直线I，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为 4 k（x 5）,交x轴于点（5,0），交y轴于点（0,5 k 4）, k S 1 2 -5 k 5k 4 5, 40 得 25k2 30 k 16 0 2 ，或 25k 解得k -,或 k 8 2x 5 5 【例】直线y 灵 x 1和x轴, 16 25k k 10 50k 160 5y 100,或 8x 5

15、y 200 为所求。 y轴分别交于点 代B，在线段AB为边在第一象限内作等边 ABC , 如果在第一象限内有一点 1 P（m,丄）使得 ABP和厶ABC的面积相等，求 2 m的值。 解：由已知可得直线 CP/AB , 设CP的方程为y 3 x c ( C 3 1) 2 1 乜.3,c 【例】 3,m 已知点A（1,1）, 5,3 2 B（2, 2），点P在直线 ix 上，求 |PA2 PB 2 取得最小值时P点的坐标。 解：设 P（2t,t），则 PA 当t盘时,|PA2 PB 2 (2t 1)2 (t 1)2(2t2)2 (t 2)210t2 14t 10 PB取得最小值, P(兀) 2 【

16、例】求函数f(x)x2 2x 2x2 4x 8的最小值。 解：f(x)(x1)2(01)2, (x2)2(02)2可看作点(x,0)到点(1,1)和点(2,2)的距离之和，作 点(1,1)关于 x 轴对称的点(1, 1) f (x) min 1232,10 【例】在厶ABC中，已知BC边上的高所在直线的方程为x - 2y+1=0 ,Z A的平分线所在直线的方程为 解：点A为y=0与x - 2y+1=0两直线的交点, BC方程，解出C点坐标逐步解答. 点A的坐标为(-1, 0) 2-0 1- c-n =1 4 又/ A的平分线所在直线的方程是y=0 ,kAC= - 1 直线AC的方程是y= -

17、x - 1. 而 BC 与 x - 2y+1=0 垂直，kBC= - 2.直线 BC 的方程是 y-2= - 2 (x - 1). 由 y= - x - 1 , y= - 2x+4 , 解得 C (5, - 6) 考点：直线的点斜式方程。本题可以借助图形帮助理解题意，将条件逐一转化求解 【例】直线I过点P (2, 1)，且分别与 x , y轴的正半轴于 A , B两点，O为原点. (1)求厶AOB面积最小值时I的方程; (2) |PA|?|PB取最小值时I的方程. 分析：(1)设AB方程为 =,点 P ( 2, 1)代入后应用基本不等式求出ab的最小值，即得三角形 OAB面积面积的最小值.(2

18、)设直线l 使用基本不等式，求出最小值，注意检验等号成立条件. 的点斜式方程，求出 A , B两点的坐标，代入|PA|?|PB的解析式, 解：(1 )设 A (a, 0)、B (0, b ), a0, b0, AB 方程为 色司，点P (2, 1)代入得 a b ab8 (当且仅当a=4, b=2时，等号成立)， 故三角形OAB面积S=-ab4此时直线方程为: 沖，即 x+2y - 4=. (2)设直线I : y-仁k (x -2)，分别令 y=0, x=0,得 A (2-* ,0), B (0, 1 - 2k). 则|PA|?|PB|=(肝业刁(1+A)= 844 (/ 当且仅当k2=1，即

19、k= 1时，|PA|?|PB取最小值, 又:k v 0,二 k= - 1，这时I的方程为x+y - 3=0. 考点：本题考查直线在坐标轴上的截距的定义，直线的截距式方程，以及基本不等式的应用. 【例】求倾斜角是直线y=- 3x+ 1的倾斜角的丁，且分别满足下列条件的直线方程： 解: (1)经过点(.3 1); (2)在y轴上的截距是一5. 直线的方程为y= /3x+ 1, k= 3,倾斜角a= 120, 由题知所求直线的倾斜角为30,即斜率为 耆. 3 (1) 直线经过点(J3, 1)，所求直线方程为y+ 1 = 33(x ; 3),即.3x 3y 6 = 0. 直线在y轴上的截距为5,二由斜截式知所求直线方程为y=Wx 5,即.3x 3y 15 = 0. 需要更多的高考数学复习资料 请在淘宝上搜.索宝贝：高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答) 或者搜店铺.:龙奇迹【学习资料网】 【例】已知直线I: kx- y+ 1 + 2k= 0 证明：直线I过定点； (2)若直线I交x负半轴于A,交y正半轴于B,A AOB的面积为S,试求S的最小值并求出此时直线 I 的方程。 解： 证明：由已知得 k(x+ 2) + (1- y) = 0,无论k取何值，直线过定点(一2,1)。 一 1 (2)令y= 0得A点坐标为(一2 匚，0)， 令