10-2振动自由度

1、振动：通过中心位置做往复运动振动：通过中心位置做往复运动 强迫振动：强迫振动：在振动过程中，还不断受到外部在振动过程中，还不断受到外部 干扰力作用。干扰力作用。 10.2 自由振动：自由振动：结构受到外部因素干扰发生振动，结构受到外部因素干扰发生振动， 而在以后的振动过程中不再受外部而在以后的振动过程中不再受外部 干扰力作用。干扰力作用。 y(x,t) EI L _ mxm 多自由度体系多自由度体系 EI L 1 m ty1 2 m2 m _ 1 2 m L m _ 2 4 L mm _ 321 4 m L mmm _ 4 8 L mm EI L 2 m 3 m 1 m ty1 ty2 ty3

2、 4 m 4 m 1 y 2 y 1 y 1 y 2 y EI 。 小小 结结 一、运动微分方程定义一、运动微分方程定义 为了研究结构质量的运动规律，以质点的动力位移作为了研究结构质量的运动规律，以质点的动力位移作 为基本未知量，列出描述动力位移的数学方程，为基本未知量，列出描述动力位移的数学方程，称为称为 结构的运动方程。结构的运动方程。 达朗伯（达朗伯（dAlembert)原理原理 质点在运动的任一瞬时，作用在质点上的质点在运动的任一瞬时，作用在质点上的 力（包括荷载、约束力和惯性力）相平衡。力（包括荷载、约束力和惯性力）相平衡。 即：即： 基本方法基本方法 0 I FNF 内涵：将动力学

3、问题转化为静力学问题内涵：将动力学问题转化为静力学问题动静法动静法 将惯性力假想地加在振动体系的质点上，在运动的将惯性力假想地加在振动体系的质点上，在运动的 每一瞬时，作用于体系上的所有力构成平衡力系，利每一瞬时，作用于体系上的所有力构成平衡力系，利 用列静力平衡方程的方法建立运动方程。用列静力平衡方程的方法建立运动方程。 说说 明明 惯性力不是真正作用在质点上的力，因而体系不处惯性力不是真正作用在质点上的力，因而体系不处 于平衡状态于平衡状态 动静法只是在形式上把动力问题转化为静力问题来动静法只是在形式上把动力问题转化为静力问题来 处理，简化了列运动方程的方法，它没有也不可能把处理，简化了列

4、运动方程的方法，它没有也不可能把 动力问题真正转化为静力问题。动力问题真正转化为静力问题。 引起自由振动的原因：受到初始时刻的干扰：引起自由振动的原因：受到初始时刻的干扰： 、两者都是 、初始速度 、初始位移 3 2 1 0 0 y y 如图所示，若拉离平衡位置，突然放松，即为初始位如图所示，若拉离平衡位置，突然放松，即为初始位 移移y0引起的自由振动；若对质点施加瞬时冲击作用，引起的自由振动；若对质点施加瞬时冲击作用， 在极短时间内使其获得一定的初速度，当它来不及发在极短时间内使其获得一定的初速度，当它来不及发 生显著位移时，外力又突然消失，即为初速度引起的生显著位移时，外力又突然消失，即为

5、初速度引起的 自由振动。自由振动。 一、运动微分方程的建立一、运动微分方程的建立 （一）动力平衡方程法（刚度法）（一）动力平衡方程法（刚度法） 如右图所示悬臂立柱顶如右图所示悬臂立柱顶 部一重物质量为部一重物质量为m ,设设 柱本身质量远小于重物，柱本身质量远小于重物， 可以忽略不计，但有弯可以忽略不计，但有弯 曲刚度，属于单自由度曲刚度，属于单自由度 体系。体系。 y m k 建立运动方程时考虑质点所受的力有：建立运动方程时考虑质点所受的力有： （1）弹性恢复力弹性恢复力 k为刚度系数，使质量沿其运动方向产生单位位移时，弹簧（结构）为刚度系数，使质量沿其运动方向产生单位位移时，弹簧（结构）

6、所产生的弹性恢复力。所产生的弹性恢复力。 kytFS)( )()(tymtFI 0)()(tFtF SI （2）惯性力惯性力 ,方向与加速度方向相反方向与加速度方向相反,与位移方向相同。与位移方向相同。 )(tFS )(tFI 0)(kyty m ,方向与位移指向相反。方向与位移指向相反。 y m k y y m 刚度法：以运动质量或整个体系为研究对象，刚度法：以运动质量或整个体系为研究对象， 使用刚度使用刚度 系数，从力系平衡角度建立自由振动微分方程的方法。系数，从力系平衡角度建立自由振动微分方程的方法。 有时（如超静定结构）可以设置附加链杆，按静力学中有时（如超静定结构）可以设置附加链杆，

7、按静力学中 位移法的步骤列动平衡方程。位移法的步骤列动平衡方程。 为柔度系数，为柔度系数， 即单位力在质即单位力在质 点运动方向所点运动方向所 产生的位移。产生的位移。 )()(tymtFI （2）惯性力惯性力,方向与加速度方向相反方向与加速度方向相反,与位移方向相同。与位移方向相同。 ( )() I yF tmy 由叠加原理得 思路：质量思路：质量m在运动过程中任一时刻的位移等于在当时惯性力在运动过程中任一时刻的位移等于在当时惯性力 和荷载作用和荷载作用 下的振动方向上的静力位移。下的振动方向上的静力位移。 y m k y y m 柔度法：以结构整体为研究对象，在任一时刻，利用柔柔度法：以结

8、构整体为研究对象，在任一时刻，利用柔 度系数，求出将作用在结构上的力（惯性力、动荷载等）度系数，求出将作用在结构上的力（惯性力、动荷载等） 作为静力荷载所产生的位移，与作为静力荷载所产生的位移，与 质点的位移相协调。质点的位移相协调。 （二）位移方程法（柔度法）二）位移方程法（柔度法） 的关系？与k )(tFI EIl )(tP )(ty m =1 11 )(tP)(ty m )()( 11 tymtP )()()( 11 tymtPty 3 11 3 l EI 其中 l )()( 3 )( 3 tPty l EI tym 柔度法步骤：柔度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；在质量上沿位移

9、正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移；求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。令该位移等于体系位移。 )(ty 柔度法柔度法 柔度法步骤：柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性；在质量上沿位移正向加惯性；2求外力和惯性力引起的位移；求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。令该位移等于体系位移。 三、列运动方程例题三、列运动方程例题- -柔度法柔度法 EI l 3 2 3 11 )()( 2 3 )( 3 tPty l EI tym 例例1.1. EI l )(tP EI l )(ty )(ty )(ty m )(tP 11 =1 l EI l 3 2 3

10、 11 111 ( )( ) P y tmy t 例例2.2. )(ty )(ty )(ty m )(tP 11 =1 l EI l )(tP EI l/2l/2 P1 P(t) EI Pl P 16 3 1 Pl/4 33 2 ( )( ) 316 ll my tP t EIEI 刚度法刚度法 刚度法的三种形式：刚度法的三种形式： 切开切开切取质点为隔离体。 整体整体考虑结构整体平衡。 添加添加添加附加约束。 方法一：取质点为隔离体，列动力平衡方程方法一：取质点为隔离体，列动力平衡方程 EIl )(ty )(tP )(ty m )(tFS )(tFI )(tP 0)()()( 11 tPty

11、mtyk 3 11 3 l EI k )()( 3 )( 3 tPty l EI tym 刚度法刚度法 EIl )(ty )(tP )(ty m 3 11 3 l EI k )()( 3 )( 3 tPty l EI tym EI 11 ( )k y t )()()( 11 tymtPtyk 方法二：方法二：以整体为研究对象，发生位移以整体为研究对象，发生位移y所需施加之力等于所需施加之力等于 全部外力（包括惯性力和阻尼力）即使用静力投影方程。全部外力（包括惯性力和阻尼力）即使用静力投影方程。 对于多质点，且包含弹性支座的体系（弹性反力可求），对于多质点，且包含弹性支座的体系（弹性反力可求），

12、 可列力矩方程以此建立运动方程。可列力矩方程以此建立运动方程。 11 22 () () （惯性力指向与质量运动方向一致） I I Fm a Fm l () BB Fkb 0 A M 222 12 0 B m am lk b 222 12 ()0 B m am lk b 如图所示为单自由度体系， 反力的指向与弹簧伸缩方向相反 整理后得运动方程为 方法三：添加附加约束。其概念与位移法相似，仅在外力中须引入惯性力，方法三：添加附加约束。其概念与位移法相似，仅在外力中须引入惯性力， 同时所有反力均假设为正。考虑到在真正的动平衡位置上体系必然同时所有反力均假设为正。考虑到在真正的动平衡位置上体系必然 恢

13、复自然的运动状态，因而附加约束反力恢复自然的运动状态，因而附加约束反力R应等于零。应等于零。 EIl )(ty )(tP P R 1 )(tP )(ty m （a)仅由仅由y引起的支反力引起的支反力 11 ( )k y t )(ty 3 ( )iy t l （b)由外力引起的支反力由外力引起的支反力 0)( 111 P Rtyk 3 11 3 l EI k )()( 1 tymtPR P )()()( 11 tymtPtyk )()( 3 )( 3 tPty l EI tym )(ty )(tP )(ty m 三、列运动方程例题三、列运动方程例题- -刚度法刚度法 例例3.3. )(ty m

14、3 11 /24lEIk EI l )(tP EI l 1 EI )(ty )(tP 11 k 1 3 /12lEI 11 k 3 /12lEI )()()( 11 tymtPtyk )()( 24 )( 3 tPty l EI tym 例例4.4. EI l/2 )(tP EI 1 EI l/2 )(ty )(tP )(ty m )(ty )(tP )(ty m )(tR 0)(tR 11 k 1 )(tP )(ty m )( 1 tR P 0)()( 111 tRtyk P 3 11 /24lEIk 2/ 1 PymR P 建立运动微分方程小结：建立运动微分方程小结： 1）判断动力自由度数

15、目，标出质量未知位移正向。判断动力自由度数目，标出质量未知位移正向。 2）沿所设位移正向加惯性力、阻尼力和弹性恢复力，沿所设位移正向加惯性力、阻尼力和弹性恢复力，注意三注意三 者计算中与位移的方向。者计算中与位移的方向。 3）根据柔度系数及刚度系数求解的方便，确定建立方程的方根据柔度系数及刚度系数求解的方便，确定建立方程的方 法。法。对于单自由度体系，两者难易相同，互为倒数；对于对于单自由度体系，两者难易相同，互为倒数；对于 多自由度体系，若是静定结构，一般情况下柔度系数易求，多自由度体系，若是静定结构，一般情况下柔度系数易求， 而对于超静定结构，就要根据情况具体判断。而对于超静定结构，就要根

16、据情况具体判断。 4）刚度方程几种写法的选择：刚度方程几种写法的选择： （a）当结构作用于质点的反力即弹性恢复力易求时，宜）当结构作用于质点的反力即弹性恢复力易求时，宜 以质点为脱离体建立方程（方法一）；否则以结构为对象以质点为脱离体建立方程（方法一）；否则以结构为对象 列方程（方法二）。列方程（方法二）。 （b） 当以上方法有困难时，选择方法三列方程。当以上方法有困难时，选择方法三列方程。 列运动方程时可不考虑重力影响列运动方程时可不考虑重力影响 思考题思考题 EI l 48 3 11 )()( 48 )( 3 tPty l EI tym )(tP EI l/2l/2 W )(ty st )

17、(ty -P(t)-P(t)引起的动位移引起的动位移 st -重力引起的位移重力引起的位移 质点的总位移为质点的总位移为 st tytY)()( 加速度为加速度为 )()(tytY )(ty m 1 11 )()()( 11 tymWtPty st 11 W st )()()( 11 tymtPty 重力对建立运动方程是否有影响？重力对建立运动方程是否有影响？ 单自由度体系无阻尼自由振动的运动微分方程：单自由度体系无阻尼自由振动的运动微分方程：0)()( 2 tyty tCtCtycossin)( 21 它是二阶常系数线性齐次微分方程，其通解为：它是二阶常系数线性齐次微分方程，其通解为： 常数

18、常数C1，C2由初始条件确定由初始条件确定 vy yy )0( )0( v C yC 1 2 设设 t=0 质点位移方程：质点位移方程： t v tyty sincos)( （一）单自由度体系自由振动微分方程的解一）单自由度体系自由振动微分方程的解 y m k 可知，单自由度体系自由振动是复合简谐振动，由两部分组成：一部分是由可知，单自由度体系自由振动是复合简谐振动，由两部分组成：一部分是由 初始位移初始位移 y 引起，按余弦规律振动；另一部分是初始速度引起，按余弦规律振动；另一部分是初始速度 v 引起，按正弦引起，按正弦 规律振动。规律振动。 令令 sincos v yAA ( )sin()

19、y tAt 可得：可得： 表示合成运动仍为简谐运动表示合成运动仍为简谐运动 v y tg v yA 1 2 2 振幅振幅 初相位初相位 y -y T y 0 t T v v y t0 y t T 0 -A A t 物理意义物理意义、 （二）自振周期与频率（二）自振周期与频率 由运动方程可知自由振动是简谐周期运动由运动方程可知自由振动是简谐周期运动 周期周期 2 T st g W g mm k 1 EI mh T 3 2 2 3 自振频率自振频率 1）结构的周期、频率只与结构自身的质量、刚度（柔度）系数有关，与外）结构的周期、频率只与结构自身的质量、刚度（柔度）系数有关，与外 因无关，是结构自身

20、的固有的特性，称为固有周期、固有频率；因无关，是结构自身的固有的特性，称为固有周期、固有频率； 2）结构的频率与质量的平方根成反比，与结构刚度系数的平方根成正比；）结构的频率与质量的平方根成反比，与结构刚度系数的平方根成正比； 3）结构的固有周期和频率是结构动力性能的重要标志。）结构的固有周期和频率是结构动力性能的重要标志。 例例1 计算结构的频率和周期（计算结构的频率和周期（EI为常数）为常数） f m h h EI h f 3 3 3 3 mh EI m k ) 2 () 2 (sin)2sin()sin()( tytAtAtAty 例例2 计算结构的频率和周期计算结构的频率和周期 m E

21、IEI h 11 3 12 h EI 3 12 h EI k3 24 h EI k 3 24 mh EI m k EI mh T 24 2 2 3 （三）质点的振动规律（三）质点的振动规律 质点的位移、速度、加速度和惯性力分别为：质点的位移、速度、加速度和惯性力分别为： )sin()(tAty )sin()()( 2 tmAtymtI )()sin()( 22 tytAty )cos()(tAt y (1)当体系处在平衡位置时，加速当体系处在平衡位置时，加速 度及惯性力为零，而速度最大度及惯性力为零，而速度最大 ,0)(t y ,0)(tI ,)( max Aty Aty)( max 2 ma

22、x )(mAtI 2 max )(Aty 达到振幅位置时，速度为零，达到振幅位置时，速度为零， 而位移、加速度及惯性力同时而位移、加速度及惯性力同时 达到最大达到最大 （2）位移、加速度和惯性力同步变化，利用这一性质，可在质点振幅位置）位移、加速度和惯性力同步变化，利用这一性质，可在质点振幅位置 建立运动方程，所得运动方程是代数方程而不是微分方程建立运动方程，所得运动方程是代数方程而不是微分方程 （3）弹性力指向永与位移方向相反，而惯性力永与位移方向相同）弹性力指向永与位移方向相反，而惯性力永与位移方向相同 幅值方程法幅值方程法 对于多个质点的单自由度体系，且各质点的运对于多个质点的单自由度体

23、系，且各质点的运 动方向不共线，或体系有分布质量时，不能用上动方向不共线，或体系有分布质量时，不能用上 述公式计算，可以用幅值方程法或能量法求解，述公式计算，可以用幅值方程法或能量法求解， 具有分布质量时可以先建立运动方程，再求解进具有分布质量时可以先建立运动方程，再求解进 而得到自振频率。而得到自振频率。 根据位移、加速度和惯性力同步变化的特性，可在质根据位移、加速度和惯性力同步变化的特性，可在质 点振幅位置建立平衡方程，即将惯性力的幅值作用在质点振幅位置建立平衡方程，即将惯性力的幅值作用在质 点上，用刚度法建立动平衡方程。对于静定结构是直接点上，用刚度法建立动平衡方程。对于静定结构是直接

24、应用力矩平衡条件得到，对于超静定结构，以质点位移应用力矩平衡条件得到，对于超静定结构，以质点位移 为基本未知量，用位移法列幅值方程。幅值方程不包含为基本未知量，用位移法列幅值方程。幅值方程不包含 时间时间t t，是一包含，是一包含 的代数方程。的代数方程。 适用条件适用条件 方法方法 例：例： 求图示梁频率求图示梁频率 1 A 0 1 I 2 A 0 2 I 此梁为一个自由度体系，振动达到幅值时，两质点的振幅为此梁为一个自由度体系，振动达到幅值时，两质点的振幅为 A1 A2,惯性力幅值为惯性力幅值为 2 22 0 2 2 11 0 1 ,AmIAmI aAaA3, 21 ka2 由平衡方程由平

25、衡方程 0 A M 1 m 2 m EI= 2aaa k A B AB 04)3( 2 21 kmm 即即 21 3 4 mm k 例例2： 求图示梁频率求图示梁频率 3 3 EI k l l 32 33 () QC EIEI Fk ll ll 0 B M 2 123 ()()0 23 lEI mllmlll l 3 2 3 0 3 mlEI ml l /mm l 3 9 0 4 EI ml 2 0 y y 2 33 93 ,= 42 所以 EIEI mlml 取AC段考察，如图d所示， 由图e可知，刚度系数 又由图f可知，当C点发生位移 该截面的剪力 再取梁CB段为隔离体图d所示，由 ,列动

26、力平衡方程，得 即 已知 代入上式中得 对比 设单自由度体系在质点上作用简谐荷载为：设单自由度体系在质点上作用简谐荷载为： tFtPsin)( 扰力幅值扰力幅值荷载频率荷载频率 振动微分方程：振动微分方程： t m F tytysin)()( 2 体系在振动过程中有动力荷载体系在振动过程中有动力荷载P(t) 干扰作用时，其振动称为干扰作用时，其振动称为受迫（或强迫）受迫（或强迫） 振动。振动。 由质点的平衡可得：由质点的平衡可得： )()()(tPtkytym 一、运动微分方程一、运动微分方程 )(tP y m k )(tFI )(tFS )(tP （一）质点的位移方程（一）质点的位移方程 齐

27、次解：齐次解：tCtCtysincos)( 211 特解：特解：tAtysin)( 将特解及其二阶导数代入振动微分方程中可确定：将特解及其二阶导数代入振动微分方程中可确定： )1 ( 22 m F A 频比，扰力频率与自振频率比频比，扰力频率与自振频率比 质点位移方程为齐质点位移方程为齐 次解和特解之和：次解和特解之和： t m F tCtCty sin 1 1 sincos)( 22 21 设零初始条件，即设零初始条件，即0)0(, 0)0(yy , 0t )1 ( 0 22 2 1 m F C C 最后最后)sin(sin 1 1 )( 22 tt m F ty 质点的位移方程质点的位移方

28、程 由上式可以看出，振动是由两部分合成的；式右第一项是按荷载频率由上式可以看出，振动是由两部分合成的；式右第一项是按荷载频率的振的振 动。第二项是按自振频率动。第二项是按自振频率的振动。后一部分是由荷载作用引起的称为伴生的振动。后一部分是由荷载作用引起的称为伴生 自由振动。实际上由于存在阻尼，伴生自由振动在短时间内即行消失，最后自由振动。实际上由于存在阻尼，伴生自由振动在短时间内即行消失，最后 剩下的仅按荷载频率变化的振动，称为纯强迫振动。在振动开始两种振动共剩下的仅按荷载频率变化的振动，称为纯强迫振动。在振动开始两种振动共 存阶段，称作过渡阶段，以后的纯强迫振动称为平稳阶段或稳态强迫震动。存

29、阶段，称作过渡阶段，以后的纯强迫振动称为平稳阶段或稳态强迫震动。 （二）稳态强迫振动的动力反应（二）稳态强迫振动的动力反应 质点的位移方程：质点的位移方程：t m F ty sin 1 1 )( 22 振动频率和荷载频率振动频率和荷载频率 相同，二者完全同步相同，二者完全同步 振幅振幅 st y m F A 22 1 1 F m F y st 22 1 1 动力系数动力系数扰力幅值产扰力幅值产 生的静位移生的静位移 动力系数：最大动力位移与相应静力位移的比值，是衡量动力反应大小的重要指标动力系数：最大动力位移与相应静力位移的比值，是衡量动力反应大小的重要指标 1 0 2 3 123 当当 0时

30、时, 1，荷载变化得很慢，可当荷载变化得很慢，可当 作静荷载处理作静荷载处理 当当0 1，并且随并且随的增大而增大的增大而增大 当当 =1时时, = 。即当荷载频率接近于自即当荷载频率接近于自 振频率时，振幅会无限增大。称为振频率时，振幅会无限增大。称为“共振共振” 当当 1时时, 为负值，质点的位移和扰力的为负值，质点的位移和扰力的 指向相反指向相反,的绝对值随的绝对值随的增大而减小，的增大而减小， （三）计算步骤（三）计算步骤 2 (/ min) 60 n nr 表示转速 1k mm 22 1 1 （1）自振频率自振频率 （2）干扰频率干扰频率 （3）动力系数动力系数 （4）动位移幅值动位

31、移幅值 1）求最大）求最大“静静”位移位移 2）求动位移幅值）求动位移幅值 （5）最大位移）最大位移 1111 2 / st F yFF k m 11 () st AyF 动 maxst A 动静 动荷载不作用于质点时的最大动位移的计算动荷载不作用于质点时的最大动位移的计算 1 11 P E PP tPsin )(ty 111 ( )sin() P y tPtm y )(ty m tPsin 1P =1 11 =1 1 1111 1 ( )( )sin P m y ty tPt 令令 11 1 ( )( )sin E my ty tPt 2 ( )sin E P y tt m 11 2 E E

32、 P AP m 1 11 11 P P 1P P st y st y P 仍是质点位移动力系数仍是质点位移动力系数 运动方程运动方程 稳态解稳态解 振幅振幅 E P 等效动力荷载幅值 例例1： 图示简支梁跨中有一集中质量图示简支梁跨中有一集中质量m，支座，支座A处受动力矩处受动力矩Msint t 作用，求质点的作用，求质点的 动位移和动位移和A的动转角的幅值。的动转角的幅值。 解：解：体系的动力荷载体系的动力荷载Msint 不是作用在不是作用在 质点，也可直接建立体系的振动方程来质点，也可直接建立体系的振动方程来 求解。求解。 EI l/2l/2 m Msint BA 1 1 1 M1 M2

33、1）设惯性力和动力荷载分别为单位力）设惯性力和动力荷载分别为单位力 和单位力偶作用在体系上，并作出相应和单位力偶作用在体系上，并作出相应 的弯矩图的弯矩图 M1M2l/4 2）质点的动位移是惯性力）质点的动位移是惯性力 I (t) 和动力荷和动力荷 载共同作用下产生的，按叠加原理表示为载共同作用下产生的，按叠加原理表示为 EI l ff EI l f EI l f 16 ; 3 ; 48 2 211222 3 11 tMftIftysin)()( 1211 tMftymfsin)( 1211 将柔度系数代入上式，并整理得将柔度系数代入上式，并整理得 t m P tytysin)()( 2 3

34、2 48 ml EI 式中：式中： 自振频率自振频率 l M M f f P 3 11 12 等效荷等效荷 载幅值载幅值 运用图乘法可得：运用图乘法可得： 由质点位移方程可得，受迫振动的稳态解为：由质点位移方程可得，受迫振动的稳态解为： t m P ty sin 1 1 )( 22 t EI Ml sin 16 2 3) 支座支座A 处的动转角也是由惯性力处的动转角也是由惯性力I (t)和动力荷载共同作用下产生的，按叠加和动力荷载共同作用下产生的，按叠加 原理表示为：原理表示为： tMftIft A sin)()( 2221 tMftymfsin)( 2221 将将y(t)求二阶导数代入上式，

35、可得：求二阶导数代入上式，可得：tMfPft A sin)()( 22 2 2 21 将柔度系数和将柔度系数和 代入可得：代入可得： l M P 3 质点的动位移幅值为质点的动位移幅值为其中其中 为动荷载为动荷载 幅值幅值M所引起的质点静位移所引起的质点静位移yjp, 为动力系数。为动力系数。 EI Ml 16 2 EI Ml 16 2 t EI Ml t A sin1 1 16 9 3 )( 2 2 2 2 t EI Ml sin 1 16 7 1 3 2 2 t EI Ml sin 3 支座处动转角幅值为支座处动转角幅值为其中其中 为动荷载为动荷载 幅值幅值M所引起的静转角，所引起的静转角

36、， 为动力系数。为动力系数。 EI Ml 3 2 EI Ml 3 上例表明，动荷载不作用上例表明，动荷载不作用 在质量上时，质点的位移在质量上时，质点的位移 的动力系数和支座处动转的动力系数和支座处动转 角的动力系数是不同的，角的动力系数是不同的， 即体系不能用统一的动力即体系不能用统一的动力 系数表示系数表示 （三）计算步骤（三）计算步骤 （6）最大内力）最大内力 max,maxdst MMMMM 动静 方法一：动力系数法方法一：动力系数法 F 仅当仅当P(t）直接作用在质点上时，将）直接作用在质点上时，将 作为静力作用在体系上，作为静力作用在体系上， 按静力法计算。按静力法计算。(见见a图

37、）图） max y W F （a)动力系数法动力系数法 求最大内力的两种方法求最大内力的两种方法 y 2 Im ax FmA （b)幅值法幅值法( 为正） W (F 为正值） （c)幅值法幅值法( 为负） 2 Im ax FmA y W (F 为负值） 方法二：幅值法方法二：幅值法 由达朗伯原理，把位移达到最大值时，所有力的幅值加上去。由达朗伯原理，把位移达到最大值时，所有力的幅值加上去。 1）当）当 为正时，为正时，F沿质点位移方向一致施加沿质点位移方向一致施加 (见见b图）图） 2）当）当 为负时，为负时，F沿质点位移方向反向施加沿质点位移方向反向施加(见见c图）图） max y W F

38、（a)动力系数法动力系数法 求最大内力的两种方法求最大内力的两种方法 2 Im ax FmA （b)幅值法幅值法( 为正） y W (F 为正值） （c)幅值法幅值法( 为负） 2 Im ax FmA y W (F 为负值） 方法一：动力系数法方法一：动力系数法 （1）单自由度体系）单自由度体系 （2）受简谐荷载作用）受简谐荷载作用 （3）荷载位于质点上）荷载位于质点上 022 2 22 2 2 2 1 1 1 1 st FIFmAFmy F Fm m FF 证明： 体系满足上述的条件时，两种方法得出相同的结果体系满足上述的条件时，两种方法得出相同的结果 1）当）当 为正时，为正时，F与质点位

39、移方向一致与质点位移方向一致 ( )FF 2）当）当 为负时，为负时，F与质点位移方向相反与质点位移方向相反 ( )FF 由此可见，当采用动力系数法求由此可见，当采用动力系数法求 结构的最大动力反应时，无论结构的最大动力反应时，无论 正负，均可用乘以动力系数的扰正负，均可用乘以动力系数的扰 力幅值代替扰力幅值力幅值代替扰力幅值F与惯性力与惯性力 幅值幅值 作用，用静力方法计算。作用，用静力方法计算。 0 I 例例1 1 求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移 已知已知: : ./500,10,35 ,210,108 .8,4 45 分转 nkNPkNQ GPaEm

40、Iml 解解. . 1 11 1/62.3 Q mgs m10722.0 3 11 Py st 22 1 3.4 1/ 3 2.4510m st Ay tPsin Q /2/2 重力引起的弯矩重力引起的弯矩 1 35kN 4 st MQl 重力引起的位移重力引起的位移 3 11 2.53 10m st Q 1 11 /4 m/N10722.0 48 7 3 11 EI l S/13 .5260/2n 振幅振幅 动弯矩幅值动弯矩幅值 1 ()34kN.m 4 D MP l 跨中最大弯矩跨中最大弯矩 max 69kN.m stD MMM 跨中最大位移跨中最大位移 3 max 4.98 10m st

41、 fA 例例2：已知：已知m=300kg，EI=90105N.m2 ,k=48EI/l3 ,P=20kN,=80s-1 ，求梁中点的，求梁中点的 位移幅值及最大动力弯矩。位移幅值及最大动力弯矩。 l/2 EI l/2 tPsin m 解：解：1)求求 333 5 48192192 lll EIEIEI 1 3 1192 134.16 5 EI s mml 2)求求 552. 1 1 1 22 3)求求 ymax， Mmax 333 3 max 5 51.55220 105 4 5.75 10 192192 90 10 l yPPm EI mkNlPM04.31420552. 1 4 1 )(

42、4 1 max 3 1155 222648 PllPl l EIEI 解解: : 5 .0例例: :求图示体系振幅、动弯矩幅值图求图示体系振幅、动弯矩幅值图. .已知已知 tPsin EI l/2l/2 )(ty Am 2 A 22 14 1/3 3 5 36 st Pl Ay EI 1P =1 11 / 2l l 1stP yP 11 22 44 1 A mAmAI P 48 5 PP 48 5 Pl 96 5 Pl 48 29 动弯矩幅值图动弯矩幅值图 解解: : 例例: :求图示体系右端的质点振幅求图示体系右端的质点振幅 0 o M km P A 410 3 2 tPsin l k EI

43、 ll A P 2 mA 2 3 1 mAAk 3 2 o 列幅值方程求解列幅值方程求解 tAtysin)( tAtysin)( 2 tmAtIsin)( 2 tPtPsin)( 同频同步变化同频同步变化 情况情况1：干扰力直接作用在质点上：干扰力直接作用在质点上情况情况2：干扰力不作用在质点上：干扰力不作用在质点上 ( )sin P FtFt 干扰力干扰力 最大最大“静静”位移位移 11st yF 最大动位移最大动位移 11st AyF 最大动内力最大动内力 2 (,) F F mA 动力系数法 或幅值法 1stP yF 11stE yF 1 11 P E FF 111stPE AyFF (

44、 )sin P FtFt ( )sin EE FtFt 2 (,)F mA 幅值法 或列幅值方程求解A c-阻尼系数 )()(tyctR 0 11 ykycym )(ty )(ty m )( 11 tyk )(ty c mc2/ 02 2 yyy t Aety )( 02 22 2 1 )2(1mc 2 1 D )cossin()( 21 tctcety DD t 00 )0(,)0(yyyy 02001 ,/)(ycyyc D )sin()( DD t tAety 2 0 2 0 )( D yy yA 0 11 ykycym )(ty )(ty m )( 11 tyk )(ty c mc2/

45、 02 2 yyy t Aety )( 02 22 )/(tan 000 yyy DD )2(1mc t etccty )()( 21 mcr2 m c c c r 2 )2(1mc 小阻尼情况 临界阻尼情况 超阻尼情况 2 1i )2(1mc 2 1 D )cossin()( 21 tctcety DD t 00 )0(,)0(yyyy 02001 ,/)(ycyyc D )sin()( DD t tAety 2 0 2 0 )( D yy yA )/(tan 000 yyy DD )2(1mc t etccty )()( 21 mcr2 m c c c r 2 )2(1mc 小阻尼情况 临

46、界阻尼情况 超阻尼情况 )sin()( DD t tAety i t 1i t D T t )(ty i A 1i A 2 1 D D D T 2 )sin()( DD t tAety 2 1 D D D T 2 i t 1i t D T t )(ty i A 1i A D Di i T Tt t i i e Ae Ae A A )( 1 D i i T A A 1 ln 2 2 D 1 ln 2 1 i i A A ni i A A n ln 2 1 阻尼比阻尼比 越大，振幅衰减越快；振幅按等比级数递减越大，振幅衰减越快；振幅按等比级数递减 D Di i T Tt t i i e Ae Ae

47、 A A )( 1 D i i T A A 1 ln 2 2 D 1 ln 2 1 i i A A ni i A A n ln 2 1 kN4 .16 0276.0 1 2 ln 42 1 )/(102 .8 02.0 104 .16 5 3 11 mNk 阻尼比阻尼比 越大，振幅衰减越快；振幅按等比级数递减越大，振幅衰减越快；振幅按等比级数递减 kN4 .16 0276.0 1 2 ln 42 1 )/(102 .8 02.0 104 .16 5 3 11 mNk ) s (5 .04/2 D T ) s (4998.01 2 D TT )s/1 (57.12 2 T )kg(5190/ 2

48、 11 km )kN(86.50 mgW )s/mN(36012mc )s/1 (89.136 8005190 102 .8 2 5 2 )s/1 (70.11 )s (537.0/2T 0257.02/mc 由质点的平衡可得：由质点的平衡可得： )()()()(tPtkytyctym m tP tytyty )( )()(2)( 2 或：或： 单自由度体系有单自由度体系有 阻尼强迫振动微阻尼强迫振动微 分方程分方程 )(tP y m k )(tFI )(tFS )(tP )(tFr 二、阻尼对受迫振动的影响二、阻尼对受迫振动的影响 振动微分方程：振动微分方程：t m F tytytysin)

49、()(2)( 2 齐次解：齐次解： 特解：特解： )sincos()( 211 tCtCety rr t tBtBtysincos)( 212 2222 22 2 2222 1 )2()( )2()( 2 m F B m F B 全解：全解：)sincos()sincos()( 2121 tBtBtCtCety rr t cos,sin 21 ABAB )sin()(tAty 2 1 2 222 1 2 )2()1 ( 1 tg m F A 上式右第一大项是按自振频率上式右第一大项是按自振频率r r的振动，由于存在阻尼，这部分很快消失。余下的的振动，由于存在阻尼，这部分很快消失。余下的 第二大

50、项是按扰力频率第二大项是按扰力频率的纯强迫振动的纯强迫振动 纯强迫振动位移方程：纯强迫振动位移方程：tBtBtysincos)( 21 如令如令 频率比：频率比： 222 )2()1 ( 1 动力系数：动力系数： 1） 曲线随阻尼比增大而趋于平缓，曲线随阻尼比增大而趋于平缓， 在在 =1附近附近值降低比较快。值降低比较快。 2）当）当 =1时，有阻尼情况时，有阻尼情况 振幅振幅A可写为：可写为： st yA 12 1 0 2 3 =0.2=0.2 =0.3=0.3 =0.5=0.5 =0=0 =1.0=1.0 阻尼使动力系数减小，动力系数阻尼使动力系数减小，动力系数 与频率比与频率比及阻尼比及

51、阻尼比有关：有关： 此时动力系数为：此时动力系数为： 2 1 而最大动力系数不是在而最大动力系数不是在 =1处，而是处，而是 在在值略小于值略小于1处处 四、在任意动力荷载作用下受迫振动四、在任意动力荷载作用下受迫振动 体系在静止状态突然作用荷载体系在静止状态突然作用荷载P，停留时间，停留时间dt。则瞬时冲。则瞬时冲 量量Pdt引起的振动可视为由初始条件引起的自由振动。引起的振动可视为由初始条件引起的自由振动。 m Pdt dv dt dv mP dt时间内的平均速度：时间内的平均速度： 2 )( 2 dt m P dtvdy 任意动力荷载作用下体系的动力反应，任意动力荷载作用下体系的动力反应

52、， 可用瞬时冲量作用的反应推导。可用瞬时冲量作用的反应推导。 m Pdt dvv 2 )0( 2 1 （一）瞬时冲量的反应（一）瞬时冲量的反应 由动量定理可得：由动量定理可得： t=dt时的速度：时的速度： t=dt的位移：的位移： P P(t) t P dt Pdt 当当 t dt后，体系的振动相当于以后，体系的振动相当于以d v 和和d y为初始条件的自由振动，即取：为初始条件的自由振动，即取： m Pdt vy 00 , 0 由自由振动方程可得由自由振动方程可得t 0时的位移反应：时的位移反应： t m Pdt ty sin)( )(sin )( )( t m dP ty 略去略去 dt

53、 的二阶的二阶 微量的作用微量的作用 上式是在上式是在t=0时的作用瞬时冲量的反应，如果时的作用瞬时冲量的反应，如果在在 t =时作用瞬时冲量时作用瞬时冲量P()d 则有则有t 时的位移反应时的位移反应 ： P(t) t P() d P()d dtP m ty t 0 )(sin)( 1 )( 杜哈梅（杜哈梅（Duhamel）积分）积分 上式为初始处于静止状态的无阻尼单自上式为初始处于静止状态的无阻尼单自 由度体系受任意动力荷载作用下计算质由度体系受任意动力荷载作用下计算质 点位移的一般公式。点位移的一般公式。 考虑阻尼，则考虑阻尼，则 杜哈梅积分为杜哈梅积分为 dteP m ty t r t

54、 r 0 )( )(sin)( 1 )( 初始位移初始位移y0和和 初始速度初始速度v0不不 为零在任意荷为零在任意荷 载作用下的位载作用下的位 移公式移公式: dtP m t v tyty t 0 0 0 )(sin)( 1 sincos)( P(t) t t d P( )d 任意荷载作用可看作一系列连续的瞬时冲量任意荷载作用可看作一系列连续的瞬时冲量P()d所组成。将每个瞬时冲量的所组成。将每个瞬时冲量的 微分反应叠加，可得时刻微分反应叠加，可得时刻 t 的总反应的总反应 （二）任意荷载作用的反应（二）任意荷载作用的反应 例例 单自由度体系在零初始条件下，质点上受到图示的短时突加荷载作用，

55、求质单自由度体系在零初始条件下，质点上受到图示的短时突加荷载作用，求质 点的位移反应。点的位移反应。 P(t) t td P 解：解： 荷载表达式为荷载表达式为 )(tP )0( , 0t )0 ( , d ttP )( , 0 d tt 计算分两个阶段计算分两个阶段 突加荷载位移反应突加荷载位移反应 1）当）当 时，将荷载表达式代入杜哈梅积分，得时，将荷载表达式代入杜哈梅积分，得 d tt 0 dtP m ty t 0 )(sin 1 )( )cos1(t m P )cos1(ty jp jp yty2)( max 2)当当 时，为由位移时，为由位移 和速度和速度 引起的自由振动，由引起的自

56、由振动，由 杜哈梅积分可得杜哈梅积分可得 d tt )( d ty)( d t y dtP m ty d t 0 )(sin 1 )( ttt m P d cos)(cos ) 2 (sin 2 sin2 dd jp t t t y 3）最大反应分析。若将上述两个阶段的位移反应表达式中的频率）最大反应分析。若将上述两个阶段的位移反应表达式中的频率 换以周期来表示则分别为换以周期来表示则分别为 )cos1()(tyty jp )2cos1 ( T t y jp T t y jp 2 sin2 ) 2 ( 2 sinsin2)( dd jp t t TT t yty 2 T td 2 T t 时，

57、最大位移发生在第一阶段。当时，最大位移发生在第一阶段。当 时，有最大时，有最大 位移，动力系数为位移，动力系数为2 2 T td 42 d TT t 时，最大位移发生在第二阶段。当时，最大位移发生在第二阶段。当 时，有最大时，有最大 位移，动力系数为位移，动力系数为 T td sin2 一、运动微分方程一、运动微分方程 （一）位移方程法（柔度法）（一）位移方程法（柔度法） m1 m2 y1(t) y2(t) 在自由振动过程中任意时刻在自由振动过程中任意时刻 t，质量，质量m1、m2 的位移的位移y1(t)、y2(t)可看做体系在当时惯性力可看做体系在当时惯性力 I1、I2作用下的静力位移。作用

58、下的静力位移。 1221111 )()()(ftIftIty 2222112 )()()(ftIftIty 0)()()( 122211111 ftymftymty 0)()()( 222221112 ftymftymty 可得可得两个自由度体系自由振动两个自由度体系自由振动 微分方程微分方程： 1 f 11 f 22f 21 f 12 1 I1 I2 S2 S1 m1 m2 y1(t) y2t) m1 m2 1 1 沿两个自由度方向截取包括相应质量的两个隔离体，各隔离体上作用相应的沿两个自由度方向截取包括相应质量的两个隔离体，各隔离体上作用相应的 弹性力和惯性力，建立平衡方程。从而的振动微分

59、方程弹性力和惯性力，建立平衡方程。从而的振动微分方程 0)()( 11 tStI 0)()( 22 tStI 两个自由度体系自由振动微分方程两个自由度体系自由振动微分方程 （二）动力平衡方程法（刚度法）（二）动力平衡方程法（刚度法） I1 I2 k11 k22 k12 k21 )()()( 2121111 tyktyktS )()()( 2221212 tyktyktS 0)()()( 21211111 tyktykty m 0)()()( 22212122 tyktykty m （一）体系的固有振动（一）体系的固有振动 体系中各质点按同频率、同相位的简谐振动，称为体系中各质点按同频率、同相位

60、的简谐振动，称为固有振动固有振动，又叫同步，又叫同步 振动。其振动频率叫结构的振动。其振动频率叫结构的固有频率固有频率。 n个自由度体系有个自由度体系有n个固有频率。与每个固有频率相应，体系的振动有一个固有频率。与每个固有频率相应，体系的振动有一 定的振动形式，称作结构的定的振动形式，称作结构的固有振型固有振型，又叫，又叫主振型主振型，或简称振型。，或简称振型。 对于两个自由度体系的固有振动，微分方程式的解为：对于两个自由度体系的固有振动，微分方程式的解为： )sin()( )sin()( 22 11 tAty tAty 将上式代入两个自由度体系的振动微分方程中，可得：将上式代入两个自由度体系