考研数学春季基础班线性代数辅导讲义汤家凤

1、2013考研数学春季基础班线性代数辅导讲义- 主讲：汤家凤 第一讲 行列式 一、基本概念 i,ji?j(i,j)为一对逆序。 定义1 逆序设是一对不等的正整数，若，则称ii?i1,2,?,n的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序定义2 逆序数设是n12?(ii?i)，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。 数，记为n12 aaa?11112naaa?2122n2n?D 称为阶行列式，规定行列式称定义3 ?aaa?nnn2n1?)jj(j?aa?a(?1)D?。 n21nj2jj1n12jjj?n21 aaa?n12111aaa?21222n?Dai余子式与代数余子

2、式把行列式所在的4 行元中元素定义ij?aaa?nnn12nn?1n?1n?1j阶行列元素去掉，剩下的行和列元素按照元素原来的排列次序构成的素和i?jM?1)A?(Maa的代数余子式。列式，称为元素的余子式，记为 ，称为元素ijijijijij 二、几个特殊的高阶行列式 00a00a?110a00a0?22?aaa。称为对角行列式，、对角行列式形如1 ?n12?00a00a?nn 0aaa0a?11111n1200aaaa?2222n212、上（下）三角行列式称为上（下）三角行2及?aa0a0a?nnnnnn12 00aaaa?11n11211aa0aa0?2122n222aa?aa?aa?，

3、 。列式，?nn1122nn1122?aaaa00?nnnn21nn1 / 20 OOACAA|A|?|B|?|A|?|?B|A|?|B|?。 3，、OBOBCB 111?aaa?12n?)a,aV(a,n、范得蒙行列式形如4?阶范得蒙行列式，称为n12?n?1n?1n?1aaa?n21 111?aaa?1n2?)a(V(a,a,a)?a? 且。?ji21n?n?i?1?jn?1n?1n?1aaa?n12V(a,a,?,a)?0a,a,a?的充分必要条件是【注解】两两不等。 nn1212三、行列式的计算性质 （一）把行列式转化为特殊行列式的性质 TD?D 。1、行列式与其转置行列式相等，即 、

4、对调两行（或列）行列式改变符号。2 、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。3 行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式为零。推论1 行列式某两行（或列）相同，行列式为零。推论2 行列式某两行（或列）元素对应成比例，行列式为零。推论3、行列式的某行（或列）的每个元素皆为两数之和时，行列式可分解为两个行列式，即4 aaaaaaaaa?11nn111212111112n1?ba?abbaa?bab?ab? 。i1i12i1ii2ininini2i2ini1?aaaaaaaaa?nnn1nn22nnnn2n1nn15、行列式的某行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变，即 aaaa

5、aa?nn1211111121?aaaa?ka?akaa?ka?jnii1in2i22j1ini1jk?为任意常数。 ，其中?aaaaaa?jnjnj12jj2j1?aaaaaa?nnnn12n2n1nn?|?|,4?,|,A|，【例题1】设,且 为4维列向量331212?|?|21,3,?B|A?B|。，求 3122 / 20 213?213。 计算【例题2】用行列式性质15248 212?547?1?3?D。【例题3】计算行列式 7925?214?6 11?a1?111?a11?2?D11?11a)i?n1a?0(? 】计算4【例题，其中。n3i?1?11a1?n（二）行列式降阶的性质 6

6、、行列式等于行列式某行（或列）元素与其对应的代数余子式之积的和，即 DaAaAaA(i1,2,n)?， ini2i2i1in1iDaAaAaA(j1,2,n)?。 nj2jjnj2j1j17、行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）元素的代数余子式之积的和为零。 231?231。【例题1】用行列式按行或列展开的性质计算 248 212?5437?1?M?M?M?MM?M?D。设2） ，求【例题2】（1）；（32222124312375?92214?6 四、行列式的应用克莱姆法则ax?ax?ax?0?n11112n12?ax?ax?ax?0?2112222nnI） （及 对方程组 ?ax?ax?

7、ax?0?n21nnnn12ax?ax?ax?b?1n1121n112?ax?ax?ax?b?2112222nn2II） （ ?ax?ax?ax?b?n2nn11nn2n(II)(I)(II)(II)的导出方程组。其中称为非齐方程组，称为对应的齐次方程组或 3 / 20 baaaabaaa?11n11n1112121211bbaaaaaaa?22222212122222nn?,DD?D,D?其中令，n1?baaabaaaa?nnn2nnnn22n11nnn 称为系数行列式，我们有0D?)(I(I)(I)有无穷多个解）的；有非零解（或者1 只有零解的充分必要条件是定理0D? 充分必要条件是。D0

8、D?i)n2x,(i1,)II(0?D?，且2 有唯一解的充分必要条件是定理时，；当 iD)II( 要么无解，要么有无穷多个解。 矩阵第二讲 一 、基本概念及其运算 （一）基本概念aaa?n12111?aaa?n21222mn)(aA?，行数与列行、矩阵形如称为列的矩阵，记为1?nmij?aaa?mn21mm 数相等的矩阵称为方阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵。O （1）若矩阵中所有元素都为零，该矩阵称为零矩阵，记为。n?mn)A?(aA 为）对，称阶方阵。，若（2nij?m1?E?）称3（? 为单位矩阵。?1?)n2,1aA?()aa(i,j,A?，若4）对称矩阵设（ ，称为对称矩阵。jiij

9、ij?nnaaaaaa?1211112m111n?aaaaaa?2m22221n1222TT?AA?A为，记5）转置矩阵设称，（?aaaaaa?mn1m2nm21mnnA 矩阵的转置矩阵。、同型矩阵及矩阵相等若两个矩阵行数与列数相同，称两个矩阵为同型矩阵，若两个矩2 阵为同型矩阵，且对应元素相同，称两个矩阵相等。nj)aA?(Ai列去掉，余下的元素按照为矩阵，将矩阵行和、伴随矩阵设3中的第n?ijn1?nMa，同时称阶行列式，称为元素原来的元素排列次序构成的的余子式，记为ijijj?iM?A()?1a的代数余子式，这样矩阵中的每一个元素都有自己的代数余子为元素ijijij4 / 20 AAA?

10、111n21?AAA?2n1222?AA ，称为矩阵式，记的伴随矩阵。?AAA?nn21nn（二）矩阵的三则运算 abbaab?1111n12121n1?aabbab?2122nn222122A?B?、矩阵加减法设，则， 1?bbaaab?mnm12mn2m1mma?ba?ba?b?n1121211n111?aba?ba?b?n222122n2122?A。 ?bba?a?ba?mnmnm1mmm122aaakakaka?n1211121111n?kaaaakaka?n212222212n2?kAA?。，则 2、数与矩阵的乘法设?kakakaaaa?mn2mmm2mn1m1 、矩阵与矩阵的乘法：

11、3bbbaaa?12112s111n11?bbbaaa?s2222212n212?A?B 设，则?bbaaab?nsnmn1n1m2m2ccc?s11112?ccc?n?n22122?Cbca?,i?1s2j,m;?1,?,?2, ，其中（）。?kjikij?1?k?ccc?msmm12OAB?O?,A?OB 推不出）【注解】（1。BA?AB ）（2。 （3）矩阵多项式可进行因式分解的充分必要条件是矩阵乘法可交换。22)AB?(A?)(?2BB?3A?AB2BA?AB 若，再如，则2)?6AA?E(?)(3?EAE2A 。 4）方程组的三种形式（ 形式一：基本形式5 / 20 ax?ax?ax

12、?0ax?ax?ax?b?111112n212n12111n1n?ax?ax?ax?x?ax?ax?0ba?2112222nn2222211nn2III） ）与（?ax?ax?ax?0ax?ax?ax?b?mnm2mnmnm111mnm2122III）分别称为齐次与非齐线性方程组。 ）（aaaxb?111n1112?axaab?22212n22,XA?,b?,III）可改写为 、则方程组（记（）?abaax?mnm1m2mn形式二：方程组的矩阵形式 AX?0I）（ ， AX?bII） （ ， aaaxb?11121n11?,X?,?,b?,?，则有令 ?n21?baxaa?mm1nm2mn形式

13、三：方程组的向量形式 ?x?xO?x?I）（ n212n1?xO?x?xII）（ n21n12二、矩阵的两大核心问题矩阵的逆矩阵与矩阵的秩 ax?b(a?0)，其解有如下几种情况 【背景】初中数学问题：对一元一次方程1bb0ax?a?x?。得）当（1时，两边乘以 aaax?b0b?a?0,的解为一切实数。（2）当时，方程 ax?b0?a?0,b无解。 3）当时，方程（AX?b，其解有如下几种情况 矩阵形式的线性方程组解的联想：对线性方程组nnX?BbAX?bEABBA?。阶矩阵，则，使得（1）设，存在为阶矩阵，对方程组 （此种情况产生矩阵的逆阵理论） nnAX?bAX?bEBAA?B方程组（2

14、）为使得阶矩阵，对方程组阶矩阵设，不存在，是否有解？ AX?bn?mn?mA是否有解？是 ，方程组）设（3矩阵，且（后两种情况取决于方程组的未知数个数与方程组约束条件的个数即矩阵的秩） （一）逆矩阵 nBBA?EABAA的逆，使得可逆，阶矩阵，若存在称为1、逆矩阵的定义设，称为?1AB? 。矩阵，记为21?1?nO2E?AA)A,E?(AA 为】设1【例题，求阶矩阵，且。6 / 20 1?kn)A(E?O?AA 阶矩阵，且为，求。【例题2】设 、关于逆矩阵的两个问题2nAA 设阶矩阵，为何时可逆？【问题1】 1?AA ？可逆，如何求【问题2】 若 3、逆阵存在的充分必要条件nAA0|A|? 为

15、可逆的充分必要条件是阶矩阵，则矩阵设定理 。 4、逆阵的求法1?1AA? 。 （1）方法一：伴随矩阵法 |A1?(A|E)初等行变换(E|A)。 （2）初等变换法 5、初等变换法求逆阵的思想体系 第一步，方程组的三种同解变形 （1）对调两个方程； （2）某个方程两边同乘以非零常数； （3）某个方程的倍数加到另一个方程， 以上三种变形称为方程组的三种同解变形。 第二步，矩阵的三种初等行变换 （1）对调矩阵的两行； （2）矩阵的某行乘以非零常数倍； （3）矩阵某行的倍数加到另一行， 以上三种变换称为矩阵的三种初等行变换。 若对矩阵的列进行以上三种变换，称为矩阵的初等列变换，矩阵的初等行变换和初等列

16、变换统称为矩阵的初等变换。 第三步，三个初等矩阵及性质 jjEEEii列对调所得到的矩阵，如1）行或者单位矩阵将列与第的第的第行与第（ij100?001?E。 ?23?010?1EE?1?E|?| ；1）1性质： ）；ijijijjjAEAEAEAAii列对调，即为矩阵）3即列与第行对调，即为矩阵的第的第行与第ijijijAEAA 进行第一种初等行变换，是对进行第一种初等列变换。是对ijcc)(E(cc?0EEii所得到的矩的第行乘以非零常数2（）将的第或列乘以非零常数i7 / 20 100?010?E(?5)。阵，如 ?3?50?0?11?c|?E(c)|)E(c)?E ；2）性质：1 ii

17、iccc)(AcAE(Ec)AAii，即即为矩阵行非零常数列非零常数即为矩阵，的第3）的第iiE(c)AAE(c)AA进行第二种初等列变换。为对为对进行第二种初等行变换， iikkjj)(kEEEii列所得到的矩阵。（3）倍加到第倍加到第列的行或将 第的第行的ij性质： kkjj)AE(kA(k)EAAii列；第列的行的即倍加到第即1） 行，第倍加到第ijij?1)(?k(k)?EE1)|?|E(k 32）。；ijijij 第四步，三个问题nEAA 阶可逆矩阵，是？【问题1】 设可都经过有限次初等行变换化为EO?rn?AA？是否可以经过有限次初等行变换化为 设阶不可逆矩阵，是 【问题2】?OO

18、?EO?rn?AA？阶不可逆矩阵， 【问题3】设是否可以经过有限次初等变换化为是?OO? 第五步，初等变换法求逆阵的理论?1n(A?E)?(E?A)EAA。定理1 设 是，且阶可逆矩阵，则经过有限次初等行变换化为EO?rnn?PAQPAQ。是，使得阶不可逆矩阵，则存在和阶可逆矩阵 定理2设?OO? 6、逆矩阵的性质11?1?11?A)?(AAkA)?(。）2 。（1） k?1?1?1?11?1?1A?B)(ABAA?AA(AA)?，更进一步）3（。 1n112nn?T?1?1T)?)A(A(。（） 4?1?1?11?AOOA?BAOO?。， （5）?1?1?OBOBOABO?i,jBA。 1【

19、例题】设可逆矩阵行对调所得的矩阵为的1?BAB 1（）证明：可逆。 （）求2。8 / 20 ?AO?b?,|B|A,B|A|?anm, 分别为】设。，求阶可逆矩阵，【例题2?OB?2,1BABA 之间的关系。两行对调得矩阵】设可逆阵与的，讨论【例题3aaaaaa?231221131122?,aaa,B?A?aaa 4】设【例题?132321121122?aaaaa?a?aa?a?133131113212333233010100?P?100,P?010，则 （ ） ?21?101001?(A)APP?B(B)APP?B(C)PPA?B(D)PPA?B 1222111211?1?2A?011A?A

20、B?EB。，求5】设，且 【例题?10?0?（二）矩阵的秩 m?nAArrr阶是中任取、矩阵秩的定义设列且元素按原有次序所成的行和矩阵，1AAr?1rr阶子式的阶子式不等于零，阶子式，若而所有中至少有一个行列式，称为（如Ar(A)?rr。的秩，记为果有）皆为零，称 为矩阵AA的秩。 用初等行变换化为阶梯矩阵，阶梯矩阵的非零行数即为矩阵2、矩阵秩的求法将【注解】 m?nr(An)?minm,A矩阵，则。 （1）设为r(A)?0A?O。（2） 的充分必要条件为r(A)?1A?O。 ）的充分必要条件为（3r(A)?2A至少有两行不成比例。（4）的充分必要条件是 ?O,1?T?r(),(aa,a?。（

21、5） ?，则n12?,0O? 3、矩阵秩的性质TTT)r(rA)?(A)AA)AA?r(?r 1）。（TOA?An?mOA?A ，则】设是。矩阵，证明：若1【例题)Ar?)?A(rB(B(?r 2（）。9 / 20 ab?11?TT?,r(A)?2?A?。， ，证明：【例题2】设?ba?nnr(AB)?r(A)?),r(Br(AB)?minr(A。，等价于（3） ?r(AB)?r(B)?（口诀：即矩阵的乘法不会使矩阵的秩升高） m?nn?mr(A),r(B)A,BE?AB。 与】设分别为矩阵，且，求【例题3AB?0BA,r(A)?r(B)?n。，则（4）设，且 sn?n?mA为可逆矩阵，证明其

22、逆矩阵唯一。 【例题4】设2n?A)?r(EAr(AA? ，证明：。【例题5】设)PAQr(AQ?r()?Qr(A)?r(PA)P, ）设为可逆矩阵，则。（5n,r(A)?n?r(A)?1,r(A)?n?1(n?2)。） （6?0,r(A)?n?1?A?)?r(rB?r(A) （7）。?B?T?A,1?r(A)? ，使得8（）存在非零向量。第三讲 向量 一、向量基本概念 nna,a,aa?aa?)(,维1、向量称为个实数所构成的一个数组称为向量，其中n12n21a?1?n?维列向量，构成向量的所有元素皆为零的向量称为零向量。行向量， 称为?a?nn?T?ba)(?,? 2、向量的内积：。ii1

23、?in?T22?(,)|a,?)?|(；） ）注解（1 （2； ii?1?)(k,?)k(,(?)?(,?)(,)k)?(。（）（3 ； 4） n?0?ab?0(,)?，注意零向量与与，即时，称向量5（）当正交，记为ii1i?10 / 20 任何向量正交。 【注解】方程组的向量形式 ?xO?x?x?；齐次线性方程组可以表示为 n1212n?xb?x?x?， 非齐线性方程组可以表示为n1212naaab?11n1112?,b?,?,?。其中 ?n12?baaa?nm2mnm13、线性相关与线性无关 ?O?xx?x，对齐次线性方程组 n2121n?Ox?x?x?xx?x0时成立，即齐次线性方当且仅

24、当（1）n22n211n1?,?程组只有零解，称向量组线性无关； n12?k,k,k,Okkk?成立，即齐次（2）若有不全为零的常数，使得n221n1n21?,?线性方程组有非零解，称线性相关。 n214、向量的线性表示 ?b?x?xx，对非齐线性方程组 n121n2?kk,k,bkkk?成立，即非齐线性方（1）存在一组常数，使得n2121nn21?,?可由程组有解，称线性表示； n21?b?x?xx不可由不能成立，即非齐线性方程组无解，称2）若（n2n121?,?线性表示。 n215、向量组的秩与矩阵的秩的概念 ?,?设组的秩无（1）向量组的极大线性关组与向量为一个向量组，若n21?,?r?

25、1r个子向量组（如果有）线性相中存在个线性无关的子向量组，但任意n12?,r?r个线性无关的子向量组为向量组关，称称为向量的一个极大线性无关组，n12?,?组的秩。 n21注解（1）若一个向量组中含有零向量，则该向量组一定线性相关。 （2）两个向量线性相关的充分必要条件是两个向量成比例。 （3）向量组的极大线性无关组不一定唯一。 11 / 20 ?,B:,A:,?、向量组的等价设6为两个向量组，若 与n12m12?k?k?k?n1n2111211?k?k?k?22112222nn， ?k?k?k?n2m12m1mnm?,B:,:,A?则称向量组线性表示，若两个向量组可以相可由向量组n12m21

26、互线性表示，称两个向量组等价。 二、向量的性质 （一）向量组的相关性与线性表示的性质 ?,?、若1线性相关，则其中至少有一个向量可由其余向量线性表出。 n21?,?,?、设2线性表出，可由线性无关，而线性相关，则n212121nn且表示方法唯一。 3、若一个向量组线性无关，则其中任意一个部分向量组也必然线性无关； 4、若一个向量组的一个部分向量组线性相关，则此向量组一定线性相关； ?,?,?nn0|,?,|,?。5、设 线性无关个为维向量，则nn1n212216、若一个向量组的个数多于维数。则此向量组一定线性相关。 ?,?、若7线性无关。为一个两两正交的非零向量组，则 n22n11?,?、设8

27、线性无关，反之不对。 为两两正交的非零向量组，则n121n2?,线性表示。 【例题1】设可由线性无关，线性相关，证明： 4432313221?,?,?,讨论令，【例题2】设线性无关，331231221132321的相关性。 ?,线性无关，令 【例题4】设4123?,?,?,?,?,?的相关性。 ，讨论4341422243113132（二）向量组的秩的性质 ?,:,BA:?ABA、设1组的秩组可由线性表出，则为两个向量组，若n1122mB组的秩。 不超过2、等价的向量组由相等的秩。 3、矩阵的秩、矩阵的行向量组的秩、矩阵的列向量组的秩三者相等。 ?,?,bb?不可由向设【注解】（1）线性无关的充

28、分必要条件是线性无关，n211n2?b,r?r1),?(,)(,。 量组线性表示，等价于n2n121n1212 / 20 ?,B:,A?ABB设）2（不若向量组线性表示，可由向量组而向量组，n2m112Ar(A)?r(B)。可由向量组 线性表示，则第四讲 方程组 一、线性方程组的基本概念 ax?ax?ax?0,?n1211121n?ax?ax?ax?0,?2112222nnnII元齐次线性方程组。）为），称（方程组（ ?ax?ax?ax?0.?nm121mn2max?ax?ax?b,?11n112n112?ax?ax?ax?b,?2112222nn2nIIII元非齐线性方程组，方程组）称（）为

29、方程组（?ax?ax?ax?b.?mm21mn12nmIII）对应的齐次线性方程组或者导出方程组。 ）又称为方程组（二、线性方程组解的结构 X,X,XkX?kX?kXOAX?为、设1的解，则为齐次线性方程组s2s211s12AX?OkXX?kXk,k,k?为任意常数）（其中及的解，特殊情形，为任意常数。211s21AX?O的解。都是 ?OAX?AX?b?XX为为齐次线性方程组的解，2为非齐线性方程组、设则的解，00AX?b的解。方程组 ?AXb?OAX?,的解。为 、设为非齐线性方程组的解，则32211?AX?bk?k?k?,b?AX?的解的充分、设为4的一组解，则为t12t21t12k?k?

30、k?1。 必要条件是t21三、线性方程组解的基本定理 AX?Or(A)?n；1）齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是 1定理 （AX?Or(A)?n。有非零解（或者无穷多个解）的充分必要条件是 （2）齐次线性方程组 b?AXr(A)?r(A)。1 （）非齐线性方程组 无解的充分必要条件是定理2 b?AXr(A)?r(A)?n)r(A?)r(A时，有解的充分必要条件是。更进一步地，当）（2 bAX?AX?bnr?Ar)(rA?()有无穷多个解。时，方程组 方程组有唯一解；当四、线性方程组的通解 13 / 20 AX?O的基础解系与通解 （一）齐次线性方程组x?x?x?x?8x?0?52314?

31、2x?x?7x?0?125【例题1】求方程组的通解。 ?x?x?5x?0?253?x?x?x?x?0?5134x?x?2x?x?x?0?53124?2x?2x?2x?4x?0。】求方程组 【例题2?5321?x?x?x?2x?2x?0?14523【注解】齐次线性方程组基础解的的三大条件 一个向量组为齐次线性方程组的基础解系的充分必要条件是 （1）该向量组为方程组的解。（2）该向量组线性无关。 （3）该向量组的向量个数与方程组自由变量个数相等。 AX?b的通解（二）非齐线性方程 1x112?1?a3x?a?223。1】设方程组无解，求 【例题?2?0x1a?2?3x?x?x?x?0?4123?x

32、?2x?2x?1?234a,b取何值时，方程组有解，并求出其解。 【例题2】?x?(a?3)x?2x?b?423?3x?2x?x?ax?1?4123nAX?00?1,则AXR(A)?nAA，求【例题3】（1）设为0阶阵，且，的各行元素之和为nAX?00?0,A|A|A的通解。阶阵，且 ，求的通解。 （2）设为kiT?b?AX,3,R(A)?(1,9,9,8)，个解向量，且）设为其3为四元非齐方程组，（33121T?AX?b),9(1,9,9?的通解。，求 32?,),且,A?3(?2,，线性无关，设为4（4）维列向量组， 21311123232AX?0的一个基础解系。 求?3A?(?,?,2)

33、,?，）设线性无关，且 （54231132432412?AX的通解。求 ba?11i?ba?22i?n?)?,rn,(?i?12,?r,?且维向量组，设3【例题】为线性无关，?ir12?ba?nin14 / 20 ax?ax?0?n1n111?ax?ax?0?2112nn?,?的非零解，问为?线性相关性。 r12?ax?ax?0?n1r1rn方程组补充 （一）理论拓展 AB?OBAX?O的解。的列向量组为方程组若，则 定理1 AB?Or(A)?r(B)?n。，证明： 【例题1】设123?B?246ca,b,AA，且的第一行元素为三阶非零矩阵，不全为零，【例题2】设?k63?AB?OAX?O的通

34、解。 ，求方程组AX?OBX?Or(A)?r(B)。同解，则与 定理2 若TA)(AA)?rr(。 【例题1】证明：n?sm?nBAr(B)?nr(B)?r(BA)。矩阵，且【例题2】设矩阵，为是，证明： （二）方程组的公共解 A?O?BXAX?OOX? 定理 的解。与的公共解即为?B?nOBX?AX?Onr(A)?,Br(B)?A有公共，证明：都是】设与阶矩阵，且【例题1 的非零解。x?x?x?0x?x?0?31221与方程组（2）2】设线性方程组（1）。 【例题?x?x?0x?x?x?0?42234（1）求两个方程组的基础解系。 （2）求两个方程组的公共解。 第五讲 特征值与特征向量 一、

35、基本概念 ?nX?AXXA，阶矩阵，若存在使得和非零向量，1、矩阵的特征值、特征向量设为?AXA的特征向量。称为矩阵为矩阵 的特征值，称的属于特征值nAA的特征值？ 【问题1】设阶矩阵，如何求为?nAAA的特征向量？为的属于【问题2】设为的特征值，如何求矩阵阶矩阵， 00aaa?n12111?aaa?n21222?A，2、特征多项式、特征方程令 ?aaa?nnnn1215 / 20 ? a?a?a?n11211?aa?a?222n21?A|E?A0|?E?A|称为的特征多项式，为矩阵称?a?aa?nnn1n2A 矩阵的特征方程。AA 为实矩阵，则【注解】（1）设的特征值不一定是实数。?)(A?

36、a?tr?a?a? 2（）。nnn211122?|?A? ）（3。n21?)?n(1?i?0nr(A)? 的充分必要条件是）。（4i212?A2A?21 【例题，求】设的特征值及每个特征值对应的线性无关的特征向量。1?122?110?A1A?00 ，求的特征值及每个特征值对应的线性无关的特征向量。【例题2】设?100?AAA0nr(A)? 【问题1】设，则的非零特征值个数是否与是的秩相等？的特征值，问 【问题2】问每个特征值的重数与其对应的线性无关的特征向量个数是否一致？1?nB?PAPBPAB,A相阶阵，若存在可逆阵、矩阵相似设3，使得与，则称为两个BA 似，记为。 【注解】CCABBABA

37、ABAA ，则，则。，）若。）（1 （。 （2）若3?|?EA|?|BAB?|E ）（4，反之不对。)B(A)?r(AB?r ，反之不对。（5）1T?1?TBA;?BABAB,A可逆）（6 （其中。BA|B|)|A|?(Atr()?trB ）若，。，则7（nA阶矩阵，所是则称矩阵可以对角化，设4、矩阵的对角化若一个矩阵和对角矩阵相似,1?AP?P?AP 为对角矩阵。，使得谓可对角化，即存在可逆矩阵，其中 二、特征值与特征向量的性质16 / 20 （一）一般矩阵特征值与特征向量的性质 1、（重要性质）不同特征值对应的特征向量线性无关。 ?nXAAA的特征向量，则阶矩阵，是矩阵是矩阵 2、设的特征

38、值，为的对应于000?1?1?11?AAXA 是矩阵的特征向量。的对应于可逆，则的特征值，是矩阵（1）若000|A|A|?XAAA的特征向量。是矩阵为矩阵）若 可逆，则的特征值，的对应于2（ 0?00nn?1?ax?x)?axa?ax(fn?）设（3次多项式，称 为一元011nn?nn?1?aAaA?aAaEAf()?A?的矩阵多项式，则有为关于矩阵 011nn?)ff()X)(f(A)Af的特征向量。为矩阵的特征值，的对应于是矩阵 000nAA个线性无关的特征向量。有可对角化的充分必要条件是 3、矩阵（二）实对称矩阵特征值特征向量的性质 AA的特征根都是实数。、设 为实对称阵，则1AA的不同

39、特征根对应的特征向量正交。、设 为实对称阵，则2nA?A个线性无关的特征向量。 3、有可对角化?,A?Q为实对称阵，、设4，使得 为其特征根，则存在正交阵n21?1?TQAQ?。 ?n三、矩阵的对角化 （一）非实对称矩阵 （二）实对称矩阵 典型问题 （一）特征值、特征向量的性质 1111?1AAAB,?E|?|B_。1】设为四阶矩阵，则 ，且的特征值为【例题 2345?2?AA?2E(A)_。的一个特征值为则为可逆矩阵，为 的一个特征值，】【例题2设0?，X,X，A所对应的特征向量，分别为为】设【例题3的两个不同的特性根，221112X?X不是特征向量。则 21（二）特征值、特征向量的求法 【

40、思路分析】特征值的求法常见有三种方法： ?A0?AE?|的特征值。（求）公式法，即通过 1（2）定义法 17 / 20 （3）关联矩阵法 ?1AAb,A,Ba的每行元素之）【例题1】设矩阵，其中求的每行元素之和分别为可逆。（1AB ）求的每行元素之和。和；（22nO2AA?AA 阶矩阵，且为，求【例题2】设的特征值。ab?11?T?A3,(?)?A?,?的特征值及重数。【例题3】设 ，令，且，求?ba?nn?,A线性无关， 是三阶矩阵，【例题4】312?,AA?A?A的特征值。，求矩阵 221132313（三）矩阵对角化问题 【思路分析】判断矩阵对角化常见思路有： （1）矩阵的特征值是否为单值

41、。 n个线性无关的特征向量。）矩阵是否存在 （2（3）矩阵是否为实对称矩阵。 ab?A0bc?ad?A 可对角化。】设1，证明且【例题?cd?31?1?A?75?1A不可以对角化。 ，证明【例题2】设?2?66?122?A?212A的特征根、特征向量，以及是否可以对角化？ ，求【例题3】?122?kA?OAAk不可以对角化。，证明【例题4】设，使得为非零矩阵，且存在正整数 001?A?x1yx,y满足的条件。有三个线性无关的特征向量，求 【例题5】设?001?11a1?a?,?11A?1a,AXP,【例题6】求可逆阵的值;(2),有解但不唯一,(1)求?21a1?1TAPPAQQQ 为对角阵。使得使得;(3)为对角阵求正交阵,A （四）求矩阵【思路分析】特征值与特征向量部分求未知矩阵的思路为： 18 / 20 A的特征值。 1）求（A的不同特征值对应的线性无关的特征向量（注意：实对称矩阵不同特征值对应的）求（2特征向量正交） ?11?11?),(,?P?PPAP?PA?得（3）令，由。 ?n21?nn12?2