立体几何证明专题---教师版2020版

1、立体几何证明题考点汇编-2020 版28、空间平行证明：注意判定定理和性质定理的应用区别按证明思路归纳如下:线线平行判定定理V性质定理直线与平面平行的判定定理：平面线面平行判定定理面面平行性质定理判定定理：外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直 线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平 行。符号表示：ailb（线线平疔二线面平行）/（线面平行 面面平行）判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个 平面，这两个平面平行。符号为:allb推论：若一个平面内的两条相交直线分别平行 与另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面互相平行。abmn/a b Am n Ballmb/nllbb

2、11 （线面平行 线线平行）性质定理：若两个平面互相平行，则其中 一个平面内的任何一条直线必平行于另一个 平面。符号记为：性质定理：如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。符号记为allaallc（线面平行线线平行）c其余推论:（1）、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（2）、垂直于同一平面的两直线平行。1、使用判定定理-构造平行四边形模型1、（荆门市2017届高三元月调考） 如图，在正三棱柱 ABC- ABC中，AB 2 ,AA 3 , D, E分别为AG和BB的中点.（I）求证：DE平面ABC2. （2018百校联考）如

3、图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形， DAB ABC 90o,四边形EBCF为矩形，且BC 2BE 2AD 2a a 0 , BCD 45, H为BE的中点.I）求证：AH /平面 ECD ;3. 【2017课标II，理19】如图，四棱锥 P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面 ABCD ,1 AB BC AD, BAD ABC 90o, E 是 PD 的中点。（1）证明：直线 CE/ 平面 FAB; 24. 【2017浙江，19】如图，已知四棱锥 P-BCD , APAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC / AD ,CD 丄 AD , PC=AD=2DC=2

4、CB , E 为 PD 的中点.(I)证明：CE/平面PAB;5. (2019 全国 I 理 18)如图，直四棱柱 ABCD-A iBiCiDi 的底面是菱形，AAi=4, AB=2 ,Z BAD =60 E,M , N分别是BC , BBi , AiD的中点.(1)证明：MN /平面 CiD E ;2、使用判定定理-构造三角形中位线模型1、 如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AB BB1 , AC1 平面A1BD ,D为的AC中点( 1)求证：EC /平面A BD ;2. 【2014全国2,文18】(本小题满分12 分)如图，四棱锥P ABCD中，底面 ABCD为矩形，PA 平面AB

5、CD , E是PD的中点(I)证明：PB 平面AEC ；3. （ 2018广州二模）如图，在直三棱柱 ABC ABiG中，M , N分别是ABi和BC的中点.（1）证明：MN /平面 AAiCiC ；4. （ 2018河南省一模）如图，在三棱台 ABC - AiBiCi中，D, E分别是AB , ABiC 是等边三角形， AB=2A iBi, AC=2BC，/ ACB=90 .(1) 证明：BiC /平面 AiDE;(2) 求二面角A - BBi- C的正弦值.5、如图，四棱锥 P ABCD中，ABCD为矩形， PAD为等腰直角三角形，/ APD=90 ，面PAD丄面ABCD，且AB=i ,

6、AD=2 , E、F分别为 PC和BD的中点.(i)证明：EF/ 面 PAD;6、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟是正方形，SA底面ABCD , SA20i7届高三2月联考）如图，在四棱锥 S ABCD中，底面ABCDAB 2,点M是SD的中点， AN SC，且交SC于点N .(I )求证：SB/ /平面ACM ;7. 【河北省唐山市2016-2017学年度高三年级摸底考试19】如图,在直三棱柱 ABC Ai Bi Ci中，点D是BC的中点.（1）求证：AiB /平面 ADCi；8. 【河南许昌平顶山新乡三市2017届10月高三第一次调研考试，理 19】（本题满分12分） 如图，在四棱锥S A

7、BCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面SBC 底面ABCD，已知 DAB 135，BC 2 2，SB SC AB 2，F为线段SB的中点（I）求证：SD/平面CFA ;若 AA AB, A1AAC-且 AB 2A34AA -uuvuiuv(I) 若 CD 2DAuuv ,AEuuv2EB，证明:10. （2019佛山一模文）如图，在矩形ABCD中， 分别沿AF、BE折起到 ADF、DE /平面AB= 3, AD = 1, E、F分别是 CD边上的三等分点将 ADF , BCEBCE的位置，且使平面ADF丄底面AB CD,平面BCE丄底面ABCD ,连结DC.（I）证明:DC /平面 ABEF

8、 ;9. （2019湖南百校冲刺联考）如图，三棱台ABC A1B1C1中，侧面ABjBA与侧面AGCA是全等的梯形，11. （2019江苏16）如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，D, E分别为BC, AC的中点，AB=BC.求证：(1) A1B1 /平面 DEG ;(2) BE丄 GE.12. （2019天津文17）如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，VPCD为等边三角形,平面 PAC 平面 PCD， PA CD，CD 2， AD 3,（I）设G , H分别为PB , AC的中点，求证:PAD ；（n）求证：PA 平面PCD ；GH /平面13. （2019江西一模

9、）如图，四棱锥P ABCD中，PA丄底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB/DC ,ABC CAD 90 ，且 PA AB BC，点 E 是棱 PB 上的动点（丄）当PD丄平面EAC时，确定点E在棱PB上的位置；3、使用性质定理-先证明面面平行模型1.（2011年高考江苏卷）如图，在四棱锥PE、F分别是AP、AD的中点.,CD / BF求证：（1）直线BE /平面PCDOABCD中，底面2. （ 2019深圳一模）如图，在四棱锥为1的菱形，BAD 45 , PDE为AM的中点，点F在线段PB上,(1)求证：EF/ 平面 ABCD ;M为PD的中点,且 PF 3FB.C3. (2019广州期末考

10、试)如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角A CD F为60 ,DE/CF ，CD DE，AD 2，DE DC 3，CF 6 .(1)求证：BF /平面ADE ;A4. ( 2018 天津理) 如图，AD/ BC 且 AD=2BC, AD CD, EG/ AD 且 EG=AD , CD/ FG 且 CD=2FG, DG 平面ABCD , DA = DC=DG=2.(I)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN /平面CDE ;BAC 90 .点D, E, N分别为棱PA, PC, BC的中点，M是线段 AD的中点，PA=AC=4 , AB=2.(I)求证：MN /平面BD

11、E ;6.【2012高考辽宁文18】如图，直三棱柱ABC A/B/C/ , BAC90o,5. 【2017天津，理17】如图，在三棱锥 P-ABC中，PA丄底面ABC,AB AC . 2, AA =1,点M N分别为A/B和B/C/的中点。(I )证明：MN /平面 A/ACC/;7.【2014湖北卷19】如图，在正方体 ABCD ABiGD中，E , F , P , Q , M , N分别是棱AB ,AD , DDi , BB , ABi, AiD 的中点求证:(1) 直线 BCi / 平面 EFPQ ;(2) 直线ACi丄平面PQMN 8(2019天津理17)如图，AE 平面ABCD ,C

12、F / AE, AD / BC , AD AB, AB AD 1, AE(I)求证：BF /平面ADE ;立体几何证明题专题分类讲解-垂直专题按证明思路归纳如下：判定定理_1_线面垂直性质定理线线垂直判定定理V如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这判定定理：条直线就垂直于这个平面。符号记为:性质定理1aCb-0 l e a二U丄tr （线线垂宜=统面垂直l Lal丄ba面面垂直atzana丄0 （线画垂直=面团垂直判定定理：一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。符号记为：性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂 直于交线的直线与另一个平面垂直。a丄0a D = AB1（面面室宜n线面

13、重直）4丄占E性质定理： 若直线垂直于平面，则它垂直于平 面内任意一条直线。推论1:垂直于同一个平面的两条直线互相平行。I丄guaal丄口（线面垂直n线线垂直）推论2:条直线同时垂直于两个平面，则这两个平面互相平行。重要推论及其证明思想-三垂线定理（1）三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。/ U（2） 三垂线定理逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。三垂线定理和逆定理在教材中是作为例题存在，因此在证明题中不能直接用，只能根据其思想，可以通过 线面垂直来推导线线垂直的方法来证明。由于该定理涉

14、及到投影的知识对空间识别能力很重要，尤其在选 择、填空题、甚至理科证明题中有很大的作用。因此是同学们必须掌握的一个重要拓广知识。1、三线合一辅助线型，常见几何特征有等腰（等边）三角形，一个锐角为60的菱形，直角梯形等作辅助线的特征方法112017课标3，文19】如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，AD=CD .（1）证明：AC丄BD ;2 （2019河南省一模）在四棱锥P ABCD中， PAB为等边三角形，四边形ABCD为菱形，平面PAB 平面ABCD , AB 2 , ABC .(1)3求证:AB PC ;3. (2018广州二模）如图，已知三棱柱 ABC AB1C1的底面是边长为A1

15、ACC1底面ABC，直线A1B与平面AACG所成角为60 .（1）证明：A1AAC ；4. （2014课标全国I,文 19）如图，三棱柱AO 丄平面 BB1C1C. (1)证明：B1C丄 AB;5. （ 2019江门一模理）如下左图，平面五边形 ？?？ / ?= 折起，得到如右图的四棱锥？? ?（I）证明：？?丄?1的正三角形，AA AC，侧面B1C的中点为 O,且/ ?=? / 2? / ?=?90 , ?*= ?= ?将厶？ ？?C6. （2019北京文18）如图，在四棱锥P ABCD中，PA 平面ABCD, 底部ABCD为菱形，E为CD的中点.（I）求证： BD丄平面PAC;（H）若/

16、ABC=60，求证：平面 PAB丄平面PAE（川）棱PB上是否存在点F,使得CF/平面PAE?说明理由.7. （ 2019浙江19）如图，已知三棱柱ABC A B1C1，平面 A ACC1平面 ABC , ABC 90BAC 30 ,AA AC AC,E,F 分别是 AC, A1B1 的中点.(1)证明：EF BC ;8. （2019江苏16）如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，D, E分别为BC, AC的中点，AB=BC.求证：（1） A1B1 / 平面 DEC1；（2） BE 丄 C1E.Ci2、渗透相似、全等图形的识别判定，构造全等条件。注意性质定理与判定定理的区别应用1. （ 2

17、018 深圳二模） 如图，已知四棱锥 P- ABCD 中，AB / CD , AB 丄AD, AB=3, CD =4, AD=AP=4, / PAB= / FAD=60 .（1）证明：顶点 P在底面ABCD的射影在/ BAD的平分线上；2 , BC /AD , AB AD , PBDABC中， PAB是等边三角形2.【2014辽宁文19】（本小题满分12分）如图，ABC和 BCD所在平面互相垂直，且AB BC BD 2 ,ABC DBC 1200 , E、F、G 分别为 AC、DC、AD 的中点.（I）求证：EF 平面BCG ;3. （ 2019湖北八市一模） 如图，四棱锥P 一 ABCD中，

18、AB AD 2BC 为正三角形.且 PA 2 3 .（1）证明：平面 PAB 平面PBC ;4、（广州市2017届高三12月模拟）在三棱锥P/ APC / BPC 60 .（I）求证：AB丄PC ;5. （ 2018全国1卷大联考）在四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且-_： ,/A1AB= / A1AD=60 . (1)求证：BD 丄 CC1 ;6. （ 2019深圳一模文） 已知四棱锥P ABCD的底面ABCD为平行四边形，PD DC , AD PC .(1)求证：AC AP ;P7. （2019广州一模）如图，在三棱锥 A BCD中，丄ABC是等边三角形,

19、BAD = BCD=90 点 P 是 AC 的中点，连接 BP , DP。（1）证明：平面ACD 平面BDP ;&（ 2018天津文）如图，在四面体 ABCD中， ABC是等边三角形，平面 ABC丄平面ABD，点M为棱AB 的中点，AB=2, AD=2 3，/ BAD=90 (I )求证：AD丄BC;9. （2019梅州一模）如图，已知矩形 ABCD中，AD 的中点，将 DEC沿CE折起到 D EC的位置，使. 二面角.（1）证明：BE CD ；10.【2017课标3，理19】如图，四面体 ABCD中， ABC是正三角形， ACD是直角三角形,/ ABD=Z CBD , AB=BD .（1）证

20、明：平面 ACD丄平面ABC ；B3、动点处理型-构造线面垂直1、已知正方体ABCD- ABiGDi中，E为棱CC1上的动点,(1)求证：A1E 丄 BD ；AiB2、【广东省惠州市 2012届高三一模(四调)考试】已知四棱锥P ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱(1)是否不论点E在何位置，都有BD丄AE ?证明你的结论;3、【广东省江门市2012届高三调研测试】如图，长方体ABCDAB1C1D1中，底面ABCD是正方形,AA 2AB 2 , E是DD1上的一点求证： AC B1D ；4、(韶关市2017届高三1月调研)如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD 平面ABCD , AB/CD

21、,PAD是等边三角形，已知 BD 2AD 8, AB 2DC 4,5 P(I)设M是线段PC上的一点，证明：平面 BDM 平面PAD ;5. ( 2018全国新课标川文)如图，矩形abcd所在平面与半圆弧 Cd所在平面垂直，m是Cd上异于C , D的点.(1) 证明：平面AMD丄平面BMC ；(2) 在线段AM上是否存在点P , 使得MC /平面PBD ?说明理由.存在点P为AM中点(III )取 中点F，连结 F，则 F/，根据线面平行定理则/平面C F.4、面面垂直-基础型：在一个面内找一条线垂直另一个平面1. ( 2018全国新课标I文) 如图，在平行四边形 ABCM中，AB AC 3

22、, / ACM 90，以AC为折痕 将厶ACM折起，使点M到达点D的位置，且 AB丄DA .(1)证明：平面 ACD丄平面ABC ;ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕 且 PF BF .2. ( 2018全国新课标I理) 如图，四边形 把厶DFC折起，使点C到达点P的位置，BE,点C在AB上,(1)证明：平面PEF 平面ABFD3. (2019揭阳一模) 如图，在四边形 ABED中，AB/DE，AB 且AB CD , AC=BC=CD=2，现将 丄ACD沿CD折起，使点 A 到达点P的位置，且PE与平面PBC所成的角为45 .(1)求证：平面PBC 平面DEBC ;4

23、. ( 2019北京理16)如图，在四棱锥 P ABCD中，PA 平面 ABCD , AD CD , AD P BC ,PA AD CD 2, BC 3 . E为PD的中点，点F在PF 1PC上，且 一.PC 3(1)求证：CD 平面PAD ;5、(2019全国川文理19)图1是由矩形 ADEB、RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1 ,BE=BF=2 , Z FBC=60 ,将其沿AB, BC折起使得BE与BF重合，连结 DG,如图2.(1 )证明：图2中的A, C, G, D四点共面，且平面 ABC丄平面BCGE ；ABCD -iBiCiDi的底面 ABCD是正方形，点

24、E在棱AAi上，BE丄5、面面垂直-反复迂回型，反复用线面垂直推线线垂直i.【20I4福建，文I9】(本小题满分 I2分)如图，三棱锥A BCD 中，AB 平面 BCD,CD BD (i)求证：CD 平面ABD ；I76. (2019全国n文理17)如图，长方体ECi.(1)证明：BE丄平面EBiCi；7. 【20I7全国i文I9】(本小题满分I2分)如图，在四棱锥P-ABCD中,AB/CD，且 BAP CDP 90证明：平面 PAB丄平面FAD;8 （ 20I8 江苏）在平行六面体 ABCD Ai BiCi Di 中，AA） AB , ABi BiCi .求证：AB/平面AiBiC ; (2

25、)平面ABBA 平面AiBC .2.【2015高考新课标1，文18】（本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE 平面ABCD ,（I）证明：平面 AEC 平面BED ；3. （ 2019郴州一模）如图，在三棱锥PABC中，底面是边长为4的正三角形,PA 底面 ABC，点 E . F ,G分别为AC，PC，PB的中点，且异面直线AG和PC所成的角的大小为3 .（I）求证：平面 BEF 平面PAC ;4. （ 2018河南开封一模） 如图1,在矩形 ABCD中，AD=2AB=4 , E是AD的中点.将 ABE沿BE折起使A到点P的位置，平面 PEB丄平面BCDE，如图2

26、.（丄）求证：平面 PBC丄平面PEC;Si5. （ 2019河南开封一模） 如图所示,ABCD是边长为2的正方形,AE 平面 BCE，且 AE 1 .（I）求证：平面 ABCD 平面ABE376. (2019湖南省怀化一模文 18)如图，在四棱锥P ABCD中，ABCD为菱形，PA 平面ABCD ,连接AC、BD交于点O, AC 6， BD 8， E是棱PC上的动点，连接 DE .(I)求证：平面 BDE 平面PAC ;7. (2019湖南省郴州一模文18)如图，在三棱锥PABC中，底面是边长为4的正三角形，PA 底面ABC ,点E . F , G分别为AC , PC , PB的中点，且异面

27、直线 AG和PC所成的角的大小为.3(I)求证：平面 BEF 平面PAC ;6、用数据证明型-通过勾股定理，射影定理，余弦定理等数据特征来说明垂直1. (2018武汉一模)如图，在棱长为F分别在棱AB , CD上，且AE3的正方体ABCDCF 1.D1M 1,求证：(1)已知M为棱DD1 上一点，且2.（2019广东省一模）在五面体 ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，CD 2DE 2AD 2AB 4 , AC 2j5 ,EAD 30 .(1)证明：AB 平面ADE ;3.（2018深圳二模）在四棱锥P ABCD中，侧棱PA 底面ABCD，AB/CD， BAD 90，M是PC的中点，N在线段AB上，且AB 3AN，已知