线性变换总结篇

1、第 7章 线性变换 知识点归纳与要点解析 一线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义 ?,VVP和数上的线性空间如果对数域的一个变换中任意的元素称为线性变换，?k?k?kP。 中的任意数，都有：域，V的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。 注：2.线性变换的判别 ?VP的一个变换，那么：为数域 设上线性空间?Vk,?lk,l,k?lP,?V 为的线性变换3.线性变换的性质 ?V,L?,VVP。是数域的线性变换，上的线性空间， 设为s12?00,; 性质1. ?,L,L也线性相关。线性相关，那么 若性质2. s12s21?,L,L 那么如果 设线性变换线性无关，为单射，性质3.s12s

2、12也线性无关。 ?,L,L,设VVP中的两个向量组，注：， 是数域是上的线性空间，s1212m如果： ?Lc?c?cs2111211s1?Lcc?c?s21s212222 LLL?Lc?c?c?s2m11m2msm 记：Lccc?121m11?Lccc?2m1222?LL,?, sm2121?MMM?Lccc?mss1s2?ndimV?,L,LVV是是的一组基，是的线性变换，若于是， m2121nV 中任意一组向量，如果：?Lbb?b?n12111211n?Lbb?b?n2222221n1 LLL?Lb?b?bn2mnm1mm12 记： ?L,?,L, m121m2那么： Lcbb?111m

3、21?Lcbb?212m22?LL,?, n21m21?MMM?Lcbb?mn1nn2Lcbb?111m21?Lcbb?2m2212?,L,L,?BB是的列向量组，如果设，是矩阵iiim12?MMMr21?Lcbb?mn21nn?,L,L,就是组，那么 线的一个极大性无关m12iiir12?L,L的的一个极大线性无关组，因此向量组m112m2?B。秩等于秩 4. 线性变换举例 VP上的任一线性空间。设 是数域（1）?V0,?0； 零变换： ?V,。 恒等变换：?mVP，使是数域上的线性空间 幂零线性变换：设的线性变换，如果存在正整数m?0?为幂零变换。得 ，就称2?VP为幂等幂等变换：设 是数

4、域上的线性空间，就称的线性变换，如果变换。 nnP?VAP ，令： 级方阵上的一个任意取定数域,）2（xxx?111?xxx?222n?P?A?,?。 ?MMM?xxx?nnn?x,x?Dffx?f?xxPV?P ，。（3）?nn?nn?P?AX,?XX?PV?VaA? 是，（4）。中一固定矩阵，ij二线性变换的运算、矩阵 1. 加法、乘法、数量乘法 ?,设定义： （1） VVP的两个线性变换，定义它们的和是数域是上的线性空间，?V 分别为：对任意的、乘积? ，?Vk?Pk? 任取为：对任意的，定义数量乘积?kk? ?-?V 为：对任意的的负变换?=- ?-Vk的线性变换。与、则都是、 ? V

5、LVP上的维线为=，按线性变换的加法和数乘运算做成数域的线性变换（2） 性空间。2. 线性变换的矩阵 ?,L,nVVVP的（是数域是上的是维线性空间，1）定义：设的线性变换，n12一组基，如果： ?La?a?an2111211n1?Laa?a?n21n212222 LLL?La?a?a?n2n1n12nnnLaaa?121n11?Laaa?222n12?,L,?A下的矩阵。在基那么称矩阵为线性变换 n21?MMM?Laaa?nn21nn?A,L,?,L,L?, 此时：n21n21n21 （2）线性变换的和、乘积、数量乘积、逆变换、负变换及线性变换多项式的矩阵： ?V,L?,LnVP，设维线性空

6、间 是数域设的一组基，上的n12?A,B,L,。下的矩阵分别为 它们在n12?n?n?V?LPVLf:AaPP上的线性空1） 是数域到数域上的线性空间，?n?nn?nPVL?P。的同构映射，因此 间?A可逆） 可逆 2?A?B,AB?,L,-?A；下的矩阵分别为与、在基与 3）n12?,L,kA?Pkk；， 下的矩阵为 任取在基n12?1?1?,L,A； 若在基为可逆线性变换，则下的矩阵为n21?1mm?L?ax?fxxa?x?aaP上的任一多项式，那么为数域 设0m?m11?mm?1?a?a?Lfa?aV的恒等变换）（在为基0mm?11?mm?1?L?a?aAA?fAa?aAE,L,。下的矩

7、阵为： n21n10mm?1三特征值、特征向量与对角矩阵 1. 矩阵的特征值与特征向量 ? E?fAnAA的特征为称为级复方阵，将多项式（1）矩阵的特征多项式：设nA 多项式。 ?aA?，则：若 注： 1）ijnnn?1?nn? A?1?AE?L?1a?af?La nn22An11n?1n?n? Atr?AL?1?1? ? E?A?0A?EAA的特征方程。称为矩阵称为矩阵的特征矩阵，2) 将 nn? E?f?AnA在复数域上的所有根都叫做其特定义： 级方阵的特征多项式）（2nA?X?0E?AC?A的每个非零征值（根）是的特征值，齐次线性方程组，设0n?A的特征向量。 解都叫做矩阵的属于其特征值

8、0 3）求法：（?AE?f,L, （重根按重数计算）在复数域上的所有根； 1）求n12nA?0E?A?Xk?1,Ln系解，得其一2）对个线性方程组基础解齐次nkk?AE?,L,?l?nA的全部特，则矩阵（的属于特征值秩）lkk2k1,kknkk?ss,ss,?sL?L?s,为不全为零的任意常，其中征向量为lk1kk12,k2lk2,kkk,l1kkkk 数（复数）。 （4） 重要结论：?xgX?CAA为一复是的特征向量，是的属于其特征值1）设的特征值，000 系数多项式。?gAgggAX 为为的特征值，的特征向量；的属于特征值 000A11?1?XAAAA的属 如果还是可逆矩阵，那么为的特征值

9、，与和分别为 0?00A1?XA 的特征向量，的特征向量，为于特征值的属于特征值 0?00?Ag,g,L,gg,L,A就是那么是矩阵 若的全部特征值，n21n12111?1L,AA的全部特征值，的全部特征值，如果为还是可逆矩阵，则 ?n12AAA?LA,的全部特征值；为 ?n21?tr?AL,L,A，么，那是矩阵若2）全的部特征值n12n12? LA?。 n212. 线性变换的特征值与特征向量 ?P?VV0?P，使得是数域，若存在上的线性空间的线性变换，（1）定义：设0?的特征向量。的一个特征值，的一个属于特征值，就称 为为000（2）线性变换的特征多项式 ?,LnVVP 设，维线性空间的线性

10、变换，任取的一组基设是数域上的n21? A?EAA的特征多项式，记为在该基下的矩阵为，称矩阵为的特征多项式为n? E?fA，即线性变换的特征多项式为其在任意基下矩阵的特征多项式。 ?n?nVP的线性变换。 是数域维线性空间上的（3）求法：设?,L,VA；在该基下的矩阵，求出）取定的一组基 1n21? AE?f?,L0?m?nP，（在）求重根按重数计算，中的所有根2?m12n?0m?无特征值）。 表示且?X?01,LsE?At?0m?，得其一个基础3，对解齐次线性方程组）若nkk?AE?,L,?nl?的解系（的属于特征值），则线性变换秩l1kk,k2kknkk?s?sL,?,L,s?，其中全部特

11、征向量为lk122kk12n,l,k1kkkks,s,L,sP中不全为零的任意常数。 为lk1k,k2k3. 矩阵相似 A,BnnTPP，上的两个上的级方阵，如果存在数域（1）定义：设级可逆矩阵是数域?1AT?BTABA:B。相似于矩阵 使得，记为，就称矩阵（2）性质： A,B,Cn级方阵，那么： 都是1）矩阵相似是等价关系，即：设B:CA:CB:A:A:BB:AAA。 ； 若，则且，那么 若 ；? EAf?f?B?E?BAA:B，2）若 因此矩阵，那么有与矩阵nnAB? AB?trtrAB）。相同的特征值，相同的迹（） ，相同的行列式（?它们有相同的特征值。 3）两个实对称阵相似（3）有限维

12、线性空间上的线性变换在不同基底下的矩阵彼此相似。 k?1k?1?Z?k?BTAT,BTAT? （，那么）若。44. 线性变换与矩阵可对角化 （1）矩阵可对角化 ?1nnATTATA可对级方阵，如果存在级可逆矩阵是为对角阵，则称，使得1）设 角化。?nnAA 级方阵有）可对角化个线性无关特征向量。2nnAA 级方阵个不同的特征值，则有可对角化。如果3）?,L,nA 是级方阵设4）的所有不同的特征值，k21lll? ?EAL?f?k21 kA12n?,k21il?,L 为称的代数重数；ii?,kL1,2E?A,i?ns的几何重数；为 称秩iini?,k,L?1,s?l2i； ii?,kL,2,i?

13、1?nA的几何重数。=都有级方阵可对角化 对的代数重数ii?Wdim0sE?A?X?W 设齐次线性方程组的解空间为，则注：1. iinii?n?nA?CA?V? 为的属于特征值的特征子空间，那么2. 级方阵称?iii?Vs?dim ?ii （2）线性变换可对角化?nVVP在使得的线性变换，如果存在1） 设 是数域的一组基，上的维线性空间? 该基下的矩阵为对角阵，就称可对角化。?nnVP个线性无关特征向可对角化 2）数域的线性变换上的有维线性空间 量。?nnVP则3）设有是数域的线性变换，上的如果维线性空间个不同的特征值， 可对角化。?nVVAP ）设在是数域，上的的一组基下的矩阵为维线性空间的

14、线性变换， 4?,L,nA 是 设的所有不同的特征值。级方阵k12?P,L,? ，那么： 若k12?,kL2,i?1,? 的代数重数 =可对角化对的几何重数。都有ii?,LP 中，则不可对角化。 若不全在数域k12? ?V?dimVV 为，其中注：的几何重数 =的属于特征值?iiiii 的特征子空间。四线性变换的值域与核 ?1? ?00V?VP，是数域的线性变换，将定义：1.设上的线性空间?1? 0kerVV?V?也分别记为的核与值域（与分别称为线性变换?Im）。与 ?1?1?Vdim0VV0dim与线性变换的秩与零度：2. 都是与 的子空间，将?的秩和零度。 分别称为3. 有限维线性空间的线

15、性变换的值域与核 ?,L,nVVVP的一组基， 设的线性变换，是数域上的为维线性空间，是n21?A?aV?a?aL ，。A?r， 秩在该基下的矩阵为nn2211a?1?a?21?0?AX?0的解。 是齐次线性方程组1）?M?a?n?LL,0AX?（其 2）若个基础解系，那是么中的一r?2n2n?1r1?1?0?rk?1,2,L,L,n的一组基，于是：）就是 k21nk?1?r?dim?n0 ?1? P,k?k,kLk,?,L,L,?kkL0? r221rn21n2n?r?r?n1?1?n?r。的秩和零度为 因此?,L?L,V 3）12n?,L,V的一组基关组就是于是，而的一个极大线性无n12?

16、r,L,AVdim?r的秩为 =，即的秩等于秩，所以n12?Ar。 秩=?1?n0V?dimdim ）。4 3. 求法：?nVVP 是设维线性空间，是数域的线性变换。上的?1?0的求法：1） ?,L；VA ，求出 取定在该基下的矩阵的一组基n12?LA,0?AX?r） 解齐次线性方程组秩；（，得其一个基础解系 r2n1?1?0,2,L,L,n?rk?1?的一组基，得 令 k2k1n?L,， rn2?1?1? P,k?k,k,?k0L?L?,L,k?Lk r2n2r?11?11n2r2n?rn?）2V的求法： ?,L,；VA 取定在该基下的矩阵的一组基，求出n12?,L,L,的列向量组为A的一个

17、极大线性无关，求出 设矩阵n11n22?,L,L,组关无性线大得就到极个组一的iiin21r21?V,L,L,的一组基。， 就是iiiiii12r12r?,V?L,L, iiir12? ?Pl?l,l,?lL?L?l,l? iiiiiiiiir112rr122五不变子空间 ?WWV?VP，是如果对1. 定义：设的线性变换，是数域的子空间，上的线性空间?W?WW?W-子空间。的不变子空间，也称（即），就称 是都有?0VVVP的任一线性变换的不变子空间。上的线性空间，那么与 2. 设都是是数域?VP的特征是数域上的线性空间是的线性变换，3. 设的任意一个特征值，那么? ?V?V 的不变子空间。子空

18、间都是?V?0nP的线性变换，任取上的4. 线性变换的循环子空间：设维线性空间是数域?1?m?L,mV?0?线性无关，而得，必，存在正整数使?m1m?,L,W,LL,W?的不变子是线性相关，令，则?W的循环子空间。为空间，称 ?nWVVP的不变子空间，上的的线性变换，维线性空间， 5. 设是是数域是?n0dimmW?,L,VW的一组一基组基将其扩充为，取，的m12AA?21?LL,AW 在为，其中，那么在该基下的矩阵为?n11mm2?1WA0?3?,L, 下的矩阵。的基m12 (Jordan) 标准形六若尔当1.若尔当块与若尔当形矩阵： 1）若尔当块：形式为 ?L0000?L0001?MMMMM?J,t ?