专题二：立体几何

1、专题二：立体几何-线面垂直、面面垂直一、知识点(1) 线面垂直性质定理(2) 线面垂直判定定理(3) 面面垂直性质定理(2)面面垂直判定定理线面垂直的证明中的找线技巧通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直1 如图1，在正方体ABCD - ABCD,中，M为CC,的中点，AC交BD于点0,求证：AQ _平面MBD证明：连结 MO A,M , DBL AA , DBLAC A,| A A , DBL平面 AACCi，而 AO 平面 AACCi 二 DBL AQ 33设正方体棱长为a，贝U AO2=3a2, MO2二兰a2.24在 Rt A1C1M 中，AM 2 = 9 a2 . / RO2 MO 2

2、工 AiM4AO_ OM . / OlVh DB=Q AO 丄平面 MBD评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明.利用面面垂直寻求线面垂直2 .如图2, P是厶ABC所在平面外的一点，且 PAL平面 ABC平面PACL平面PBC求证：BC丄平面PAC证明：在平面 PAC内作ADL PC交PC于 D.因为平面PACL平面PBC且两平面交于 PCAD匸平面PAC且ADL PC 由面面垂直的性质，得 ADL平面PBC 又BC 匸平面 PBC ADL BCR/ PAL平面 ABC BCU 平面 ABC - PAL BCA/ ADH PA=A. BCL平面 PAC评注：

3、已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直图2(:线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直.在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直= 线面垂直=线线垂直.一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,判定7性质线面垂直判定7性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,其关系为：线线垂直可以互相转化，从前面推出后面是判定定理， 而从后面推出前面是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.下面举例说明.3 如图1所示，ABCD为正方形， SA丄平面 ABCD过A且垂直于 SC的平面分别

4、交SB SC, SD于 E, F, G 求证：AE 丄 SB，AG 丄 SD 证明： SA_平面ABCD SA_BC . /B _BC , BC _ 平面 SAB又t AE 平面 SAB： BC JESC丄平面AEFG - SC丄AE . AE丄平面SBC AE丄SB.同理可证 AG丄SD.评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平 面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化.4.如图2,在三棱锥 A BCD中, BC= AC AD= BD作BE! CD E为垂足，作 AHL BE于H.求证：AHL平面BCD 证明：

5、取AB的中点F,连结CF DF.AC = BC , CF _ AB .AD = BD , DF _ AB .又 CF 门 DF 二 F , AB _ 平面 CDF/ CD 匸平面 CDF - CD 丄 AB .又 CD_BE , BEnAB = B , CD _ 平面 ABE CD _ AH ./ AH_CD , AH_BE, CDBE 二 E , AH _ 平面 BCD评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直.如此反复，直到证得结论.5如图3, AB是圆O的直径，C是圆周上一点， PA丄平面ABC若AE! PC, E为垂足,F是

6、PB上任意一点，求证：平面 AEF!平面PBC证明： AB是圆O的直径， AC _ BC (:图3 PA丄平面ABC BCu平面ABC PA _ BC BC _ 平面 APC/ BC 二平面 PBC平面APCL平面PBC/ AEL PC,平面 AP 平面 PBC= PC AEL平面 PBC AE二平面AEF, 平面 AEFL平面PBC评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平 面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻 找线线垂直的关系.10.如图，在空间四边形 SABC中 , SA平面 ABC ABC= 90 , ANSB于 N AM SC于 M 求证：ANBC；S

7、C平面ANM分析：要证ANBC转证,BC平面SAB要证SC平面ANM转证，SC垂直于平面 ANM内的两条相交直线，即证SCAMSCAN要证SCAN转证AN平面SBC就可以了。证明： S兀平面ABC SA_BC又 BCAB 且 AB SA = A BC平面SAB AN 平面 SAB ANBC ANBC AN_SB 且 SB BC= B AN平面 SBC/ SCC平面 SBC ANSC又 AIMSC 且 AM AN= A SC平面ANM例2如图9 40,在三棱锥 SABC中，SA丄平面ABC,平面SABL平面SBC图 940(1)求证：AB丄BC;(1)【证明】作 AH丄SB于H,：平面 SAB丄

8、平面 SBC 平面SABA平面 SBC=SB. AH丄 平面SBC又SA!平面 ABC二SA丄BC而SA在平面SBC上的射影为 SB, a BC丄SB又SAA SB=S BC丄平面 SAB a BC丄AB.例3如图9 41, PA丄平面ABCD四边形ABCD是矩形，PA=AD=a M N分别是AB PC的中点.M图 941求证：平面MNP平面PCD丄【证明】取 PD中点E,连结EN EA贝U EN 2 CD AM, 四边形 ENMA是平行四 边形， EA/ MN/ AE PD, AE丄CD, AE丄平面 PCD从而 MNL平面 PCD ： MN 平面 MND 平面 MND 丄平面PCD【注】

9、证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证MNL平面PCD较困难，转化 为证明AE!平面PCD就较简单了.另外，在本题中，当AB的长度变化时，可求异面直线 PC 与AD所成角的范围.例 4如图 9 42,正方体 ABC ABiCD 中，E、F、M N分别是 AB、BC CD、BQ 的中点.图 942求证：平面MNB_平面ENF【证明】 M N E是中点， EB! =B!N =NC!. NENB! =NMNC !=好NMNE =90。即 MNL EN 又 NF丄平面 AC, MN u 平面A。. Mnl nF,从而 MNL平 面 ENF / MN U 平面 MNF平面MNFL平面ENF.4.如

10、图9 45，四棱锥PABCD的底面是边长为 a的正方形，PA丄底面ABCD E为AB 的中点，且PA=ABPFB 叫图 945(1)求证：平面 PCEL平面PCD (2)求点A到平面PCE的距离.(1) 【证明】PAL平面ABCD AD是 PD在底面上的射影，又四边形 ABCD为矩形， CDL AD, CDL PD / ADA PD=D CDL面 PAD PDA 为二面角P CD- B的平面角，/ PA=PB=AD PAL AD/-Z PDA=45 ,取 Rt PAD斜边 PD的中点 F,贝U AFL PD, / AF c 面 PAD CDL AF,又 PDA CD=D. AF丄平面 PCD

11、取 PC的中点 G,连 GF、AG EG 贝U GF2 CD又 AE 2 CD GF AEA四边形 AGEF为平行四边形 AF/ EG EG丄平面PDC又 EG 平面PEC 平面PECL平面PCD(2) 【解】由(1)知AF/平面 PEC平面PCDL平面 PEC过F作FH丄PC于H ,贝U FH 丄平面PEC FH为F到平面PEC的距离，即为 A到平面PEC的距离.在 PFH与 PCD中，/ P 为公共角，FH _ PF而/ FHP=Z CDP=90PFIHA PCD. CD PC，设 AD=2,. PF=V2 ,PC=. PD【证明】T C是AB为直径的圆0的圆周上一点，AB是圆0的直径 B

12、C丄 AC;又PAL平面 ABC Bg平面ABC BC丄PA从而BC丄平面PAC/ BC 平面 PBC平面PACL平面PBC 【解】平面 PACL平面 ABCD平面PACL平面 PBC平面 PADL平面 PBD平面 PAB CD24 =2.3 ,2 2 _ _6_6FH=2、丄平面 ABCD平面 PADL平面 ABCD3 A到平面PEC的距离为 3 .【拓展练习】一、备选题1.如图，AB是圆0的直径，C是圆周上一点，PA丄平面ABC(1) 求证：平面 PACL平面PBC(2) 若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各 对平面.2. ABC- A B C是正三棱柱

13、，底面边长为1a, D, E分别是 BB , CC上的一点，BD=2 a， EC= a.(1) 求证：平面 ADEL平面 ACC A;(2) 求截面 ADE的面积.则MN/ A A/ B B, B、M N、B共面，T M为 A C 中点, 丄 AA 且 AA n A C =A B C =B A , B Ml A C，又 B M B ML平面 A ACC 设MN交AE于P,a/ CE= AC, PN= NA= 2 .1又 DB= 2 a,. PN= BD./ PN/ BD, PNBD是矩形，于是 PD/ BN BN/ B M, PD/ B M/ B ML平面 ACC A, PD丄平面 ACC A

14、, 而 PD 平面 ADE平面ADEL平面ACC A.(2)【解】T PDL平面ACC A,旦 PD丄AE,而 PD= B M= 2 a,AE= -2 a.1 Sa ad =2 x AEX PD厂t1 、L V3V6 22aaa=2 x24、练习题线面垂直专题绦习一、定理填空：丄.西疑和平面垂直如果一条直线和,就说这条直线和这个平面垂直.2,线面垂直判定定理和性质定理线面垂直判定定理：如果一条直线和-个平面内的两条相交直线都垂克，那么这条直线垂直 于这个平面判定定理一如果两条平行统中的一条_于一个平面,那么判定定理2： 条頁线垂買于两个平行平面中的一个平面，那么.性膜定理3：如果两条直线同垂直

15、于一个平面，那么这两条直线二、精选习题舌1设M表示平面，4 &表示直线，给出下列四个命题：a丿丄M搞5船:後卜3苴中正确的命题是（）ABC SI如图所示，在正方形ABCD F分别是AB.BC的中点.现在沿DE、QF及前把趴 2DF和心E防折起，使4 玄D三点重合，重合后的点记为F那么，在四面体卩一也严 中，必有 （）第3题圏久珂丄平面PEF丄平面PEF丄平面 Q百F丄平面 DEF3. 设狙b是异面直线，下列命题正确的是 （）九过不在心b上的一点卩一定可以作一条直线和6 b都相交氏过不在6 &上的一点P定可以作一个平面和黒方都垂直C过u定可以柞一亍平面与5垂直D过“一定可以件一个平面与b平行4,

16、 如果直线山与平面此站满;i=priyj/a,mc： a和喘丄人那么必有（）A,a7 且B./ 且即祁且 Z_Lw D u/p 且 M上久有三个命题：CM直于同一个平面的两条直线平行； S平面的一条斜线/有且仅有一个平面与a垂直： 屛面直线比B不垂直，那么过厲的任一个平面与b都不垂直其中正确命題的个数为（ 诅血B 1C2D.3&设h用为直线，为平面，且I丄给出下列命题 若用丄 则阳別：(2 mAl?则加血 则m JJ；m/l,则朋_La，其中真命题的序号是()A血A.B.(agC.D.Q.如图所示三樓锥V-ABC中HR丄侧面VBC H是氐用O的垂心，BE VC边上的高.求证:FC14氏&如图所

17、示，他丄矩形ABCD所在平面，M、N分别是PC(1) 求证：平面J34D(2) 求证：MNgD.(3) 若 ZPZM = 45S 求证：AfAT丄平面 PCD.9-已知直三棱柱乂丑64厲G中，zACB=90 ZBAC=BC=l f AAl= 6 , M是CVr的中虎, 求证：ABi AAiM.W如图所示，正方体ABCD-ArBfCrDr的梭长为4 M是用厂的中点是ED上一点，且DrN tNB =1 ：2, MU 与 BD 交于 P.(1)求证：NP丄平面ABCD.Q)求平面PM?与平面CCrDfD所成的角一面血垂直专题练习f定理填空面面垂直的判定定理：二猜选习题1. 正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后，AB与CD所成的角等于2、三棱锥P-ABC的三条侧棱相等，则点P在平面ABC的射影是ABC的_心.沢一条直线与两个平面所