一阶常微分方程解法总结

1、第一章一阶微分方程的解法的小结、可分离变量的方程：dy、形如f ( x)g ( y)dxdy当 g( y)0 时，得到 f (x)dx ，两边积分即可得到结果； g( y)当 g( 0 )0 时，则 y(x)0 也是方程的解。例 1.1、 dy xy dx解：当 y0时，有 dyxdx，两边积分得到ln yx2C C为常数)y2(x 2所以 yC1 e 2(C1为非零常数且 C1eC )y 0 显然是原方程的解；x2综上所述，原方程的解为yC1e 2(C1为常数 )、形如 M ( x) N ( y)dx P(x)Q ( y)dy 0当 P( x) N ( y)0 时，可有 M (x) dxQ(

2、 y) dy ，两边积分可得结果；P(x)N ( y)当 N ( y0 )0 时， yy0 为原方程的解，当P(x0）0 时， xx0 为原方程的解。例 1.2、 x( y21)dxy( x21)dy0解：当 ( x21)( y21)0时，有y 2 dyx2xdx 两边积分得到1y1ln x21ln y 21ln C(C 0) ，所以有 ( x21)( y21)C (C 0)；当 ( x21)( y21)0 时，也是原方程的解；综上所述，原方程的解为( x21)( y21)C (C为常数 ) 。可化为变量可分离方程的方程：、形如解法：令dyg( y )dxxy，则 dyxdu udx ，代入得

3、到 xdu得到uu g(u) 为变量可分离方程，xdxf (u, x, C )0(C为常数 ) 再把 u 代入得到 f ( y , x,C)0(C为常数 ) 。、形如 dyxG (axby), (ab 0)dxadxdu1 dua解法：令 uaxby ，则 dyG(u) 为变量可分离方程，b，代入得到bb dx得到 f (u, x,C )0(C为常数 ) 再把 u 代入得到 f (ax by, x, C ) 0 (C为常数 ) 。、形如 dyf ( a1 xb1 yc1 )dxa2 xb2 yc20、a1b10 ，转化为dyG (axby) ，下同；解法： 1a2b2dxa1b10 ，a1x

4、b1 y c10u x x020 、b2的解为 (x0 , y0 ) ，令v y y0a2a2 x b2 y c20f ( a1v得到， dvf ( a1ub1v )b1 u )g( v ) ，下同；dua2u b2va2vub2u还有几类： yf ( xy)dxxg( xy)dy0,u xyx2 dyf ( xy), vxydyxf (yydxdxx2 ), wx2M ( x, y)( xdxydy)N ( x, y)( xdyydx)0, x r cos, yr sin以上都可以化为变量可分离方程。例 2.1、 dyxy5dxxy2解：令 ux y2 ，则 dydx du ，代入得到 1d

5、uu7，有 udu7dxdxu所以 u2(C为常数 ) ，把 u 代入得到（ x27xCy2）7 x C (C为常数 ) 。22例 2.2、 dy2xy1dxx2 y11u12xy10xxdydv解：由3 ，令3 ，有x2 y1得到dx，代入得到01v1duyy33dv2uv2vv ，有 dvu dt2tuttduudt ，代入得到 t，令，化简duu2v1vudu12t2u2) ，有 ln u2得到， du212t2t2 dtd (1tt2ln( 1tt)C(C为常数 ) ，u2t2(1tt)2所以有uC1(C )，故代入得到 x1C1,(C1 0)，C1e31tt 2y1y12133x1x

6、133（3）、一阶线性微分方程：一般形式：)dy()()a（1xdxa0x yh x标准形式： dyP(x) yQ(x)dx解法： 1、直接带公式：yCeP( x)dxeP ( x) dxP (x )dxQ( x)dxeP( x) dxeP( x)dxC )e(Q (x)dx2、积分因子法：y(x)1P ( x) dx(x)Q ( x)dx C ， ( x) e(x)3、 IVP ：dyP( x) yQ( x) ， y(x0 )y0dxxxttP (s) dsxP ( s)dsP (s)dsxP (s) dsye x0( Q (t)e x0dt y0 ) y0e x0x0Q(t )e x0dt

7、x0例 3、 ( x1) dynyex (x1) n 1dxdynn解：化简方程为：yex ( x1) n ，则 P(x)x, Q(x)ex (x1)n ;dxx11( x)eP ( x )dxendx( x 1)-n代入公式得到x 1所以， y(x)( x1) n(x 1) n ex ( x1) n dxC ( x1) n (exC )(C为常数 )(4) 、恰当方程：形如 M ( x, y)dxN (x, y)dy0, G (x, y), s.t. dGM ( x, y)dxN (x, y) dy解法：先判断是否是恰当方程：如果有M ( x, y)N ( x, y) 恒成立，那么原方程是个

8、恰当方程，找出一个yxG ( x, y), s.tG (x, y)M ( X , y),G( x, y)N ( x, y) ,xy有 G ( x, y)C,(C为常数 ) ；例 4、 (3x26xy2 )dx(6 x2 y4 y3 )dy0解：由题意得到，M (x, y)3x26xy2 , N ( x, y)6 x2 y4 y 3由 M12xyN 得到，原方程是一个恰当方程；yx下面求一个 G ( x, y), s.tG( x, y)M ( X , y),G (x, y)N (x, y)xy由 G( x, y)M ( X , y)3x26xy2 得( ,)x332y2( )xG x yxy ，

9、两边对 y 求偏导得到G6 x2 y( y) 6 x2 y4 y3 ，得到( y)4y3 ，有( y)y4 ，y故 G ( x, y)x33x2 y 2y4 ，由 dG0 ，得到x3x2 y 2y4C, (C为常数)3(5) 、积分因子法：方程 M ( x, y)dxN ( x, y) dy0,( x, y), s.t.MdxNdy0是一个恰当方程，那么称(x, y) 是原方程的积分因子；积分因子不唯一。MN当且仅当yx(x) ，原方程有只与 x 有关的积分因子，且为( x, y)e( x)dxN，两边同乘以( x, y) ，化为恰当方程，下同(4) 。MN当且仅当yx( y) ，原方程有只与

10、 y 有关的积分因子，且为( x, y)e( y )dyM，两边同乘以( x, y) ，化为恰当方程，下同(4) 。例 5.1、 (ex3 y2 )dx 2xydy 0解：由Mx y)ex3y2,Nxy) 2xyMN6 y 2 y 4 y， 且 有( ,( ,得xyMN2 dxyx( x)2x 2 ， 原 方 程 两 边 同 乘 x2， 有 (x, y) e x， 得 到Nxx2 (ex3y 2 )dx 2x3 y d y 0, 化为 d ( x22x2)exx3 y 2 )0 ，得到解为( x22x 2)exx3 y2C, (C为常数 )例 5.2、 ydx(xy 3 )dy0解: 由题意得

11、到， M ( x, y)y, N ( x, y)(xy 3 ) ，有MN1(1)2yxMN2 dyyx2( y)，有 ( x, y)e( y )dyy2 ，原方程两边同乘y 2 ，得有e yMy到dx(xy)dyd ( xy 2)0，得到原方程的解为：yy 2y2xy 2C,(C为常数 )y2(6) 、贝努力方程：形如 dyP( x) y Q( x) y n ,dxn) y ndy ，代入得到 du解法：令 uy1 n ，有 du (1(1 n) P(x)u(1 n)Q( x) ，下同（ 3）dx例 6、 dy 6 y xy2dxx解：令 uy 1 ，有 duy 2dy ，代入得到 du6 u

12、x ，则 P( x)6 ,Q( x) x ，dxxxP( x )dx6 x6 xdxx2C6 , (C为常数 ) ，把 u 代入得有 (x)eC x6 ，u( x) x8x到 1x2C ,(C为常数 ).y8x6(7) 、一阶隐式微分方程：一般形式：F ( x, y, y )0 ，解不出 y 的称为一阶隐式微分方程。下面介绍四种类型：(1) yf ( x, y )( 2) xf ( y, y )(3) F ( x, y )0(4) F ( y, y )0、形如yf(, dy)，xdx一般解法：令pdyf ( x, p) ，两边对 x 求导得到 pff dp，代入得到 yx，这是dxp dx关于

13、 x， p 的一阶线性微分方程，仿照(3) ，1、得出解为p( x,C ), C为常数 ，那么原方程的通解为yf (x,( x, C ), C为常数2、得出解为 x( p, C ), C为常数 ，那么原方程的通解为x( p, C)y, C为常数f ( ( p, C ), p)3、得出解为(x, p, C )0, C为常数 ，那么原方程的通解为( x, p, C ) 0y, C为常数f ( x, p)、形如xf(, dy)ydx一般解法：令pdy ，代入有 xf ( y, p) ，两边对 y 求导，得到1ff dp ，此方dxpyp dy程是一阶微分方程，可以按照以上(1) (5) 求出通解(

14、y, p,C )0, C为常数 ，那么原方程的通解为( y, p, C) 0x, C为常数f ( y, p)、形如 F ( x, y )0一般解法：设x(t )， dyy dx(t )(t) dt，两边积分得到y, (t为参数 )(t )y(t )(t) dtC, C为常数 ，于是有原方程的通解为y(t )(t) dt C, C为常数x(t)、形如 F ( y, y )0y(t )， 由 关 系 式 d yy d x 得(t)dt(t )dx ， 有一般解法：设y,(t为 参 数)(t )dx(t) dt ，两边积分得到x(t) dtC ， C为常数 ，于是有(t)(t)(t )x(t)dtC

15、，C为常数y(t )例 7.1xy 31 y解：令 py，得到1p113(1p)dpxp3，两边对y求导，得到( p3p 4)，pdy有 dy(2323C ,C为常数 ，于是通解为p2p3 )dp ，得到 y2 p2px1pp3，C为常数23Cy2 p 2p例 7.2yy 2ey解：令 py，得到 yp 2 ep，两边对 x 求导，得到p( p22 p)e p dp ，有dxdx ( p2) epdp ，两边积分得到 x( p1)epC ,C为常数 ，于是通解为x ( p 1)ep C, C为常数 y p2 e p例 7.3x 2y 21xcostsin t )dtcos 2t 1 dt ，所

16、以解：设, 有 dy y dx sin t (ysin t2sin 2ttC, C为常数y24于是通解为ysin 2ttC , C为常数42xcost例 7.4 y 2 (1y 2 ) 1ysin tdysin t1dtd( tan t) ，所以解：设1 , 有 dxdtycostycos2 tsin tcos2txtan tC, C为常数于是通解为x tan t C1 , C为常数ycost(8) 、里卡蒂方程：一般形式： dy( )2( )y(x)dxP x yQ xR1dydy01 dz一般解法：先找出一个特解y0 (x) ，那么令 yy0，有dxdx，代入原方zz2 dx程得到dy01dz1 21)() ，dxz2dxP( x)( y0)Q(x)( y0zR xz化简得到dz(2P(x) y0 Q(x) zP( x)0