材料力学习题问题详解1

1、(c)轴力图如题 2. 1 图( a) 、( b ) 、( c) 所示材料力学习题答案 12.1 试求图各杆 1-1 、2-2 、3-3 截面上的轴力，并作轴力图解：(a)F1140 30 20 50 kN ，F2 23020 10 kN ，F3320 kN(b)F11F ，F2 2 F F 0，F3 3FF1 1 0 ， F2 2 4F ， F3 3 4F F 3F2.2 作用于图示零件上的拉力 F=38kN，试问零件最大 拉应力发生在哪个截面上 ? 并求其值。解 截面 1-1 的面积为2A1 50 22 20 560 mm2截面 2-2 的面积为2A2 15 15 50 22 840 mm

2、2因为1-1截面和2-2 截面的轴力大小都为 F， 1-1截面面积比 2-2 截面面积小，故最大拉应力在截面 1-1 上，其数值为：max FNF 38 103 67.9 MPamax A1A15602.9 冷镦机的曲柄滑块机构如图所示。镦压工件时连杆接近水平位置，承受的 镦压力F=1100kN。连杆截面是矩形截面， 高度与宽度之比为 h 1.4 。材料为 45钢， b许用应力58MPa ，试确定截面尺寸 h及b。解 连杆的轴力等于镦压力 F，所以连杆正应力为F 。根据强度条件，应有FFA bh 1100 1036 0.1164 m 116.4 mm1.4 58 106bA，将 h 1.4代入

3、上式，解得b由 h 1.4 ，得 h 162.9 mm b所以，截面尺寸应为 b 116.4 mm ， h 162.9 mm 。2.12 在图示简易吊车中， BC为钢杆，AB为木杆。木杆AB的横截面面积 A1 100cm2 ， 许用应力 1 7MPa ；钢杆BC的横截面面积 A1 6cm2 ，许用拉应力2 160MPa 。试求许可吊重 F。解 B 铰链的受力图如图 （b） 所示，平衡条件为Fx 0 ， FNBC cos30 FNAB 0 （1）Fy 0， FNBC sin 30 F 0 （2）解（ 1）、（ 2）式，得FNBC 2F ， FNAB 3F（）(1) 按照钢杆的强度要求确定许可吊重

4、钢杆的强度条件为：FNBCA2由上式和 ( )式可得2 A2 1F FNBC 1 2 A2160 10 6 10 48000 N 48 kN2 2 2 2(2) 按木杆的强度要求确定许可吊重木杆的强度条件为：FNABA11由上式和 ( )式可得F FNAB1 AF N3AB31 A11 7 106 100 10 4 40415 N 40.4 kN比较上述求得的两种许可吊重值，可以确定吊车的许可吊重为40.4 kN 。2.14 某铣床工作台进给油缸如图 (a) 所示，缸工作油压 p2MPa ，油缸径 D=75mm，活塞杆直径 d=18mm。已知活塞杆材料的许用应力50MPa，试校核活塞杆的强度。

5、解 活塞杆的受力图 (b) 所示，由平衡条件可得其承受的拉力为：p22 p D2 d24活塞杆的应力：D2 d 2 2 106 0.0752 0.0182 d2 0.0182与许用应力 50MPa 比较可知，活塞杆可以安全工作2.18 变截面直杆的受力如图 (a) 所示。已知：A1 8cm2 ，A2 4cm2，E 200GPa 。求杆的总伸长l。解 杆的轴力图如图 (b) 所示，各段的伸长分别为：l1 FN1l1 ， l2FN2l2l1 EA1 ， l2EA2则总的伸长为l1 l2FN1l1 FN2l220 103 0.240 103 0.29EA1 EA2 200 109 810 42001

6、094 10 40.000075m 0.075 mm2.20 设图(a) 中CG 杆为刚体 (即 CG 杆的弯曲变形可以忽略 ) ，BC 杆为铜杆， DG 杆为钢杆， 两杆的 横截面面积分别为 A1和 A2 ，弹性 模量分别为 E1和 E2 。如要求 CG杆始终保持水平位置，试求 x解 CG杆的受力图如图 (b) 所示，其平衡条件为M c 0，Fx FN2lFy 0，FN1 FN2由拉压胡克定律得二杆的轴向变形为：l1FN1l1E1A1l2FN2l2E2A2欲使 CG 杆始终保持水平状态，必须 l1 l2，即FN1l1FN2l2E1A1E2 A2联立、式，解得：ll1E2 A2l2E1A1l1

7、E2A22.43 在图(a) 所示结构中，假设AC梁为 刚杆，杆 1、2、3的横截面面积相等， 材料相同。试求三杆的轴力。解 杆 ABC的受力图如图 (b) 所示， 平衡条件为：Fy 0，FN1 FN 2FN3M A 0 ，FN2a2FN 3a0变形的几何关系如图 (b) 所示，变形协调方程为l1 l3 2 l2利用胡克定律将式变为FN1lFN3l2FN 2lEA EA EA联立、式，解得5 ， 1 ，1FN1F ， FN 2F ， FN 363F62.44 如图(a) 所示刚杆 AB悬挂 于 1、2 两杆上，杆 1的横截面面 积为 60mm2 ，杆2为120mm2 ，且 两杆材料相同。若 F

8、=6kN，试求两杆的轴力及支座 A的反力解 杆 1、2的受力图如图 (b) 所示，这是个一次超静定问题，可利用的平衡 方程只有一个。M A 0，FN1 1 FN 22F3变形协调方程为：l1 FN1l1 EA2FN1 23120106FN11l2EA1 FN2l260 10 6FN243FN22解、式，得FN1 3.6 kNFN27.2 kN由平衡条件： Fy 0 ，FN1FN2FFRAy 0得： FRAy 4.8 kN 。2.58 图示凸缘联轴节传递的力偶矩 为 M e=200 N m，凸缘之间用四只螺栓连接，螺栓径 d 10mm，对称地分 布在 D0 80mm 的圆周上。如螺栓的剪切许用应

9、力60MPa ，试校核螺栓的剪切强度。解 假设每只螺栓所承受的剪力相同，都为 FS 。四个螺栓所受剪力对联轴节轴线的力矩之和与联轴节所传递的力偶矩 M e平衡，所以有：4FSD02因此，每只螺栓所承受的剪力为：FSMe2D020032 80 10 31250 N1.25 kN每只螺栓的切应力为：FS 4FS 4 1250SS22 15900000 Pa 15.9 MPa 60 MPaA d20.012所以，螺栓能安全工作2.59 一螺栓将拉杆与厚为 8mm的两块盖板相连接。各零件材料相同，许用应力为80MPa ，60MPa ， bs 160MPa 。若拉杆的厚度 =15mm，拉力F=120 k

10、N，试设计螺栓直径 d及拉杆宽度 b。解 (1) 按拉伸强度要求设计拉杆的宽度拉杆的轴力 FN F ，其强度条件为： FN F FA A b解上式，得120 10315 10 3 80 1060.1 m100 mm(2) 按剪切强度要求设计螺栓的直径 螺栓所承受的剪力为 FS F ，应满足剪切强度条件为：2F 4F22A 2 d 2解上式，得d2 120 10360 1060.0357 m 35.7 mm(3) 按挤压强度要求设计螺栓的直径 拉杆挤压强度条件为：bsFAbsbs解上式，得bs120 10315 10 3 160 1060.05 m50 mm 盖板的挤压强度条件为：bsF /2

11、F /2 F33Abs8 10 3d 16 10 3d解上式，得16 10 3bs120 10316 10 3 160 1060.047 m47 mm比较以上三种结果，取d=50mm，b=100mm。3.1 作图示各杆的扭矩图解 图(a) ，分别沿 1-1 、 2-2 截面将杆截开，受力图如图 (a1) 所示。应用 平衡条件可分别求得：T1 2M e， T2 M e 根据杆各段扭矩值，作出的扭矩图如图 (a2) 所示。 用同样的方法，可作题图 (b) 、(c) 所示杆的扭矩图，如图 (b1) 、(c1) 所示3.8 阶梯形圆轴直径分别为 d1=40mm， d2=70mm，轴 上装有三个皮带轮，

12、 如图(a) 所示。已知由轮 3输入 的功率为 P3=30kW，轮 1输出的功率为 P1=13kW，轴作 匀速转动，转速n=200r/min ，材料的剪切许用应力60MPa ，G=80GP，a 许用扭转角解 首先作阶梯轴的扭矩图2 / m。试校核轴的强度和刚度M e1 9549 P1 =9549 13 621 N me1 n 200P330M e3 9549 3 =95491433 N me3 n 200阶梯轴的扭矩图如图 (b) 所示。(1)强度校核AC段最大切应力为：T1M e1Wt1Wt16213 49400000 Pa0.0431649.4 MPa60 MPaAC段的最大工作切应力小于

13、许用切应力，满足强度要求。CD段的扭矩与 AC段的相同，但其直径比AC段的大，所以 CD段也满足强度要求。DB段上最大切应力为：T2M e314332 e3 3 21300000 Pa0.07316Wt2Wt221.3 MPa60 MPa故DB段的最大工作切应力小于许用切应力，满足强度要求。(2)刚度校核AC段的最大单位长度扭转角为：T 180GIP62190.04480 109321801.77 /m2 /mDB段的单位长度扭转角为：T 180GIP980 10914330.0741800.435 /m2 /m32综上所述可知，各段均满足强度、刚度要求。3.11 实心轴和空心轴通过牙嵌式离合

14、器连接在一起。已知轴的转速 n=100r/ min，传递的功率 P=7.5kW，材料的许用切应力=40MPa。试选择实心轴的直径d1和外径比值为 0.5 的空心轴的外径 D2。解 轴所传递的扭矩为P7.5T 9549 =9549 716 N mn100由实心圆轴的强度条件T 16Tmax3Wtd13可得实心圆轴的直径为：d116 71640 1060.045 m 45 mm空心圆轴的外径为：D2 3 16T 4 3 16 67164 0.046 m 46 mm1 4 40 106 1 0.54Me=1.08kNm，材料的许用3.13 桥式起重机如图所示。若传动轴传递的力偶矩应力 =40MP，a

15、 G=80GP，a 同时规定0.5 /m 。试设计轴的直径解 由圆轴扭转的强度条件maxT 16MWtd3可确定轴的直径为：51.6 mm由圆轴扭转的刚度条件T 180 32M e 180 GI P G d可确定轴的直径为d1804 32 1.08 103 18080 109 0.50.063 m63 mm比较两个直径值，取轴的直径 d 63 mm3.14 传动轴的转速 n=500r/min ，主动轮1输入功率 P1=368kW，从动轮2、3分别输 出功率P2=147kW，P3=221kW。已知 =70MP，a1 /m，G=80GP。a(1) 试确定 AB段的直径 d1 和BC段的直径 d2。

16、(2) 若AB和 BC两段选用同一直径，试确定直径 d(3) 主动轮和从动轮应如何安排才比较合理 ?根据强度条件：ABd16M e1解 首先计算外力偶矩M e1 9549 P1 =95493687028 N m 7030Nmn500M e3 9549 P3 =95492214220 N mn500应用以上外力偶矩数值，作轴的扭矩图如图(b) 所示(1) 确定AB段的直径 d1 和BC段的直径 d2可确定轴 AB段的直径为：d116M e1 3由刚度条件TAB 180 32M e1 180G d14GI P16707031006 0.080 m 80 mm可确定轴 AB段的直径为：9 2 0.0

17、846 m 84.6 mm80 109 1 2d 32M e 180 4 32 7030 180比较由强度条件和刚度条件计算的 AB段的直径值，取 d1 85mm 。d216M e2 3根据强度条件确定轴 BC段的直径为：16 42206 0.0675 m 67.5 mm70 106根据刚度条件确定 BC段的直径为：d2 432Me2 180 4 32 42920 18020.0745 m 74.5 mm80 109 1 2比较由强度条件和刚度条件计算的 AB段的直径值，取 d2 75mm 。(2) 若AB和BC段选用同一直径，则轴的直径取 d1 85mm 。(3) 主动轮放在两从动轮之间，可

18、使最大扭矩取最小值，所以，这种安排较合理。4.1 试求图 (c) 和(f) 所示各梁中截面 1-1、2-2、3-3上的剪力和弯矩，这些截面无限接近于截面 C或截面 D。设F 、q、a 均为已知。解 (c)截面1-1 力为：FS11 2 3 2 F qa 2qa ， M1Fa qa qa22截面 2-2力为：FS2F qa 2qa ， M 2 M CFa12 qa212qa2(f) 截面1-1 力为：12FS1 qa ， M12qa2MC Fi 0 ， FR2a 由上式可得： FR2 qa 截面 2-2力为：3FS2FR2 F qa212MC2Faqa2 02152qa2qa2qa，M2MC F

19、a 2qa2 。(1) 列出。max4.4 设图 (a) 、(d) 、(h) 、(j) 和(l) 所示各梁的载荷 F、q、Me和尺寸 a梁的剪力方程和弯矩方程； (2) 作剪力图和弯矩图； (3) 确定 FS max及 M解 (a) 受力如图 (a) 所示(1) 列剪力方程和弯矩方程用假想截面截开，取右段进行研究可得剪力2F0 x a0a x 2aF 2x a0 xaFaax2aMxFSMmax 2Fmax Fa方程和弯矩方程：(2) 作剪力图、弯矩图如题图(a2) 所示。(3) 梁的最大剪力和弯矩(d) 受力如图 (d) 所示(1) 计算支反力 FA和 FB由 MA Fi 0可得： 2aFB

20、 Me Fa 0， FB F由 Fiy 0 可得： FA 0(2) 列剪力方程和弯矩方程 剪力方程为：0 0 x aFS xS F a x 2a 弯矩方程为：0 0 x aMxF 2a x a x 2a(3) 作剪力图、弯矩图如题图(d2) 所示。(4) 梁的最大剪力和弯矩FSmaxmaxFaFFS x7F25F2弯矩方程为：FxFM x 7x25F 3a2(h) 受力如图 (h) 所示(1) 计算支反力 FC 和 FB由 MC Fi 0 可得：52aFB 6Fa Fa 0 ， FBF2由 Fiy 0 可得：9FC 6F F FB F2(2) 列剪力方程和弯矩方程剪力方程为：0 x aa x

21、2a2a x 3a0 x a9aa x 2ax2a x 3a(3) 作剪力图、弯矩图如题图(h2) 所示。(4) 梁的最大剪力和弯矩7FS max2F5M max 2 Fa(j) 受力如图 (j) 所示(1) 计算支反力 FC 和 FE 由 MC Fi 0 可得：2FE 30 1 2.5 20 1 30 1 0.5由上式可得FE40 kNFiy 0 可得：FC2 30 1 20 40 40 kN(2) 列剪力方程和弯矩方程剪力方程为：30x101030 4 x01231234弯矩方程为：15x210x 25Mx15 10x2x15 4(3) 作剪力图、弯矩图如题图(j2)所示。(4) 梁的最大

22、剪力和弯矩FS maxmax30 kN15 kN m(l) 受力如图 (l) 所示(1) 列剪力方程和弯矩方程用假想截面截开，取左段进行研究可得剪力方程和弯矩方程：qx 0 x aFS xqqaxa 0 xx 2aaMx122qx232 qax 2qa20 x aa x 2a(2) 作剪力图、弯矩图 如题图 (l2) 所示。(3) 梁的最大剪力和弯矩qa122qa25.4 矩形截面悬臂梁如图所示，已知l 4m， bh2， q 10kN /m ，310MPa 。试确定此梁横截面的尺寸。解 显而易见，梁的最大弯矩发生在固定端截面上M max21ql 2221 10 42 80 kN m梁的强度条件

23、为：3M 80 103W1bh26将bh23代入上式得h3318 80 1033 18 80 1032 10 1060.416 m 416 mm5.12b 2h 2 416 277 mm 。 3形截面铸铁悬臂梁，尺寸及载荷如图 (a) 所示。若材料的拉伸许用应力 t40MPa ，压缩许用应力160MPa ，截面对形心轴 zc 的惯性矩 Iz 10 180cm4 ，h1 9.64cm ，试计算该梁的许可载荷 F。解 梁的弯矩图如图 (b) 所示，弯矩的两个极值分别为： M10.8F ，M 2 0.6F 。根据弯曲正应力的强度条件maxM max ymaxIzC由A截面的强度要求确定许可载荷由抗拉

24、强度要求得：F 0.8h1t IzC40 106 10180 10 8 52800 N 52.8 kN0.8 9.64 10 2由抗压强度要求得：680.8 15.4 10 2F C I zC 160 10 10180 10 1322000 N 132.2 kN0.8h2由C 截面的强度要求确定许可载荷由抗拉强度要求得：40 10610180 10 80.6h20.6 15.4 1044100 N44.1 kN显然 C截面的压应力小于 A截面同侧的拉应力，不必进行计算。许用载荷为F 44.1 kN 。5.16 铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图(a) 所示。许用拉应力应力 c160MPa 。试按正应

25、力强度条件校核梁的强度。若载荷不变，但将 T形横截面t 40MPa ，许用压倒置，即翼缘在下成为形， 是否合理 ? 何故?解 截面的几何性质yc20 3 10 20 3 21.5 15.8 cm2 20 3Izc1 3 203 20122 1 35.8220 331220 3221.5 15.86012 cm4组合面积的形心：z zck yi Ai yc i 1k，平行轴定理： Iz Izc Ad2 )Aii1作梁的弯矩图如图 (b) 所示。根据弯曲正应力的强度条件M max ymax max IzCB截面上的最大拉应力和最大压应力为：M max ymax tI zC3220 103 23 1

26、5.8 10 223.956012 10 8106 Pa 24.0 MPat 40 MPaM max ymax cI zC20 103 15.8 10 2 52.56 106 Pa6012 10 852.6 MPa160MPaC截面上的最大拉应力和最大压应力为：M max ymax tI zC10 103 15.8 10 2 26.28 1066012 10 8Pa 26.3 MPa40 MPaM max ymax cIzC3210 103 23 15.8 10 26012 10 811.98 106 Pa 12.0MPac 160 MPa由此可知， 最大应力小于许用应力，安全。若截面倒置呈形

27、，则 B截面的最大拉应力将增大为：M max ymax tI20 103 15.8 10 2 52.56 106 Pa 52.6 MPazC6012 10 840 MPa显然，这样抗拉强度不够，因而截面倒置使用不合理。5.18 试计算在均布载荷作用下，圆截面简支梁的最大正应力和最大切应力，并指出它们发生于何处。解 求支反力 FA 和 FBFA FB 1ql 5 kN2剪力和弯矩分别为：FS xFA qx 5 10x kN ， 0 x 11 2 2M xFAxqx 5x 5x kN m ， 0x1画出的简支梁的剪力图和弯矩图如图 (b) 、 (c) 所示。由剪力和弯矩公式可得：M max1.25

28、 kN m ， FSmax 5 kN最大正应力maxmax32 1.25 1030.053101860000 Pa101.9 MPa如图 (a) 所最大正应力发生在跨中点处圆截面竖向直径的上、下端点上，示。最大切应力 注：书 P152： max 4Fs2 (5-12 )3Rmax4FSmax3 R24 5 1033 0.02523395000 Pa3.4 MPa最大切应力发生在 A、 B 截面的中性轴上。5.19 试计算图 (a) 所示工字钢截面梁的最大正应力和最大切应力。解 利用平衡条件求出工字梁的约束反力410 20 5 25 kN并标示在图 (b) 中，作剪力图FB20 2 10 2 5

29、 hN和弯矩图，分别如图 (c) 、(d) 所示。No.16工字钢截面的几何性质可查附录三型钢表获得。I z S 13.8cm ， d 6mm( 腹板宽度 ) 式中， Iz S 是截面对中性轴的惯性矩与半截面的静矩之比。Iz 1130cm 4 ， Wz 141cm3 ，最大正应力和最大切应力：maxmaxmaxWz20 103141 10 6FS*Smax zmaxbIz141800000 Pa15 1036 10 3 13.810 2141.8 MPa18100000 Pa18.1 MPa注： max FSmax Szmax ：FSSz 书 P151，在中性轴处，切应力最大)bI zbIz6

30、.10 用叠加法求图 (a) 、(c) 所示各梁截面 A 的挠度和截面 B的转角。EI 为已知常数。解 (a) 图 (a) 的受力可分解为如图 (a1) 的受力。查附录二可得 (注：P188： l l /2)wA1Fl 3 ，24EI ，2Me l /2 22EIFl38EIB1Fl28EIB2M elEIFl2EI由叠加原理有wA wA1wA2Fl38EIFl324EIFl36EIB B1B2Fl28EIFl2EI9Fl 2 ，8EI ，(c) 如图 (c) 、(c1) 、(c2) 所示由图 (c) 、(c1) 可见wA wA 1 wA 2因 wA wA，查附录二得 w5ql4384EI所以， wA1 wA5ql42 A 1 768EI由图 (c) 、(c2) 可见3 而 B 1 2ql384EI 这个的根据 )，所以 B12Bql 3 。384EI这个的根据为补充例