轴对称综合提高练习

1、轴对称综合提高练习知识点拨1. 非等腰三角形中边角的不等关系：在一个三角形中，如果两边不相等，那么它们所对的角也不相等，大边对大角；如果两角不相等，那么它们所对的边也不相等， 大角对大边.可 利用图和图证明这两个事实.xAa),关于AB = AC，/ BAC = 30, AD 为 BC 边上的高，P 点在 AC 的最小值为4，则 ABC的面积为（ ）D. 642. 平面直角坐标系中，关于坐标轴夹角平分线对称的点的坐标特征：如图，如果点 的坐标是（a, b）,那么点A关于一、三象限角平分线对称的点B的坐标是（b,二、四象限角平分线对称的点C的坐标是（一b,- a） 点A在其他象限时这一规律仍然成

2、立，只要两点关于一、三象限角平分线对称，其横、纵坐标互换位置；关于二、四象限角平 分线对称，其横、纵坐标变号后互换位置.能力提升类例1 已知等腰厶ABC中， 上，E点在AD上，若PE+ ECA. 8 B.16 C. 32B ( 2, 4)、C (- 1, 2)、D ( 1, 2)、E (- 3, 1 )、F (3,例2 已知点A （- 2, 4）、1）是平面直角坐标系内的 6个点，选择其中三个点连成一个三角形，剩下三个点连成另一 个三角形，若这两个三角形关于 y轴对称，就称为一组对称三角形，那么，坐标系中能找出 组对称三角形.y JA 4* B3-C * 2-DE 11 1 1 1 F-4 -

3、3 -2 -1 01234综合运用类例3如图所示，把正方形纸片ABCD对折后打开，折痕为MN ,再把顶点D折到MN 上的一点P上，折痕为CE，把顶点A折到MN上的同一点，折痕为 BF，请回答下列问题：(1) 线段PC、PB与正方形的边长有什么关系？(2) Z CPB的度数是多少？(3) 还能知道哪些角的度数？请指出来.已知：如图所示， ABC 求证：PB+ PC= PA.是等边三角形，P是三角形外的一点， 且/ ABP + Z ACP思维拓展类例5 如图所示，在 ABC中，AB = AC , F是AC上一点，在 BA延长线上取一点 E 使AE = AF，连结EF并延长，交 BC于D，求证：EF

4、丄BC .例6 如图所示， ABC的边BC在直线I上，AC丄BC,且AC = BC; EFP的边FP 也在直线I上，边 EF与边 AC重合，且 EF = FP, EF丄FP.(1) 在图1中，请你通过观察测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置 关系；(2) 将厶EFP沿直线I向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q,连结AP、BQ , 猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；(3) 将厶EFP沿直线I向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点 Q , 连结AP、BQ,你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若

5、不成立，请说明理由.图1图2EA、等腰三角形中常用到的辅助线1. 通常作底边的高、中线或顶角平分线;2. 底边有中点时，常常连底边上的中线；3. 截长补短法.在证明多条线段的和差关系时常用此法，特别是在已知条件中有角平分 线时，一般是在长边上截取短边，构造全等三角形.以上添加辅助线的最终目的是：通过等腰三角形、角平分线、线段的垂直平分线、 全等 三角形把分散的边角关系进行集中.二、几何证明题的分析方法从已知条件入手，运用定义、定理、公理逐步推出结论的方法叫做综合法.从要证明的结论出发，根据定义、性质、定理、公理，寻找能使结论成立的条件，一直追溯到能使结论 成立的条件与已知条件吻合的方法叫做分析

6、法.在解几何问题时，两种方法常结合使用， 使问题顺利解决.在直角三角形中，如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半.(1) 该性质揭示了 30角直角三角形的边的数量关系的特殊性.(2) 此性质的前提是“在直角三角形中”.在解题时，如果只知道一个三角形有一个角 为30,就说这个角的对边等于某邻边的一半，是错误的.(3) 该性质主要应用于计算和证明线段的倍分关系.(4) 该性质的逆命题也是真命题，即：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30.、选择题1. 一个人站在平面镜前，哪一面镜子里是他的像？（）2.如图所示，在 Rt ABC中，/ B = 90

7、, ED是AC的垂直平分线，交 AC于点D,交BC于点E.已知/ BAE = 10，则/ C的度数为（ ）A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 3.等腰三角形中，有一个角是50,则它的一条腰上的高与底边的夹角是（A. 25 B. 40 C. 25 或 40D.以上都不对*4.在平面直角坐标系内，有等腰三角形AOB , O是坐标原点，点 A的坐标是（a, b）,底边AB的中线在第一、三象限的角平分线上，则点B的坐标为（）A. （b, a）B. （ a, b） C. （a, b） D. （ a, b）5.如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60的角，在直线I上取一点P, 使得

8、/ APB = 30，则满足条件的点 P的个数是（）A. 3个 B. 2个 C. 1个 D.不存在P6.如图所示， ABP与厶CDP是两个全等的等边三角形，且 PA丄PD.有下列四个结论： / PBC= 15 :AD / BC;直线PC与AB垂直；四边形 ABCD是轴对称图形.其 中正确结论的个数为（）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个C、填空题7小明把一张长方形的纸对折 2次，描上一个四边形，再剪去这个图形（镂空），展开长方形纸，得到如下图案，设折痕为li、I2、I3，观察图形并填空:n厂1nI 1I2|3四边形与四边形关于 成轴对称；折痕 I2既是与的对称轴；又是 与的对称轴；

9、从整体看也是 与的对称轴.8. 在平面直角坐标系中，点 A、B、C、D的坐标分别为（一1 , 3）、（一 2, 4）、（ 1 , 3）、 （2, 4）,则线段AB与CD的位置关系是 .9. 如图所示，直线 AB、CD相交于点 0.若 0M = ON = MN，那么/ APQ + Z CQP =D10. 如图所示，在 ABC中，/ B = Z C,FD 丄 BC 于 D, DE 丄 AB 于 E,Z AFD = 158则/ EDF等于=DC三、综合运用11. 如图所示，AD是厶ABC中/ BAC的平分线，P是AD上的任一点，且 AB AC ,求 证：AB AC PB PC.C12. 一艘轮船由西

10、向东航行，在 A处测得小岛P的方位是北偏东75,又航行7海里后， 在B处测得小岛P的方位是北偏东60,若小岛周围3.8海里内有暗礁，问该船一直向东 航行有无触礁的危险.13. 已知：如图， ABC中，BC边中垂线 ED交BC于E,交BA延长线于 D，过C作1 1CF丄BD 于 F，交 DE 于 G, DF = qBC，试证明：/ FCB = -/ B .C14. 如图所示， ABC 中，AB = AC，/ A = 100 , BD 平分/ ABC，求证：BC = BD + AD .15. (1)已知 ABC中，/ A = 90,/ B = 67.5，请画一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形

11、.(把所有不同的分割方法都画出来，要在图中标出相等两角的度数.)(2)已知 ABC中，/ C是其最小的内角，过顶点 B的一条直线把这个三角形分割成了 两个等腰三角形，请探求/ ABC与/ C之间的关系.例1 一点通：设点P关于AD的对称点为点 P则点P定在AB上，且CP丄AB时PE+ EC的值最小，即 PE+ EC的值最小.所以在 Rt ACP冲/BAC = 30, AC = 2CP = 8,1i所以 AB = 8, Cp 4 所以 SgBc = 1AB CP = 2X 8X 4 = 16.pC答案：B点评：线段最短问题一般与轴对称有关，解答本题的关键是通过作某线段端点的对称点，将两条线段之和

12、的最小问题转化为点到直线的距离问题本题有两种作法：一、作点P关于AD的对称点P二、作点C关于直线AD的对称点，由等腰三角形的对称性可知， 这个点就是点B，连结BE即可.例2 一点通：很明显 ACE和厶BDF关于y轴对称.本题的难点在于确定是否还有其他的 对称三角形， 分成两组，答案：因为这6个点可以组成很多三角形, 两组中不能有重复的点， 4，如图所示：如厶ABC,还应注意，这样的对称三角形是把 6个点和厶BAD虽然关于y轴对称，但不符合题意.第三点只能是y轴左侧剩下的那一点或它的对称点，即厶ACE与厶BDF， ACF点评：成三角形，与厶BDE等，共6组，其中 ACE与厶BDF重复出现3 次,

13、所以一共有4组对称三角形.如 果不按规律，则很容易造成漏解.MN，又得到折痕EC、例3 一点通：此题利用轴对称图形的性质，首先得到折痕（对称轴）BF，它们所在的直线都是对称轴，即CPE与厶CDE关于CE所在的直线对称， ABF与 PBF关于BF所在的直线对称，根据轴对称的性质可得到对应边相等，对应角相等，从而 得出 PBC是等边三角形这个事实.答案：（1 ）由折叠的性质得：线段 PC、PB均等于正方形的边长，PC= PB; （2）由（1） 可知，PC= PB = BC，所以 PBC是等边三角形，所以/ CPB= 60; （3）由（1 ）、（2）可 知：/ 1 = 7 2=7 3=7 4 = 7

14、5，/ 5=7 6= 30，/ 7=7 8=7 9=7 10= 15，/ MFP =Z MEP = 30，7 EPF= 120，7 NPF = 7 NPE = 120，等等.点评：此题提供了一种通过折叠裁剪等边三角形的方法，要记住哟！例4 一点通：欲证PB+ PC= PA,可考虑将BP、PC转移到同一条直线上，将问题转化为证 明线段相等，由条件/ ABP + Z ACP = 180,此题较适合补短，即延长 PC到D,使CD = BP,连结AD，证明AP = PD即可也可以延长 BP到点D，使PD = PC,连结CD .答案：延长 PC 到点 D，使 CD = BP,连结 AD ./ ABP +

15、 Z ACP = 180。，/ ACP +AB = AC/ ACD = 180,./ ABP =Z ACD .在 ABP 和厶 ACD 中， / ABP = Z ACDABPl、BP = CD ACD (SAS) , . AP = AD，/ BAP = Z CAD . v/ BAP + Z PAC = 60,./ CAD +/ PAC = 60,即/ PAD = 60,.A PAD 是等边三角形.二 PC+ CD = PD= PA. . PB +PC= PA.D点评：求多条线段间的长度关系时有两条主要的思路，一是找出与所求线段相等的线段,等量代换；二是利用截长补短法.例5 一点通：证明两线垂直

16、，可证明其夹角为90,已知条件中没有与 90有关的条件，本题解法较多，可分为两类：一是不添加辅助线，利用平角或三角形内角和通过计算求/ BDE的度数.二是构造出直角.作等腰三角形的对称轴，如图和图，可构造直角；女口 图、，其原理一样，都是先作垂直，再证明有关线段的位置关系；如图，把DE构造成一个等腰三角形的对称轴.答案：证法 1 : v AB = AC，./ B=/ C,./ EAF = 2/ B . v AE = AF，./ E=/ AFE,./ BAC = 2 / E . / EAF + / BAC = 180,. 2/ E + 2/ B = 180,./ E + /B =90 ,./ B

17、DE = 90, 即 卩 EF 丄 BC .证法2:过点 A作AG丄BC于G,如图所示.v AE = AF，./ AFE = / E,./ BAC = / AFE +/ E= 2/ AFE .在等腰三角形 ABC 中，AG 丄BC，./ BAC = 2/ GAC，./GAC =/ AFE , . AG / ED, v AG 丄 BC , . EF 丄 BC .1证法3:过点A作AH丄EF于H，如图所示.v AE = AF , AH丄EF，./ EAH = ? /1EAF . v AB = AC，./ B = / C,又/ EAF = / B+/ C, ./ B = ?/EAF . ./ EAH

18、 =/ B ,.AH / BC , v AH 丄 EF,. EF BC .证法4 :过点C作MC丄BC于C,交BA的延长线于 M，如图所示.v/ M + / B =90,/ ACB +/ ACM = 90,又v/ B = / ACB，. / M = / ACM . v/ AEF =/ AFE ,且/ AEF + Z AFE = Z M + Z ACM = 180/ MACM = Z AEF . a EF/ MC EF丄BC .证法5:过E作EN丄EF于E,交CA的延长线于 N，如图所示EN丄EF,a/NEA +/ AEF = 90,/ N + / EFN = 90,t / AEF = / AF

19、E , a / N = / NEA .又/ B = / C,且/ B +/ C=/ N+/ NEA = 180 / BAC , a/ N = / C, a NE / BC, t NE 丄 EF, a EF 丄 BC.t/ B = / ACB , a / B = / P. a ED 丄 BP,即卩 EF BC .证法6 :过点E作EP / AC,交BC的延长线于点 P,如图所示.t EP / AC ,a / P=/ ACB ,=/ AEF ,点评:ENAB -DDt/ PEF=/ AFE , / AFE = / AEF , a/ PEFEF丄BC,这些方法可分成两类：一是由角之间的关系利 用三角

20、形内角和来证；二是利用等腰三角形的轴对称性构造具有垂直关系的线段.例6 一点通：第(1)问易解，第(2)、(3)问先猜测结论再证明，因为图 2和图3是平移 变换过程中两个不同的状态，所以其结论和证明方法应该类似从图2和图3来看，BQ和AP的数量关系和位置关系比较容易猜测，是相等且垂直的关系关键是如何证明，BQ和AP相距较远，可考虑利用三角形全等来证； 线段BQ和AP不相交，可延长BQ与AP相交， 利用角之间的关系证明其夹角是 90.答案：(1) AB = AP, AB 丄 AP .(2) BQ = AP ; BQ丄 AP .证明：由已知得 EF = FP, EF丄 FP ,a / EPF= 4

21、5，又 AC 丄BC ,a / CQP =/ CPQ= 45,a CQ = CP,又 BC = AC , / BCQ = / ACP = 90, a Rt BCQ也 Rt ACP , a BQ = AP;延长 BQ 交 AP 于点 M ,t Rt BCQ也 Rt ACP , a / CBQ = / CAP，又/ CBQ +/ CQB = 90,/ CQB =/ AQM , a / CAP + / AQM = 90,a BQ丄 AP;(3) 成立，证明：t/ EPF = 45,a/ CPQ = 45，又 AC 丄 BC ,a / CQP=/ CPQ = 45,a CQ = CP,又 BC = A

22、C，/ BCQ = / ACP = 90,a Rt BCQ也 Rt ACP , a BQ = AP ;延长 QB 交 AP 于点 N，则/ PBN = / CBQ ,t/ BQC + / CBQ = 90,a / APC + /PBN = 90 ,a BQ 丄 AP .点评：这是一道与平移变换有关的图形探索问题，解答这类问题时， 应重点分析变换过程中变化的量和不变的量.在本题中Rt BCQ也Rt ACP是一种始终不变的关系，它也正是BQ = AP、BQ丄AP的原因.B作BPi丄AB交直线I于点R，则/ AP = 30 .作AP2长CP交AB于点Q，可通过三角形内角和证明/CQB = 90，即

23、PC丄AB ;因为 AD /一、选择题1. B 解析：注意观察裤子上的图案，在抱球的那一侧.2. B 解析：由题意可知，/ BAE + 2/C= 90,所以/ C= 40.13. C 解析：如果这个角是顶角，那么底角是2（ 18 50）= 65,此时一腰上的高与底边的夹角是 90 65 = 25;如果这个角是底角，那么一腰上的高与底边的夹角是 90 50= 404. A 解析：利用本讲专家点拨中的规律方法可求.5. B解析：如图所示，过点 丄I 于点 P2,则/ AP2B = 306. D 解析：根据题意，/PBC = 15易证；可通过同旁内角互补证得 AD / BC;延BC，所以过点P与AD

24、垂直的直线必与 BC垂直，这条直线也同时平分 AD和BC，所以有 四边形ABCD是轴对称图形.二、填空题7.11 :；和和8. 关于y轴对称9. 240 解析：因为 0M = 0N= MN，所以 OMN是等边三角形，所以/ MON = 60， 所以/ AOM = 120./ APQ、/ CQP、/ AOM 是厶OPQ的三个外角，其和是 360，所 以/ APQ + / CQP= 360 120= 240 .10. 68 解析：在 Rt BDE 和 Rt CFD 中，/ B = / C，所以/ BDE = / CFD = 180 / AFD = 22，所以/ EDF = 90 22= 68.三、

25、综合运用11. 证明：在 AB上取一点 E，使 AE = AC，连结 PE，易得 AEP ACP，所以PE = 卩。在厶 BEP 中，BE + PE PB，即（AB AC）+ PC PB，所以 AB AC PB PC.DC12. 解：依题意画图，贝U AB = 7海里，过点P作PC丄AB于C，则由题意可知/ PBC =30，a/ APB = / PBC / PAB = 30 15= 15，a/ PAB =/ APB，a PB = AB = 7 11（海里）. PC= 1PB=寸X 7= 3.5 （海里）.I PC v 3.8海里，a该船一直向东航行有触礁的危险.北1 113. 证明：如图，连结

26、 CD DE 垂直平分 BC,. CE =BCDF = BC ,二 CE =DF .由 CF 丄 BD , DE 丄 BC 得/ DFG = Z CEG= 90,又/ FGD =Z EGC,.A FGD EGC(AAS ) EG= FG, DG = CG, a DG + EG = CG+ FG,即 DE = CF.在厶 BCF 和厶 BDE / B = Z B1i中，/ BFC = Z BED = 90 , BFC BED ( AAS ) , BD = BC . DF= 2bc =BD , DE = CF1 CF 是 BD 的中垂线，/ BCF = 2/ BCD又 DE是BC的中垂线，/ B

27、= Z BCD ,1/ BCF =刁/B .或连结 BG,如图，证得FGD EGC, 有 FG= EG, BG 是/ DBC的平分线，/1GBC =孑/DBC .又T DE 是 BC 的中垂线，/ GBC = Z FCB，即/ FCB =14. 证明：本题可采用“截长”或“补短”两种方法.如图，在BC上截取BF = BA ,BE = BD .在 ABC 中，/ A = 100, AB = AC，/ ABC = Z C= 40.v BD 平分/AB = FBABC，在 ABD 和厶 FBD 中，/ ABD =Z FBD , ABD FBD (SAS) . AD = DF, BD = BD1/ DBF = 2/ ABC = 20,/ BFD = Z A = 100。.在 BDE 中，BD = BE，/ DBC = 20,1/ BED = 2 (180 20)= 80,/ DFE = 180-/ BFD = 80，即/ BED =/ DFE , DE = DF .又T/ C = 40, / CDE = / BED / C = 40,a EC= DE .即 EC = DE = DF = AD