机器人静力学及动力学.

1、第四章机器人静力学及动力学4.1.1微分变换为了补偿机器人木端执行器位姿与目标物体之间的误差，以 及解决两个不同坐标系之间的微位移关系问题，需要讨论机器人 杆件在作微小运动时的位姿变化。一变换的微分假设一变换的元素是某个变量的函数，对该变换的微分就是 该变换矩阵各元素对该变量的偏导数所组成的变换矩阵乘以该变 量的微分。例如给定变换T为：若它的元素是变量X的函数，则T的微分为：二微分运动设机器人某一杆件相对于基坐标系的位姿为T,经过微运动 后该杆件相对基坐标系的位姿变为T+dT,若这个微运动是相对 于基坐标系（静系）进行的（右乘），总可以用微小的平移和旋转 来表示，即T + dT = Trans

2、 (dRot k ydO)T所以得dT = Trans (d,y,d JRot 舗，d0) I心花根据齐次变换的相对性，若微运动是相对某个杆件坐标系i （动系） 进行的（左乘），贝jT+dT可以表示为T + dT = TTrans (d ,dr)Rot 伙，d&)Y y *所以得dT = T rrans (d =,d、,d JRot (k ,d 0) - 1 * = Trans (cl x.d x.d z)Rot (k .dO) - /4x4则相对基系有dT=A0T,相对i系有dT=TAjo这里A的下标不同是由 于微运动相对不同坐标系进行的。Trans ( dx、dy , dz )=100dv

3、00dy00dz0001Rot (4d&)1kdO一0一 k.dO1k dOX0k、de-kxdO10于是得 = Trans (dx.dy,dz)Rot (k.dO) 一 ；4x40kdO-kydO0一匕d&if0kde0kydo-kdO00dxdydz0三微分平移和微分旋转微分平移变换与一般平移 变换一样，其变换矩阵为：由于微分旋转e0,所以sinGdO, cosOl, Vers0-O,将 它们 代入旋转变换通式中得微分旋转表达式：四微分旋转的无序性当 0*0 时，有 sinOd0, cosO 1.若令6乂=(1乞，心尸“包， 6z=d6z,则绕三个坐标轴的微分旋转矩阵分别为两者结果相同，可

4、见这里左乘与右乘等效。微分旋转其结果与转动次序无关，这是与有限转动(一般旋 转)的一个重要区别。同理可得_ 1-Sz0Rot （x, dx）Rot （ y, Jy ）Rot （z,况）=1dx0dy6x100001若Rot ( 8x, 8y, 8z )和Rot (, 8z4 )表示两个不同的微分旋转，则两次连续转动的结果为： 1一（& + &,）Sy + Sy0Rot6x.Sy，&=& +氐1一（& + &）0-Sy + Sy）8x + Sx10. 0001任意两个微分旋转的结果为绕每个轴转动的元素的代 数和，即微分旋转是可加的。等效，有由等效转轴和等效转角与Rot (x, 6x)Rot (y

5、. 6y)Rot (乙炭)Rot (k = Rot x.6x)Rot y. Sy)Rot (z,&)-k dokydO0所以有kxdO=dx, kvd0=6y , kzd0=6z将它们代入A得 0一“6.0_ 8d=Xy一 880d.yX0000 因此A可以看成由 叫微分平移矢量。阿个矢量组成, 分别表示为& =以+乙丿+母d = dxi + d J + d .k.合称为微分运动矢量，可表示为例：已知一个坐标系A,相对固定系的微分平 移矢量求微分变换dA。d = i + 0.5k,微分旋转矢量001IO11005A =01000001 I解:/ =0X0J 4 0 dy o d,0 000一

6、0.1000000.100000.50L 000.11ro011(T00.101000010050000/. dA =AA=-0.1000.50110000一 0.1一 0.50000|o0010000五两坐标系之间的微分关系现在讨论i系和j系之间的微分关系。不失一般性，假定j系就 是固定系（基系）0系。因为（）_ &号0-&dy dz亠严-另&00000 0dx t织=00俎0000 J将它们代入前面的方程aOtaolddx.n y（px心（P k n）y（P x n）zdxo yOz（Px oh（P x o ）（“x ohdy得化sa yClz（px a）x（P a）.（“x仏dz8xI0

7、00nxsnzSx000xOyo.号000axayClz上式简写成Rt 一;r0 jyT i爪其中对于任何三维矢量,其反对称矩阵!呢定义为: -pz pypz 0 -Pz-Py Px 相应地，任意两坐标系A和B之间广义速度的坐标变换为:AyA；R-：RS 攵 Pa0Lt例：知坐标系A及相对于固定系的微分平移矢量A系中等价的微分平移矢量比和微分旋转矢 量*0 0 1 1010 05=01000 0 0 1解:因为已知(n.o.a.p)可以根据前面的公式求得dA和氓。也可根据与它一样的另一组表达式（写法不同）求解，即心 i =nxp) + cf) g = 6 (左 x p)十 J) =a-(左 x

8、 p) + d)=i + 0.5)1$ = 01J求得d- = (0,0.5J)r= (O.l.O.O)7为了验证这一结果，先求Aa0000 100一 0.1一 0.5八00.101000o _|再得dA00110000000.101100500-0.1-0.50000dA = A =A010000.10100-0.1-0.5000100000000 _验证的结果是与上例dA=AA的计算结果完全一样。4.1.2雅可比矩阵容易求得 Ox血.ccix =He、dy = 10. + -叫将其微分得写成矩阵形式OxdOxdO.图3-17两自由度平面机械手两空间之间速度的线性映射关系一雅可比矩阵（简称雅

9、可 比）。它可以看成是从关节空间到操作空间运动速度的传动比, 同时也可用来表示两空间之间力的传递关系。首先来看一个两自由度的 平面机械手，如图317所示。一 lS 一 Z2512- Z2512wL叽lici + l2cl2/宀2 .de.J 厶简写成：dx=Jd0o可以更一般的写成D = Jq)dq式中J就称为机械手的雅可比（Jacobian）矩阵，它由函数x, y的偏微分组成，反映了关节微小位移10与手部（手爪）微小运 动dx之间的关系。假设关节速度为,手爪速度为I对dx=Jde两边同除以dt,得因此机械手的雅可比矩阵定义为它的操作空间速度与关节空间速度的线性变换。（或v）称为手爪在操作空间

10、中的广义速度,简称操作速度,节速度。J若是6 xn的偏导数矩阵，它的第i行第j列的元素为：式中，x代表操作空间，q代表关节空间。若令Jl, J2分别为上例中雅可比矩阵的第一列矢量和第二 列矢量，即可以看出，雅可比矩阵的每一列表示其它关节不动而某一关节以 单位速度运动产生的端点速度。由,可以看出，J阵的值随手爪位置的不同而不同，即0和罠的改变会导致J的变化。对于关节空间的某些形位，机械手的雅可比矩阵的秩减少， 这些形位称为操作脣(机械手)的奇异形位。上例机械手雅可比 矩阵的行列式为：det(J)=/7Z2s2当02=0或02=180时，机械 手的雅可比行列式为0,矩阵的秩 为1,因此处于奇异状态

11、。在奇异 形位时，机械手在操作空间的自 由度将减少。只要知道机械手的雅可比J是满秩的方阵，相应的关节速度即 可求出，即ua。上例平面2R机械手的逆雅可比于是得到与末端速度相应的关节速度:h = f123C12D也1显然，当罠趋于0 （或180。）时，机械手接近奇异形位，相应 的关节速度将趋于无穷大。4.2机器人的静力学（/，五）机器人与外界环境相互作用时，在接触的地方要产生力和力矩，统称为末端广义（操作）力矢量。记为n个关节的驱动力（或力矩）组成的n维矢量工 可n力2 n n巧称为关节力矢量利用虚功原理，令各关节的虚位移为Mi,末端执行器相应 的虚位移为D。根据虚位移原理，各关节所作的虚功之和

12、与末端 执行器所作的虚功应该相等，即厂（可）（时式中称为机械手的力雅可比。它表示在静态平衡状态下,操作力向关节力映射的线性关系。若j是关节空间向的映射（微分运动矢量），则RB把映射到关节空间的关节力矢量。力雅可比若已知则有sTfzTdx弓 %(卩（Px）zdxTJoz(g)x(PD(A)dyTekaJ丐（万X云）x（风初(P x dz冷000叭%000JOy。工丙000J才/2 lz 7 7 一wMn XXX ZV- 2,pQ / r ZL /V%000o00000q(pa)yo,(PSaZXJ25)5)0 乞X X X(p(p(pFT根据前面导出的两坐标系A和B之间广义速度的坐标变换 关系，

13、可以导出A和B之间广义操作力的坐标变换关系。BA泳o厂S（辽Q孩沙& /例：如图318所示的平面2R机械手，手爪端点与外界接触，手爪作用千外尿环場的力为llg旬比HMM讪,若关节无摩擦力存在，求力F的等效关节力矩解：由前面的推导知V-一片1一片12人“ +，2。12 _所以得:f =(TT2y图318关节力和操作力关系例：如图所示的机械手夹扳手拧螺丝，在腕部(OS)装有力/力矩传感器，若已测出传感器上的力和力矩求这花(人,咋心帆阿,时作用在螺钉上的力和力矩解：根据图示的相应位姿关系得0010 1=001001rz$3) =0Pz-Pz0pr 1-久00010 J因此可得两坐标系的微分运动关系和

14、静力传递关系为:微分运动关系时：T1000rZu100rx001一八00001000000100000014.3机器人的动力学4.3.1转动惯量根据牛顿第二定律F - tnx平移作为回转运动来分析若把这一运动看成是杆长为集中质量在末端为m的杆件绕承的回转运动，则得到加速度和力的关系式为x = r6式中，国和N是绕谕回转的角加速度和转矩。将它们代入前面的方程，得：I = nir2则有:上式为质点绕固定轴回转时的运动方程式。I相当于平移运 动时的质量，称为转动惯量。例：求图所示的质量为M,长度为L的匀质杆绕其一端回转时的 转动，慣量 I。Ax4+解：匀质杆的微段dx的质量用线密度p ( =M/L

15、)表示为dm=pdx 该微段产生的转动惯量为(II 二 dmx2 - pxhlx因此，把di在长度方向上积分，可得该杆的转动惯量I为:例：试求上例中杆绕其重心回转时的转动惯量Ic。2忤庠41计解：先就杆的一半来求解，然后加倍即可。假定X为离杆中心的 距离，则得到设刚体对过质心C的Zc轴的转动惯量为1肚，对与ZC轴平行的Z轴的转动惯量为Iz，该两轴间的距离为d,刚体的质量为M,则Iz=Izc+Md2即平行轴定理：刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对过质心且 与该轴平行之轴的转动惯量加上刚体的质量与此两轴间距离平方 的乘积。4.3.2 Newton-Euler递推动力学方程如果将机械手的连杆看成刚体

16、，它的质心加速度总质量 m与产生这一加速度的作用力f之间的关系满足牛顿第二运动定律:当刚体绕过质心的轴线旋转时，角速度3,角加速度阴 惯 性张量II与作用力矩n之间满足欧拉方程：n-c J q) x(c Io)惯性张量令c是以刚体的质心C为原点规定的 一个坐标系，相对于该坐标系c，惯性张 量II定义为3 X 3的对称矩阵：式中，对角线元素是刚体绕三坐标轴x, y,无的质量惯性矩，即： Iyy, 1口,其余元素为惯性积。例：如图所示的I自由度机械手。惯性张量表示刚体质量分布的特征。其值与选取的参考坐标 系有关，若选取的坐标系使惯性积都为零，相应的质量惯性矩为 主惯性矩。假定绕关节轴运的转动惯量为

17、匕，z 轴为垂直纸面的方向。解:00t _ mgL/ cos 日0lk= 0e*式中，g是重力常数，把上面三式代入欧拉方程且只提取渤分量 得到：4.3.3 Lagrange 动力学对于任何机械系统，拉格朗日函数L定义为系统总的动能K 与总的势能P之差，即L=K-PO这里，L是拉格朗日算子；k是动 能；P是势能。利用Lagrange函数L,系统的动力学方程（称为第二类Lagrange方程）为：dT =dLdLdtEp(1 1dEk dEp或T =kP 力1dqdq表示动能,表示势能。/. &+ mgL( cos 3 = t例：平面RP机械手如图所示，连杆1和连杆2的质量分别为ID】和 m2,质心的位置由1和氏所规定，惯性张量为（足轴垂直纸面）：00 1匚=0I06ZF100解：连杆1, 2的动能分别为:k = k + k2 2 2 =-（叫甲 + g + 0 + 加2爲）创 + -m2 ch连杆1, 2的势能分别为Px = mlxgsP2 =m2gd7s机械手总的位能（势能）为卩二 A + P）二+ 加2仏）$1计算各偏导数dK叫心621 1g （卯+ 映2）q一卵2商_白K =（叫/： + 2 + /刊亠叫盃）& 叫討2d dEk dEk dEp dt d 芮切将以上结果代入Lagrange方程5