渗流力学要点整理讲解

1、11第一章渗流力学基本概念和定律1多孔介质（porous medium）:含有大量任意分布的彼此连通的且形状各异、大小不一的 孔隙的固体介质。2、渗流（permeability）:流体通过多孔介质的流动，也叫渗滤。3、油藏：具有统一压力系统的油气聚集体4、渗流力学：研究流体在多孔介质中的运动形态和规律的科学。5、油气层是油气储集的场所和流动空间6、定压边界油藏：层体延伸到地表，有边水供给区，在边界上保持一个恒定的压头。7、 封闭边界油藏：边界为断层或尖灭没有边水供给 渗流中的力学分析及驱动类型：力学分析：重力、惯性力、粘滞力（大小用牛顿内摩擦定律表示1mPa-s= IcP）、弹性力、毛管力。驱

2、动类型：依靠何种能量把原油驱入井底。弹性驱动、水压驱动、溶解气驱、气压驱动（主要靠气顶气或注入气的膨胀能或压能驱油的驱动方式。刚性气压驱动、弹性气压驱动）、重力驱动不同驱动方式及开采特征总结：1、 能量补充充足（边、底水，气顶、注水/气）:刚性驱动：刚性气/水驱；开采特征：Pe、 Ql、 Qo有稳产段。2、能量补充不充足（无边底水气顶注水注气或有而不足）： 弹性驱动：弹性驱动、溶解气驱、弹性气 /水驱；开采特征：Pe、 QI、Qo均不断下降。3、 凡是气驱的Rp都有上升的过程，其它驱动方式Rp不变。溶解气驱、刚/弹性气驱4、Qo或Rp的突然变化反映水或气的突破。供给压力Pe：油藏中存在液源供给

3、区时，在供给边缘上的压力。井底压力Pw:油井正常生产时，在生产井井底所测得的压力称为井底压力，也称为流动压 力，简称流压。折算压力Pr :油藏中某点折算到某一基准面时的压力，它表示油层中各点流体所具有的总能量。达西定律:动力阻力在一定范围内 P与Q成直线关系，当流量不断增大，直线关系就会被破坏。真实流速与渗流速度的关系达西定律适用条件:液流处于低速、层流，粘滞力占主导地位， 惯性主力很小,可忽略。压差与流量成线性关系,为线性渗流，达西定律适用。非线性渗流表达方式:1、指数式dLC与岩石和流体性质有关的系数。n为渗流指数，其值在 1-0.5之间，n=1时为达西渗流。2、二项式:dPdL二 Av

4、Bv2A、 B是与岩石和渗流性质有关的系数A:由粘滞力引起的压力损失，流速小时占优势B：惯性力引起的压力损失，流速大时占优势 物理化学作用（吸附、水化膜、非牛顿流体gradP)gradP，流速小可忽略为线性流 ）对渗流影响时的运动方程gradP 入V -0gradPv 入滑脱效应：气体在低速下渗流时，视渗透率会增加，即为没有液体的渗流壁 V=0的薄层；分子热运动）气体在低速下的渗流运动方程：滑脱效应”。（原因：没有润湿性,KgradP 1卜I两相渗流规律毛管力第二章油气渗流的数学模型油气渗流的数学模型：用数学语言综合表达油气渗流过程中全部力学现象和物理化学现象的 内在联系和运动规律的方程式（或

5、方程组），称为油气渗流的数学模型”。一个完整的数学模型包括两部分：渗流综合微分方程（基本组成部分：运动方程、状态方程、连续性方程（质量守恒方程）其他额外部分：能量守恒方程、其它附加的特性方程）的建立 以及边界条件和初始条件的提出。建立数学模型的基础i地质基础：油气层的孔隙结构类型、几何形状、边界性质、参数分布的正确描述2实验基础：科学实验是认识和检验各种渗流力学规律的基础，是建立数学模型的关键。3科学的数学方法：无穷小单元体分析法，通常根据单元体中空间上和时间上的物质守恒定律（如质量守恒定律、动量守恒定律）或微小单元上的渗流特征来建立微分方程建立数学模型的步骤1确定建立模型的目的和要求解决的问

6、题：压力P的分布速度v的分布（包括求流量） 饱和度S的分布 分界面移动规律。自变量：空间和时间，（x,y,z）或（r, 0 ,z）和时间t 因变量：压力P和速度v;两相或多相流 S分布 其它参数：地层物性参数（如渗透率K、孔隙度弹性压缩系数 C、导压系数？等）和流体 的物理参数（如粘度 、密度p、体积系数B等）2研究各物理量的条件和状况过程状况：是等温过程还是非等温过程；系统状况：是单组分系统还是多组分系统，甚至是凝析系统; 相态状况：是单相还是多相甚至是混相；是否物理化学渗流或非牛顿液体流态状况：是服从线性渗流规律还是服从非线性渗流规律， 渗流。3确定未知数和其它物理量之间的关系 运动方程：

7、速度和压力梯度的关系状态方程：物理参数和压力的关系ViA, B,dPidxAi=fi（P，T）;Bi=fi（P，T）性方程：渗流速度、直谓标及时间的关系或饱和度与坐标和时间的关系:i=fi（Vi=f（1T，）yBil=fi（PA，B）（对单相流体）S= f（x , y, z, t, A, B）（对两相流体）确定伴随渗流过程发生的其它物理化学作用的函数关系（如能量转换方程、扩散方程等等）4写出数学模型所需的综合微分方程（组）用连续性方程做为综合方程，把其它方程都代入连续性方程中，最后得到描述渗流过程全部物理现象的统一微分方程或微分方程组。5根据量纲分析原则检查所建立的数学模型量纲是否一致6.确定

8、数学模型的适定性：解的存在、唯一、稳定性问题 7给出问题的边界条件和初始条件运动方程K匸PxK匸Pp? yKpz状态方程（液体的状态方程、气体的状态方程 、岩石的状态方程 ）液体的状态方程ClVL dPCl（P-P）0eM = VLo1 5（P - P0）P0 大气压力（或初始压力）P 0 P0下流体的密度 气体状态方程PV 二 nRT PV = Z nRTZ压缩因子，z=f（P f T），在给定温度压力下实际气体占有的体积与同条件下理想气体占 有体积之比。岩石的状态方程AVf 1 A* dC fVf P P dP0 Cf(P- Po)质量守恒方程（单相渗流的连续性方程、两相渗流的连续性方程）

9、单相渗流IL x（、y）：（化）钞CZ 一dxdydzdtS0 dxdydzdt tv:vVx 十Voy +Voz11 = So.L、L、IL xyzt水相div(vo)SoJS皿*0油相div.C ogs爲s）v。.Cogs爲s)So 7div F= F在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S,当S所限定的区域直径趋近于0时，比值/ F - dS/AV勺极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作div F（）div（v）二 0dt两相渗流油相心心 + “叽)dxdydzdt釵cycz气相：（六面体质量变化量自由气:溶解气:div(div(，)dxdydzdt)dxdydzdt综合：

10、冷 Sg) dxdydzdtgsS。 S。)為dxdydzdt-div( %Vg) divC%sVo)dxdydzdt =或L gsSo (V S。)爲dxdydzdtdivC gg)divCgsV。)典型油气渗流数学模型建立单相不可压缩液体稳定渗流数学模型gsS。g(1-So)P 02 2 22P2P : 2Px2:y2辽2坐标系三维问题一维问题直角坐标(x, y, z)丹和+和+抑丁pdx2圆柱坐标(r,9 , z)田以叮+1和+EP r er I er 丿 r 胡 tzr曲l行丿球坐标(r, 9 , )W)即;2Q+占 r a a J r sin tT d(. 沪 L 1cP羽fn日閃丿

11、r2sin2B祈裁pjg：；2?rtr Itr 丿弹性多孔介质单相微可压缩液体不稳定渗流数学模型j 2P : 2p :2P+ + V x2吋z2丿？牡导压系数，它表征了地层压力波传导的速率。当渗透率 mPa.s,综合压缩系数 Ct单位为10-1MPa-1时，导压系数 单位时间内压力波传播的地层面积。油水两相渗流数学模型 对于油相：对于水相:Vox +叫亠叫zl、excycz 丿:vvwyvwx 亠 wywz_fL、L、x yzSoSw = 1二阶抛物线型偏 微分方程(或称 热传导方程)K?二一1 CtK单位为卩m2,液体粘度单位为?的单位为cm2/s，其物理意义为Ko：So-：Sw:t：t两相

12、稳定渗流边界条件和初始条件 初始条件边界条x,y,z,t）|“o（x,y，z，t）（“）D第一类边界条件（给出势函数（压力）的边界条件）（x, y, z,t）|o（x, y,z,t）（x,y,z）s第二类边界条件（给出流量或流速（势函数或压力的偏导数）的边界条件）S= q(x,y, z，t)(x,y,z)s第三类边界条件（待求的势函数及其导数在边界上均未知，但其关系是已知的）(x, y,乙t)二 f (x, y, z,t) n入、f均为边界上的已知函数。：2 pi；p i；pI +=:r2r :r? :tPt=0二 P(rw r 0)crw2 兀 KhP丰二 pe(t7)初始条件第二类边界条件

13、第一类边界条件稳定渗流：压力、渗流速度等运动要素不随时间发生变化。本章研究条件:? 均质液体稳定渗流?地层水平均质：h、k不变?油水性质无差异（卩）、无弹性（p ）第二节单相液体稳定渗流基本方程的解及其应用2 2 2:p : p : px2：y2 z2咚诅=0dr r drn=0：单向流；n=1 ：平面径向流；n=2 :球面向心流 单向渗流数学模型rd2p dx2X=0 , p=peX=L , p=pw压力分布等压线：压力相等的点的连线；流线：与等压线垂直的线；水动力场图：由等压线与流线组成的正交网图。规定两条等压线间压差相等，两条流线间 流量相等。单向流特点：均匀网格状。即等压线为一组等间距

14、的平行直线，流线为一组等间距的平行直线。产量公式Q Bkh(Pe - Pw) _ c渗流速度和压力公式k Pe - Pw -vc卩L压力梯度公式为dpPe 一 Pw -cdxL质点的运移规律：液体从供给边缘移动到x处所需时间t为:压力梯度也与r成双曲函数关系。r越小，v越大，dp/drx A Ax00 Q Q距离内孔隙流体的时何dx =p 二 Pe - PeIn Re rIn ReRwp = PwPe - Pw InIn Re意义：全部排干 ox平面径向渗流点源：向四周发散流体的点，如注水井；点汇：流体向该点汇集，如采油井。数学模型r d 2 p1 dp门-= 0 dr r drr=Rw， p

15、=Pw r=Re, P=Pe压力分布15压降漏斗：平面径向渗流时，压力分布与半径呈对数关系。从整个地层看，压降面象个漏斗状的曲面，称压降漏斗。渗流（的水动力）场图特点：（1） 以井轴为中心的同心圆：r相同的点其压力值也相同；（2） 越靠近井壁越密集：当r成等比级数变化时，P成等差级数变化。（例：r= Rw2Rw 4Rw. 时）；（3）流线为交于井点的等间距射线。应用：压力大部分消耗在井底附近。所以许多增产措施都是着眼于处理井底附近地层。如井底酸化，虽然只处理了井底附近Q“kh(Pe= Pw) = c几米到几十米的范围，对油井产量的增加却十分明显。 产量公式及分析增加油井产量的办法：增大生产压差

16、（pe-pw）提高地层流动系数 kh/卩（压裂，酸化，热采） 控油面积：Re渗流速度及压力梯度压力梯度dp Pe - Pw 1drIn匹rRw2 rhk ( pepw ) 1V 二卩RerInRw越大，能量损失越大。 平均地层压力ApdA液体质点的运移规律drdt从供给边缘移到井底的时间为:Rep2 rdrPe 一 PwPeRwdtdr2)意义：全部排干2lnR二2 rhdr QRer距离内孔隙流体的时间22(R| - Rw )四、有渗透率突变情况下的渗流问题 渗透率突变地层中的单向流 设渗透率突变处压力为pi,则有QikiA PePiLik2 A Pi - PwL2因 Q1=Q2=QPePw

17、A(L产量与压差仍为线性关系, 压力分布：在0xLi期间：只是渗流阻力由两部分组成P= Pex在L2xL2期间:QA“Xi)渗透率突变地层中的平面径向流:QikiAPePe - Pwxki(LiL2)kik2右讥)Lik2 i 2kik2Pe 一 Pw佥3q2 二PiRi_2h(Pe- Pw) C1 Ink2Re_r_ +RikiRw压力分布RirRe：PePe 一 PwRwro,渗流阻力增加，油井不完善或污染；CV0,渗流阻力减小，称为超完善井。第四节油井的稳定试井定义：通过人为改变油井的工作制度，在稳定情况下测出压力和产量关系曲线，以确定合理工作制度和地层参数的方法，也叫系统试井。Q 二

18、K( p)nK 采油指数n 渗流指数(1/2n1)23(1) n=1 :井底压力高于饱和压力时，地层为单相流，Q与厶p成线性关系；(2) n1 :曲线3为流动不稳定测得的曲线，需重新测试，这时的能量除压能外还有弹性 pn1,不正常系统试井可解决以下问题：(1 )确定合理的工作制度：在直线段取最大产量(2 )确定地层参数和油井生产能力K= Q 也pKl门區Rk =w2h由试井资料求出后，可求出地层附近渗透率K和流动系数:第五节势的叠加和多井干扰理论井间干扰(PPT):同一油层内同时有两口井以上油井生产，其中一口井工作制度发生变化 后，必然要影响到其它井，这种现象称井间干扰。井间干扰(课本)：在同

19、一油层中，当许多井同时工作时，其中任意一口井工作制度发生变 化，如新井投产、事故停产或更换油嘴等，必然会引起其他井的产量或井底压力发生变化， 这种现象称为井间干扰。井间干扰特征：原压力平衡状态被破坏，地层中压力场重新分布，直到建立起新的流场压降叠加原理：多井同时工作时，地层中任一点的压降应等于各井单独工作时在该点造成的 压降的代数和。势的基本概念tdv 二dxk p狰就定义为势：1）势具有压力的含义；2）势是一个量，这个量的梯度形成一个力场；3）势满足Laplace方程，又称势函数（调和函数）。:2P :2P :2Px2z202 2 2x2:y2z2满足Laplace方程的函数为线性函数，线性

20、函数可进行叠加。 平面上一点的势In r C? q：单位厚度的产量（产液强度）? r:地层中任意点到井的距离;对注水井，q为负值，则点源的势为:?：距井半径r处地层中的势;q ln r C2 二空间一点的势 空间一点汇势为:4r?c：常数，与边界条件有关。空间点源势为：用势理论求平面径向流产量公式Q4 rq In r C2r=Rw 时，2kh(pe - Pw)Q ,ReJ lnRw球面向心流产量公式： 整个渗流过程可看成两部分构成：R的平面径向流，则:（1 ）从Re到某一半径Ree2) 从 RQln Re R=向心流。又半球内任意点势为hRwwR一 =w12因1/Rw远大于1/R,不考虑1/R

21、相，则:2Rw2h( . - ： w)I RehInRRw势的叠加原理：当渗流服从线性定律， 在无限平面地层中同时存在若干源汇时, 汇单独存在所引起的势的代数和。合成流动的势就等于每个源qi In 几 + 単 In r2 + 単 ln r3 +qn In rn C2 n1 11 n：任意点合成流动时的势；八qi In * * Cqi:第i 口井产液强度；21r i: i井到任意点距离。三、渗流速度的合成原则1、利用等势线和等压线确定渗流速度2、用矢量合成法第六节势的叠加原理的典型应用1、物理模型：无限大均质地层等产量2、势及流场一源一汇1qr(qln r qln r2) C In-1 C 22

22、r2等势线方程为：y轴是一条等势线。(C0=1)rt = CC021 + Co 22(X-厂C2a)y =1 C04a2Co_(V Co)2由等势线与流线的正交关系，可求出流线的方程为:稳定渗流时，液体质点运动轨迹与流线一致，由上式知，v与r1r2的乘积成反比，在 x轴上r1r2最小，液体质点沿 x轴运动速度最快，称 x轴为主流线。舌进现象：在注水开发时，水质点沿x首先到达生产井井底，沿其它流线运动的水质点以后相继突入井中，形成舌进现象。4、已知生产井和注入井势时的产量公式流线与等势线kh - Pp)Q 二-=q I n r1C2r2In 2aRw二、等产量两汇i物理模型：无限大均质地层等产量

23、两汇2、势及流场规1(q In r1q In r2) C 二2 -等势线方程为；In r1r1JI(x2 + y2)2 + 2(y2 - x2)a2 十 a4 - C： = 0双曲线型流线族方程：x2 y22Cxy a2 = 0给Ci不同的值得不同的流线。当Ci等于无穷大时，（4）式可转化为x轴和y轴方程，则y轴x轴均为流线。 y轴具有分流性质，把两侧的液流分开，使液体不能穿过分流线而流动， 也叫分（中）流线。3、渗流速度分析qAqBVa 一Vb -2 r22 r1在x轴上，N点速度为：qAqBv - VaVB 一2 r1若N为平衡点，即v=0 时：2 r21v = Va _ Vb qAqBq

24、A2 r12 r214qBqA=qB时，冷=227即两汇产量相等时，平衡点应在两井连线的中点，该点液体流动速度为零, 称死油点，平衡点附近形成死油区。平衡点及死油区位置随两汇各自产量比值而改变，且总偏向产量小的井两汇同时生产时必然出现平衡点，平衡点附近形成死油区，通过改变两井产 量比例，可使平衡点移动，以采出死油区内原油，提高采收率。4、井产量两井同时生产单井产量小于一口井单独生产时产量：井间干扰第七节考虑边界效应的镜像反映法 边界的存在对渗流场的等压线分布、2二 kh(pe - Pw)J InRe2aRw流线分布和井产量都会产生影响,这中影响称为边界效映。汇源反映法：这种用一个异号像”的作用

25、来代替直线供给边缘的方法，叫汇源反映法。等产量一源一汇时，其渗流场图与y轴完全对称，y轴是一条等势线，y轴以右的生产井区域渗流场与直线供给边缘附近一口生产井时的渗流场完全一致。井产量公式为:2 kh(Pe - Pw)1 In2a、直线不渗透边界附近一口生产井的汇点反映法不渗透边界附近一口井的渗流场图，刚好是等产量两汇时的渗流场图的一半， 并以y轴为对称轴。直线断层附近（a，0）存在一口生产井时，可将断层看作镜面，在其对称位置映射出一口等 强度的汇（生产井的像），从而成为无限地层中两口井生产。两口井势的叠加的结果在真实 生产区形成的渗流场与直线断层和一口生产井产生的渗流场完全一致。这种反映为汇点

26、反映。2 kh( Pe - Pw)R；2aRw总结1边界对渗流场和井产量的影响可看成以边界为镜面，在实际井的对称位置上存在虚拟井 像”的影响，实际 井与虚拟井势的叠加形成的渗流场与边界对井影响形成的渗流场完全相同。镜像反映理论：把位于边界附近井的问题转化为无限地层多井同时 作用的问题，然后用势的叠加原理求解。2、反映法的基本原则?不渗透边界 是同号等产量反映，反映后 不渗透边界 保持为分流线；?供给边界是等产量异号反映，反映后供给边界必须 保持为等势线。三、镜像反映法的推广（一）复杂断层的镜像反映法对复杂边界，要镜像反映法的目的是取消边界，其基本准则是反映后原渗流边界性质不变。求:对井有影响的

27、边界都必须进行映射；对其中一个边界映射时必须把井和其他边界一同映射到边界的另一侧; 有时需要多次映射才能取消边界。+q:+q直角断层平行断层-q+q45度断层混合边界（二）圆形供给边界偏心井的反映i物理模型：圆形供给边界一口偏心井2、镜像反映：无限大地层一源一汇的平面渗流场中， 等势线为一系列与井点相差一定距离的圆。如选取一 等势圆为供给边缘，其半径为Re,圆心与井点距离为d,此时生产井就为供给边缘内一口偏心井。选择合适的等注入量虚拟注入井位置，两井叠加的结果即可保Ar2a G/2aB1持半径为Re的圆周为等势圆。3、确定虚拟井像的位置无限地层一源一汇时r1/r2相等的点势相等，则半径为式：R

28、e的圆周上的 M1和M2点应满足下()M1 = ( )M2r2r2RdRe d2a-(Re-d)2a Re dd4、偏心井产量2Fd2Re RwQ = 2kh(Pe - pw)5、地层中任意点势分布27、圆形地层两口等产量偏心井 转化为无限地层两源两汇问题2 2Re -dlnd r2Rer1w)：2ln Re dReRw第八节复势理论在平面渗流问题中的应用.对复数z = x其复变函数可表示为W(z) 一 (x,y)。若(x,y)在W域D内连续可微，其实部和虚部有连续偏导数存在，且满足柯西-黎曼条件：成_列 成_ 鬥则称复变函数为解析函数。解析函数的实部和虚部分别满足Laplace方程，称为共轭

29、调和函数，其所代表的曲线族正交。表征渗流场的势函数和流函数也具有共轭调和性质，则用势函数为实部、流函数为虚部构成的复数为解析函数，称该复数为渗流场的复势，通过对复变函数的研究可求解较复杂的渗流冋题。1势函数和流函数单相液体平面径向稳定渗流时，渗流速度为:vy =vx 一excOvy _div v = 0Vx：Vyx:y在无源区域内，因渗流场中渗流速度为矢量，渗流场为有势场，则0称势函数或速度势。又势函数满足Laplace方程。 （x, y） = G为一常数，表示一条等势线。设在渗流场中有流线 S,其中一点M处（x,y）的切线方向，为该点流体质点运动方向。设M点渗流速度为在M点沿流线v,则在x、

30、y方向的分速度为vx、vy。S取一微小增量dS,则在x、y方向的增量为dx dyvxVydx - vxdy = 0是某一函数的全微分,dx、dy，由相似关系有:并用vy为流线方程。 因无源渗流场中， 即-一x :y-dx +dy vydx vxdyexd Y表示:Pdx Qdy 二 P :Q为全微分的充要条件是 全微分函数u(x,y)二xyP(x,y)dxQ(x,y)dyy0X。LVydx - Vxdy则屮称为流函数， 屮为常数时表示流线方程，给定不同的常数可得不同的流线。 渗流速度与流函数关系：积分有:Vxvy由复变函数理论知，满足Laplace方程的函数称调和函数，因此在平面渗流场中，势函

31、数 $(x, y)和流函数W (x, y)都为调和函数，且与渗流速度的关系为：2、平面渗流场的复势9 )式为柯西-黎曼(Chuchy-Rieman)条件。如复变函数w (z)在某一区域内解析，其实部和虚部存在二阶偏导数，并满足Laplace方程，即实部和虚部为共轭调和函数。又已知渗流场的势函数和流函数为共轭调和函数，则用势函数为实部、流函数为虚部构成的复数为解析函数，且称该复数为渗流场的复势，表示为：dw =d亠 id?=(弓 dx+弓 dy) +i(弓dx+dy):x: y: x : ydwL&dz(dx idy) (dy -idx):x；:y)(dx idy):x:y二dwlvIdzl二、

32、复势叠加原理1平面上点源和点汇的复势生产井在坐标原点时，其势函数和流函数为:qIn rci2点源的复势为：C2w(z)八 i?二 q Inr Ci i( q r C2) 2 2q 1 iIn re C2 二w(z) q In z C2兀(1)式中，w (z)距汇点任意处的复势； z复平面上任意点；r复变量z的模；9 复变量z的幅角。i 0z = x iy 二 r(cos=isin =)二 rei井点为点源时，复势为：w(z)八 q In z Cw(z) = ：(X,y) i ” (x, y)231如井点在任意点 A=a+ib，其复势为:w(z)=dn(z-A)+C势函数流函数为:2=ln皿謔+

33、C2兀2、复势叠加原理若在渗流场中同时存在两个势流，其复势分别为：q2-In rA - Ci2-33W1(z)八 1(X, y)i(x,y) MS 2(x, y) r 2(x, y)因势函数和流函数是共轭调和函数，是齐次线性方程，满足叠加原理条件，即两个复势可合成一个新复势，新复势的势函数和流函数仍满足Laplace方程。W(z) = W(z) W4(z) 八if 2 i?2八i G 2i 2)且0 28 22 0rJcx2cy2 22?j2 2 0xy则同一渗流场中存在多个点源汇时，只需把各个点源汇单独存在时的复势进行简单 的代数相加，即可得多井同时存在时的复势，称平面渗流场的复势叠加原理。

34、如平面上有n个点源汇，分别位于A1、A2.An,则任意点复势为:W(z)=Z ln(z_ AJ + Cg2江则势函数为:(-qj Ing) C1=一? 1门(打&渤)Cj占 i流函数为:j=1n7-、(_j=1qjj) C2第九节平面渗流问题的保角变换求解法 一、保角变换的概念1、z平面到Z平面上的变换在复平面上复变数z=x+iy，引入新的复变数Z = E或Z =Z (z),则= (z) =+i nz( i ),Z与z之间有关系z=z ( ZX( , ) iy(,)x(,) y(,) z上的点与(X iy)(x, y)(x,y) i (x,y)y =式确定了平面 平面上一点或几点。如:Z上点的

35、对应关系,(x,y)Z = Z (z)是单值或多值，则z平面上对应八(z)二 z2 = (x iy)2x2y2 2ixy=2xy即在z平面上给定一点，在 Z平面上可得到对应的一点。同样z平面上一条线在Z面上有对应的一条或几条线。对于z平面上的一个渗 流场，同样可在Z面上有对应的渗流场。2、解析函数的导数和幅角设解析函数Z = Z (z)把z平面一点z=x+iy变换到Z平面内Z = E +i n的一点。用M和a分别代表函数Z在z点的导数的模和幅角，即ddzi ：MedMe，dz由(2)式知，在d Z /dz=0时，变换Z = Z (z)使z点处很短的线伸长或缩短了M咅，并旋 转了一个a角。这样在

36、z点附近很小的图形变换到Z平面内具有与原来相同的形状，在z平 面两条相交的曲线间的夹角变换到Z平面内保持不变，称这种变换为保角变换。4、井产量变换前后不变d ：Jdldn =dzdvdld匚dzdv二、例：设w(z)二作变换:dzdldzd：J表示对应井产量相等z平面上的单向流动复势为:Az 二 A(xiy)AxAyexiye eiy、保角变换的应用i直线供给边沿附近一口井作变换z iaia保角变换的求解方法：寻找一个适当的变换，将复杂的物平面变为较易求解的像平面,求出像平面的产量公式后，再利用变换式把参数代回物平面，从而得到实际问题的解。第十节等值渗流阻力法利用水电相似原理，以电路图来描述渗

37、流场，然后按电路定律来求解复杂的多井排渗流问题的方法，叫等值渗流阻力法。 一、水电相似原理直线供给边缘附近一排生 产井，单井产量公式为 井排产量为：2二kh(pe -Pw)片咏)pe 一 pwQpai=nQ=LInn2akh n2:kh r:RwPe - PwBkh1 n 2 *hlna二 Rw变换前后井半径的关系:z% = MRw =cKRw或Rw =” pwdz3、相当于液流渗过 Bh断面、流经L的阻力:Rou Bkh L渗流外阻r1aRinInn 2兀kh二 Rw相当于从各井周围一假想圆形供给边沿 并联：渗流内阻（半径为 a/n ）流经各井的渗流阻力的QPa-R电学两电阻串联时的电流为两

38、式具有物理相似，称水电相似。在圆形供给边沿内半径为 R的圆上有- 环形井排，井相距2a,单井产量公式为:Q=2兀kh( Pe - Pw)II / I Rs I R 卩(nln + In)RnRw环形井排产量:QP厂 nQ 二pPwpJRIn eIn2 kh R n 2 khnRw又2n R=n2a,即R/n=a/ n，则上式可写为:QpaiPe - Pw卩 RaIn +InR n 2 kh2-kh二 Rw内外阻:2 kh RRn =In a =In Rn 2 kh - R,n 2 kh nRv外阻相当于从供给边缘向一个以R为半径的扩大的井渗流的阻力，内阻相当 于从半径为R/n （a/n ）的假

39、想供给边缘流向井底的n口井并联总阻力。、渗流阻力法在多井排上的应用Rout235PtOOO3r2) OO CjiC1Bi3排井Pw1R in3Q 什 Q2+Q3PeR out2Rout32）计算内外阻1、单向供液油藏内1）绘等值电路图L BkhR out 1R out3ABkh Ll7：R 4 w1pBkh L2Anf lltRin2 QJ+Q3Q3Pw2Pw3Rin厂丄讥hn1 2 兀 kh. a In4 i a?Rin2 二Inn2 2兀kh jtRw2由电路定律列方程有Pe Pw4 = (Q4Q2Q3 )Rout1Q1Rin1Rin 3Ina3： R w3Pe Pw2 = (Q1Q2 Q

40、3)Rout1 (Q2 Q3)Rout2 Q2Rin249Pe Pw3= (QiQ2Q3) Rout1(Q2Q3)Rout2Q3 (Rout3Rin3)2、圆形地层环形井排1）等值电路图RinPinQiQ2Rin2 Rin3Q什 Q2+Q3Rini Q2+Q3Q3RoutiRout2Rout32）内外阻RoutiReln2 khR1Rout22 khlnR2Rout3n鬼2 khR3Rn2Rinnin2khReInninRw1宀n2 2 khn2RwRn3Rin11亠ln n1 2 khR1nRn2 2 khn3RwPin -pw1+ Rout1 ) + Q1R n1 ut2 Q2Rin2w2

41、Pw3由上式可求产量和压力3）列电路图(Q1 + Q2 * Q3)(Rin=-Q1Rin1 * (Q2 * Q3)Ro二 Q2 Rn2 Q3 ( out3、两方面有供给液源的情况进行行列切割注水开发时，或者圆形地层中在边缘和顶部同时进行注水时， 都会出现两方面有 液源供给的情况，在此种情况下，生产井排为单数，否则中间地区的油就采不出来。利用渗流阻力法求解：须注意注入井排的注入量有可能是向两边供给，更重要的是在所有的生 产井排中必然有一排井受到两方面液流的供给。 这样的井排称为分流井排，它把渗流区分为两 部分，而每一部分就相当于有单方向液流供给。三、等值渗流的计算为减少求解方程，可按串、并联先求

42、出各个节点的等值渗流阻力，以直接求出各排井产量的方法，叫等值渗流阻力法。为减少求解方程，可按串、并联先求出各个节点的等值渗流阻力，以直接求 出各排井产量的方法，叫 等值渗流阻力法，其步骤为：（1）画等值电路图；（2）计算内阻；（3）计算等值渗流阻力；（4）求各排井总产量；（5）依次直接求出各排井产量。第四章：弹性微可压缩液体的不稳定渗流弹性驱动方式：在油田开发初期，地层压力 高于饱和压力，主要依靠岩石与原油的弹性能量 开采，称这种方式为 弹性驱动方式”。弹性驱动时，因地层内压力随时间而变，因此为不稳定渗流方式。压力降从 井底开始逐渐向外传播。.水压弹性驱动条件：储集层外有广大的含水区，能充分地

43、向地层补给弹性能量，认为补给边缘上的压力保持不变。1油井以定产量生产时，地层压力的传播（1）压力波传播第一阶段（t tb） 特点a. 压力下降速度减慢，最后趋于稳定b. 压力稳定前，井产量 一部分来自压降区域的 弹性膨胀，另一部分来自边水。c. 稳定后，井底流量与边水浸入量相等。2井底压力保持不变（1）压力波传播第一阶段a. 除井点外，压降漏斗不断扩大加深；b. 井产量来自压降区域内的弹性膨胀，并随阻力不断增大而降低。(2)压力波传播第二阶段a.压力下降速度减慢，最后趋于稳定；b压力稳定前，井产量一部分来自压降区域的弹性膨胀，另一部分来自供给区域；c. 稳定后，产量与供给区浸入液量相等。二.封

44、闭弹性驱条件：储层外边无能量补充，为一不渗透的圭寸闭边界。1. 井以定产量生产时的压力波传播(1) 压力波传播第一阶段(2) 压力波传播第二阶段a.压力不断下降，且初始边界下降幅度最小；b压力下降到一定时间，各点的压降速度趋于一致，称拟稳定状态”。拟稳定状态：封闭油藏弹性渗流过程中，井以定产量生产时，压力波传到边界后经过一定时 间，地层内各点的压降速度相等时的阶段。2井底压力保持不变(1) 压力波传播第一阶段(2) 压力波传播第二阶段特点：压力、产量不断下降，直至最后压力为井底流压，产量为零。4-2无限大地层弹性不稳定渗流数学模型典型解2 2 2P 2 P 2 P 1 P+ + = 2 2 2

45、x y z ? t212式中？ =K/c称导压系数。当K为口 m, 为mPa.s, c为1/10 - MPa寸，?为cm/s,表示单位时间内压降传播的面积 。设有均匀、等厚、水平无限大地层中心一口井进行弹性不稳定渗流，则流动为平 面二维流动，数学模型为：2p ：2p 1 ：p； 2p 1 p 1 p223x2y2? tr r r ? t井以恒定产量Q生产时，有相应的初始边界条件为：t=0, p=pow2 二 kh:P(r ) = c onst t 0 ；：r求解：% 7式中du称为幂积分函数并令u u2rdu =-Ei() =Ei(-u)224? t(距井r处),在任意t时刻的压力表达式：Po-P(r,t)=；心牴(4兀Kh4?丿2对于r-Ej(-u) Ej(-二)4? t(1) 当u增加(r增加或t减小时)，-Ei(-u)减小，P(r,t)增加，即距井越远处、时间越 早时压力越高。(2) 定的u值对应一定的r2/t，说明在一定时刻只在一定范围内形成压降漏斗， 令-Ei(-u)=0可求得不同时刻压力传播前缘位置。3)可用来解不稳定渗流第一阶段问题。