高中数学基础题型(平面向量)

1、 uuur1 2122112ur uuruuur uuur1 31212r r平面向量1、向量有关概念 ：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量 常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段 ，为什么？（向量可以平移）。uuur r如已知 a（1,2），b（4,2），则把向量 ab 按向量 a （1,3）平移后得到的向量 是_（答：（3,0）（2）零向量 ：长度为 0 的向量叫零向量，记作： 0 ，注意零向量的方向是 任意的；uuur（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 ab 共线的单 uuur位向量是 ab )；| ab |（4） 相等向量

2、：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有 传递性；（5） 平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 a 、 b 叫做平 行向量，记作： a b ，规定零向量和任何向量平行 。提醒：相等向量一定是 共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的 两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重r uuur uuur合；平行向量无传递性！（因为有 0 )；三点 a、b、c 共线 ab、ac 共线； （6 ）相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 a 的相反向量是 a 。r r r r如下列命题：（1）若 a =b ，则

3、a =b 。（2）两个向量相等的充要条件是它们uuur uuur的起点相同，终点相同。（3）若 ab =dc ，则 abcd 是平行四边形。（4）若 abcduuur uuur r r r r r r r r r r r r是平行四边形，则 ab =dc 。（5）若 a =b, b =c ，则 a =c 。（6）若 a / b, b / c ，则 a / c 。 其中正确的是_（答：（4）（5）2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 ab ， 注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a ， b ， c 等；（3）坐标表示法：在平面内建

4、立直角坐标系，以与 x 轴、 y 轴方 向 相 同 的 两 个 单 位 向 量 i ， j 为 基 底 ， 则 平 面 内 的 任 一 向 量 a 可 表 示 为r r ra =xi +y j =(x,y)，称(x,y)为向量a 的坐标， a (x,y )叫做向量 a 的坐标表示。 如果向量的起点在原点 ，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。3.平面向量的基本定理：如果 e 和 e 是同一平面内的两个不共线向量，那 么对该平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 l 、 l ，使 a= l e l e 。如r r（1）若 a =(1,1),b =r r 1 r 3 r(1,-1), c =( -

5、1,2) ，则 c =_（答： a - b ）；（2）下列向量组中，能作为平面2 2ur ur ur uur内 所 有 向 量 基 底 的 是 a. e =(0,0), e =(1,-2) b. e =( -1,2), e =(5,7) c.1 2 1 2ur ure =(3,5), e =(6,10) d. e =(2, -3), e =( , - ) （答：b）；（3）已知 ad, be 分别2 4uuur r uuur r uuur是 dabc 的边 bc , ac 上的中线 ,且 ad =a , be =b ,则 bc 可用向量 a , b 表示为 _24 ，4222a b已知 a =

6、(l) ，b =(3 r r （ 答 ： a + b3 3）；（ 4 ） 已 知 dabc 中 ， 点 d 在 bc 边 上 ， 且 cd =2 db ，cd =r ab +s ac ，则 r +s 的值是_（答：0）4、实数与向量的积：实数l与向量 a 的积是一个向量，记作la ，它的长度r r和方向规定如下： (1)la=la,(2)当l0时， la 的方向与 a 的方向相同，当r rl0 是q为锐角的必要非充分条件 ；当qr r r r为钝角时， a b 0，且 a、b 不反向， a b0是 q为钝角的必要非充分条件 ；非零向量 a ，b 夹角 q的计算公式：cosqr rr r r r

7、= r r ； | a b |a | b | 。如（1） a bl,2 l,2) ，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则 l的取值范围是_（答： l4 1 0 且 l ）；（2）已知 dofq 的面积为 s ，且 of fq =1 ， 3 3k+1uuur| ap |or r112 21 2 1 2uuur平分线上（答： ）；（2）已知，p puuurr r1 3 p p若 s 0 ，用 k 表示 a b；求 a b的最小值，并求此时 a 与rb的夹角 qr r 2的大小（答： a b= ( k 0)4 k1；最小值为 ， q =60 o ）26、向量的运算：（1）几何运算 ：向量加法：利用“平

8、行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用uuur r uuur r于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设ab =a , bc =b ， uuur r r r r uuur uuur uuur那么向量 ac 叫做 a 与 b 的和，即 a +b =ab +bc =ac ； 向 量 的 减 法 ： 用 “ 三 角 形 法 则 ” ： 设 uuur r uuur r r r uuur uuur uuurab =a , ac =b , 那么a -b =ab -ac =ca ，由减向量的终点指向被减向量的终点。uuur uuur uuur注意：此处减向量与被减向量的起点相同。

9、如（1）化简： ab +bc +cd =_； uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur ab -ad -dc =_ ； ( ab -cd ) -( ac -bd ) =_ （答： ad ； cb ；r uuur r uuur r uuur r r r r 0 ）；（2）若正方形 abcd 的边长为 1， ab =a , bc =b , ac =c ，则| a +b +c | _ （ 答 ： 2 2 ）；（ 3 ） 若 o 是 vabc 所 在 平 面 内 一 点 ， 且 满 足uuur uuur uuur uuur uuurob -oc = ob +oc

10、-2oa ，则 vabc 的形状为 _（答：直角三角形）；（4 ） 若 d 为 dabc 的 边 bc 的 中 点 ， dabc 所 在 平 面 内 有 一 点 p ， 满 足uuuruuur uuur uuur rpa +bp +cp =0 ，设 uuur =l，则 l 的值为_（答：2）；（5）若点 o 是 abc 的| pd |uuur uuur uuur r外心，且 oa +ob +co =0 ，则 abc 的内角 c 为_（答： 120 ）；（2）坐标运算 ：设 a =( x , y ), b =( x , y ) ，则：r r向量的加减法运算：a b =( x x ，y y ) 。

11、如（1）已知点 a(2,3), b (5,4) ， uuur uuur uuurc (7,10) ，若 ap =ab +lac (lr) ，则当 l_时，点 p 在第一、三象限的角1 1 p pa(2,3), b (1,4),且 ab =(sin x,cos y ) x, y ( - , )2 2 2 2，则 x +y = （答： 或 - ）；（3）已知作用在点 a(1,1)的三个力6 2uur uur uur ur uur uur uurf =(3,4), f =(2, -5), f =(3,1) ，则合力 f =f +f +f 的终点坐标是 （答： 1 2 3 1 2 3（9,1）r实数与

12、向量的积 ： la =l(x,y )=(lx,ly)。1 1 1 1若 a( x , y ), b ( x , y ) ，则 ab =(x-x , y -y )，即一个向量的坐标等于表 1 1 2 2 2 1 2 1示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如设 a(2,3), b ( -1,5) ，且 uuur 1 uuur uuur uuur 11ac = ab ， ad =3 ab ，则 c、d 的坐标分别是_（答： (1, ),( -7,9) ）； 3 3平面向量数量积 ：a b =x x +y y 。如已知向量 a （sinx，cosx）, b 1 2 1 2（sinx，sinx）

13、, c （1，0）。（1）若 xp3，求向量 a 、 c 的夹角；（2）若 x22 2( )( ) ( )r r r r r rr r r r r r r( ) a b b22 2222222 -3p p 1 1 , ，函数 f ( x) =la b的最大值为 ，求 l 的值（答： (1)150o;(2) 或8 4 2 2- 2 -1）；r r r r r向量的模 ：| a |= x 2 +y 2 , a =|a |2 =x 2 +y 2 。如已知 a , b 均为单位向量，它uur r们的夹角为 60o ，那么 | a +3b | _（答： 13 ）；两点间的距离 ：若 a (x, y ),

14、b(x, y )，则| ab |=1 1 2 2(x -x2 1)+(y-y )2 1。如如图，在平面斜坐标系 xoy 中，xoy =60o，平面上任一点 p 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若uuur ur ur ur urop =xe +ye ，其中 e , e 分别为与 x 轴、y 轴同方向的单1 2 1 2位向量，则 p 点斜坐标为 ( x , y ) 。（1）若点 p 的斜坐标为（2，2），求 p 到 o 的距离po；（2）求以 o 为圆心，1 为半径的圆在斜坐标系 xoy 中的方程。（答：（1）2；（2） x 2 +y 2 +xy -1 =0 ）；r r r r r r r r

15、r r7、向量的运算律 ：（1）交换律：a +b =b +a ，l ma =(lm)a，ab=ba ；(2) 结 合 律 ：r r r r r r r r r r r r a +b +c = a +b +c , a -b -c =a - b +c，(la)b=l(ab)=a(lb)；（3）分配律：(l+m)a=la+ma,l(a+b)=la+lb， r r r r r r ra +b c =a c +b c 。 如 下 列 命 题 中 ： a (b -c ) =a b-ac ； a (bc) =( ab) c ； ( a -b )2=|a |2r r r r r r-2 | a | |b |

16、+| b |2 ； 若 a b =0 ，则 a =0 或 b =0 ；若 a b=c b, 则 a =c ；r r rr r r r r r r r r r r ra =a ； r = r ； ( a b) =a b ； ( a -b) =a -2a b+b 。其中正确的是a a_（答：）提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式， 可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向 量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相 除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律 ，即 a (b c) ( a b)c ，为什么？

17、8 、 向 量 平 行 ( 共 线 ) 的 充 要 条 件 ： r r r r r r r ra / b a =lb ( a b)2 =(| a | b |) 2 xy -yx 0 。 如 (1) 若 向 量 r r r 1r 2 1 2a =( x ,1), b =(4, x ) ，当 x _ 时 a 与 b 共线且方向相同（答： 2 ）；（2 ）已知 r r r r r r r r r ra =(1,1),b =(4, x ) ， u =a +2b ， v =2 a +b ，且 u / v ，则 x_（答：4）；（3） uuur uuur uuur设 pa =( k ,12), pb =(

18、4,5), pc =(10, k ) ，则 k_时，a,b,c 共线（答：2 或 11）r r r r r r r r9、向量垂直的充要条件： a b a b=0 | a +b |=|a -b | x x +y y =0 . uuur uuur uuur uuur 1 2 1 2ab ac ab ac uuur uuur特 别 地 ( uuur + uuur ) ( uuur - uuur ) 。 如 (1) 已 知 oa =( -1,2), ob =(3, m ) ， 若 ab ac ab acuuur uuuroa ob，则m =3（答： ）；（2）以原点 o 和 a(4,2)为两个顶点作

19、等腰 2直角三角形 oab，b =90，则点 b 的坐标是_ （答：(1,3)或（3，1）；111 2121 22173 1 +l1r pr（ 3 ） 已知 n =( a , b), ）(b, -a)或( -b, a )r ur r ur ur 向量 n m ，且 n = m ，则 m的坐标是 _ （答：10.线段的定比分点 ：（1）定比分点的概念：设点 p 是直线 p p 上异于 p 、p 的任意一点，若uuur uuur 2 uuuu2r存在一个实数 l ，使 pp =lpp ，则 l叫做点 p 分有向线段 pp 所成的比，p 点uuuur叫做有向线段 pp 的以定比为 l的定比分点；1

20、2（2 ） l的符号与分点 p 的位置之间的关系 ：当 p 点在线段 p p 上时1 2 l0；当 p 点在线段 p p 的延长线上时 l1；当 p 点在线段 p p 的延1 2 uuuur 2 1长线上时 -1l0 ；若点 p 分有向线段 pp 所成的比为 l，则点 p 分有向线 uuuur 1 uuur 3 uuur段 p p 所成的比为 。 如 若点 p 分 ab 所成的比为 ，则 a 分 bp 所成的比为l 4_（答： - ）uuuur（3）线段的定比分点公式 ：设 p ( x , y ) 、p ( x , y ) ，p ( x , y ) 分有向线段 pp1 1 1 2 2 2 1

21、2所成的比为 l x +lxx = 1 2，则 ，特别地，当l y +lyy = 1 2 1 +l1 时，就得到线段 p p 的中点1 2公式 x +xx = 1 2 2y +yy = 1 2 2。在使用定比分点的坐标公式时，应明确 ( x, y ) ，( x , y ) 、( x , y )1 1 2 2的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比 l。如（1）若 m（-3，- 1 - 7-2），n（6，-1），且 mp =- mn ，则点 p 的坐标为_（答： ( -6, - ) ）；（2）3 3已知 a(a,0

22、), b (3,2 +a )，直线 y = ax 2与线段 abuuuur uuur交于 m ，且 am =2 mb，则a等于_（答：或）r11.平移公式：如果点 p ( x , y ) 按向量 a =(h,k)平移至p ( x,y)，则 x =x+h ；y=y+k曲线 f ( x , y ) =0 按向量 a =(h,k)平移得曲线 f ( x -h , y -k ) =0 .注意 ：（1） 函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？ （2 ）向量平移具有坐标不变性，可别r r忘了啊！如（1）按向量 a 把 (2, -3) 平移到 (1,-2) ，则按向量 a 把点 ( -7,2) 平移到点

23、 _（答：（，）；（2）函数 y =sin 2 x 的图象按向量 a 平移后，所得函 数的解析式是 y =cos 2 x +1 ，则 a _（答： ( - ,1) ）412、向量中一些常用的结论 ：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；r r r r r r r r（ 2 ） | a | -| b |a b |a | +| b | ， 特 别 地 ， 当 a、b 同 向 或 有r r r rr r r rr r r r13ab ac1 2，特别地 p 为 p p 的中点；21 21 +l r r r r r0 | a +b |=|a | +| b |r r r| a | -| b |=|a -b | ；当 a、b 反向或有 0 | a -b |=|a | +| b | | a | -| b | =|a +b |r r r r r r不共线 | a | -| b |a b |a | +| b | (这些和实数比较类似).r r ；当 a、b（3 ）在 dabc 中，若 a (x, y ),b(x, y ),c(x,y )，