2019年上海高考数学·第一轮复习讲义 第17讲 数学归纳法与数列的极限

1、qnn n2019 年上海高考数学第一轮复习（第 17 讲 数学归纳法与数列极限）一、知识梳理（一）数学归纳法用数学归纳法证明命题的步骤(1）证明当n取第一个值n0(n0n*例如n0=1 或n =20) 时，命题成立，这是推理的基础；（2）假设当 n =k （ k n*, k n0）时命题成立，在此假设下，证明当n =k +1时命题也成立是推理的依据。在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法叫做数学归纳法。（3）结论。 注意：（1）用数学归纳法证明问题时首先要验证n =n0时成立，注意 n 不一定为 1；0（2）在第二步中，关键是要正确合理地运用归

2、纳假设，尤其要弄清由k 到 k +1 时命题的变化。（3）由假设 n =k 时命题成立，证 （二）数列的极限n =k +1时命题也成立，要充分利用归纳假设，要恰当地“凑”出目标。1、常用的几个数列极限 （1）对于数列 ，当q 1时，lim qn不存n n n 在；1（2）对于数列 n，有limn 1 1=0 。一般地，有 lim =0 （ a 0 ， a 为常数）； n n n a（3）对于无穷常数列c，有lim c =c。n 1, a b a -b （4） lim =0, a =b n a n +b n-1, a b2、数列极限的运算法则如果lim a =ann ，lim b =bnn ，那

3、么lim( a +b ) = a +b l i (ma -b ) = a -b n n n nn n lim( a b ) =a b n nn a al i mn = ( b 0) n b bn特别地，如果 c 是常数，那么，lim (ca n n)=c lim an n=ca- 1 -k3、无穷等比数列的各项和当公比| q |1时无穷等比数列an称为无穷递缩等比数列。我们把0 q 1的无穷等比数列的前n项的和sn，当n 时的极限叫做无穷等比数列的各项和，并用符号s表示。s =lim s =limnn n a (1 -q n ) a 1 = 11 -q 1 -q（0 q 1，前项和 s 满足1

4、 nlim s =nn 1a1，那么 a 的取值范围是 （ ） 1（a）（1，） （b）（1，4） （c）（1，2） （d）（1， 2 ）8、已知数列log (a-1)（ 2 nn n*）为等差数列，且a =31，a =52，则 limn 1 1 1+ +a -a a -a a -a 2 1 3 2 n1 + n=a. 2b.3 1 c. 1 d.2 29、把0.623化成分数后，0.623_。- 4 -2n +1a =nn10、计算：limn1 +3 +5 +l+(2n -1) 2 +4 +6 +l2n_。11、计算：limn2 n -3 n +1 2 n +1 +3 n=_。12、已知数列

5、a的通项公式是 nn +3 1 n 1000 n n 1000 n，则lim a =nn 1-a 13、若 lim 存在，则 a 的取值范围是_ n 2a 14、若limn n2 +1 -an -b =0 ，则 a =_， b = _ n +115、若limn 3n +13n+(a+1)1= ，则 a 的取值范围_ 316、已知无穷等比数列an的各项的和是 4，则首项 a 的取值范围是_117、已知等比数列a n的首项为a1，公比为 q，且有lim(n a 1 1 -q n ) =1 +q 4，则首项a1的取值范围_ _18、在数列a n中，a =4 n - n52，a +a +1 2l +a

6、 =ann2+bn （ n n*），其中a、b为常数，则limn a n -ba n +bnn的值是_19、等差数列a、b的公差都不为零，若lim n nn anbn=3b +b +lb ，则 lim 1 2 nn na4 n=_.20、设点a0为坐标原点，a ( n,n1n +1)( n n *)，记向量a = a a +a a +l +a a ，q 是 a n 0 1 1 2 n -1 n n n与i的夹角（其中i =(1,0)），设s =tannq +tan1q +l+tan 2qn，则lim s =nn _。三、总结反思- 5 -2n12 3n1n12n 四、课后作业1、设f ( n

7、) =1 n+2 (n -1) +3 (n -2) +l+n 1，则f ( n +1) - f ( n) =_2、用数学归纳法证明：1 +1 1 1+ + 1) 2 3 2n -1时 ,第一步验证不等式成立；在证明过程的第二步从 n =k 到 n =k +1成立时，左边增加的项数是1 83、设等比数列a （nn ）的公比 q= ，且 lim （a +a +a +a ）= ，则 a =_n 1 3 5 1n 4、若 s =n1 2 1 2 1 2+ + + +. + + ，则 lim s =_. 2 3 22 32 2 n 3n n 5、在无穷等比数列a中， lim( a +a + +a ) =

8、 ，则首项 a 的取值范围是_ n n 2 16、若2n -1, 1 n 6 a = 1, n 72n -6( n n*)，则lim an n 7、从 1 =1 2 ，2 +3 +4 =32 ， 3 +4 +5 +6 +7 =5 2，中找出规律，写出其一般的形式（不需证明）8、用数学归纳法证明1 1 1 1 1 1 1 11 +l+ - = + +l+ ( n n ) 2 3 4 2n -1 2n n +1 n +2 2n，则从 k 到 k1 时,左边应添加的项为（ ）(a)1 1 1(b) -2k +1 2k +2 2 k +4(c) 1 1 1(d) 2k +2 2 k +1 2 k +2

9、9、（07 上海）设f ( x)是定义在正整数集上的函数，且f ( x)满足：“当 f ( k ) k 2 成立时，总可推出 f ( k +1) ( k +1)2成立”那么，下列命题总成立的是 （ ）a.b.若 f (3) 9 成立，则当 k 1 时，均有 f ( k ) k 2 成立 若 f (5) 25 成立，则当 k 5 时，均有 f ( k ) k 2 成立c .若f ( 7 ) 49成立，则当 k 8 时，均有f ( k ) k2成立d.若f ( 4 ) =25成立，则当 k 4 时，均有 f ( k ) k 2 成立10、已知数列a的前n 项和 s 满足 s =1 - n n n23an，则其各项和 s 等于 （ ）a. 1b.3 5 2c . d.2