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文档简介
1、4第二十一章一元二次方程21.2.1 配方法 第 2 课时 配方法学习目标:1.了解配方法的概念.2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题. 3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.重点:运用配方法解一元二次方程及解决有关问题.难点:探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.自主学习一、知识链接1.用直接开平方法解下列方程.(1)9x2=1 (2)(x2)2=2.2. 你还记得完全平方公式吗?填一填:(1) a2+2ab+b2=( )2;(2) a22ab+b2=( )2.3.下列方程能用直接开平方法来解吗?(1) x2+6x+9 =5 (2)x2+4x+1=0课堂探究二、要点探究探
2、究点 1:用配方法解方程试一试 解方程: x2+6x+9 =5填一填 1 填上适当的数或式,使下列各等式成立. (1)x2+4x+ = ( x + )2(2) x26x+ = ( x )2(3) x2+8x+ = ( x+ )2(4) x2 x+ = ( x )23你发现了什么规律?要点归纳:配方的方法:二次项系数为 1 的完全平方式,常数项等于一次项系数一半的平方. 填一填 2 x2+px+( )2=(x+ )2想一想 怎样解方程 x2+4x+1=0?问题 1 方程 x2+4x+1=0 怎样变成(x+n)2=p 的形式呢?问题 2 为什么在方程 x2+4x=1 的两边加上 4?加其他数行吗?
3、要点归纳:像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程,叫做配方法.配方法解方程的基本思路:把方程化为(x+n)2=p 的形式,将一元二次方程降次,转化为一元一次方程求解 典例精析例 1 (教材 p7 例 1)解下列方程:(1) x28x+1=0; (2) 2x2+1=3x; (3) 3x26x+4=0.练一练 解下列方程:(1)x2+8x+4=0; (2)4x2+8x=-4; (3)-2x2+6x-8=0.归纳总结:一般地,如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p 的形式: 当 p0 时,则 x n p ,方程的两个根为 x n p , x n p .1 2当 p=0 时,则(x+
4、n)2=0,开平方得方程有两个相等的实数根 x =x =n.1 2当 p0 时,则方程(x+n)2=0 无实数根.思考 1 用配方法解一元二次方程时,移项时要注意些什么?思考 2 用配方法解一元二次方程的一般步骤?探究点 2:配方法的应用例 2 试用配方法说明:不论 k 取何实数,多项式 k24k5 的值必定大于零.练一练 应用配方法求最值.(1) 2x24x+5 的最小值; (2)3x2+ 5x +1 的最大值.例 3 若 a,b,c 为abc 的三边长,且 a26a b28b c 5 25 0 ,试判 abc 的形状.归纳总结:配方法的应用类别1. 完全平方式中的配方2. 求最值或证明代数
5、式的值为恒 正(或负)3. 利用配方构成非负数和的形式三、课堂小结解题策略如:已知 x22mx16 是一个完全平方式,所以一次项系数一半的平 方等于 16,即 m2=16,m=4.对于一个关于 x 的二次多项式通过配方成 a(x+m)2n 的形式后, (x+m)20,n 为常数,当 a0 时,可知其最小值;当 a0 时,可 知其最大值.对于含有多个未知数的二次式的等式,求未知数的值,解题突破口 往往是配方成多个完全平方式得其和为 0,再根据非负数的和为 0, 各项均为 0,从而求解.如:a2b24b4=0,则 a2(b2)2=0,即 a=0,b=2.配方法的定义 配方法的步骤通过配成完全平方形
6、式解一元二次方程的方法. 一移常数项;二配方配上(一次项系数2)2;配方法的应用三写成(x+n)2=p (p0); 四直接开平方法解方程. 求代数式的最值或证明当堂检测1.解下列方程.(1)x2+4x9=2x11; (2)x(x+4)=8x+12;(3)4x26x3=0; (4)3x2+6x9=0.2.已知代数式 x2+1 的值与代数式 2x+4 的值相等,求 x 的值.3.利用配方法证明:不论 x 取何值,代数式x2x1 的值总是负数,并求出它的最大值.z4.若 x24 x y26 y z 2 13 0 ,求(xy) 的值.5.已知 a,b,c 为abc 的三边长,且 a2+b2+c2aba
7、cbc=0,试判 abc 的形状.参考答案自主学习 一、知识链接122122 2 2 2 224 422 2 2 2 22 2222222,211.解:(1) x ,x313(2) x 2+ 2 ,x 2 2 1 22. a+b a-b3. 解:(1)可以,方程可以转化成(x+3)2=5 的形式,再利用开平方法求解;(2)可以,方程可以转化成(x+2)2=3 的形式,再利用开平方法求解.课堂探究二、要点探究探究点 1:用配方法解方程试一试 解:方程变形为(x+3) =5.开平方,得 x 3填一填 1 (1)22 2 (2)32 3 (3)42 4 (4)(5 , x 3 5 ,x 3 5 .
8、2 2) 23 3规律:对于二次项系数为 1 的完全平方式,常数项等于一次项系数一半的平方时,可以进行配方.填一填 2p p2 2问题 1 解:移项,得 x2+4x=-1.两边都加上 4,得 x2+4x+4=-1+4.整理,得(x+2)2=3.问题 2 解:二次项系数为 1,常数项等于一次项系数一半的平方时,可以进行配方,方程两边同 时加上 4.加其他的数不行.典例精析例 1解:(1)移项,得 x 8x=1,配方,得 x 8x+4 =1+4 ,即(x-4) =15.直接开平方,得 x 415 , x =4 + 15 ,x =4 - 15 . 1 2(2)移项,得 2x 3x=1,二次项系数化为
9、 1,得 x232x12,配方,得 x 232x34212342,即x342116.直接开平方,得 x3414, x 1 ,x 1 212.(3)移项,得3x 6x=4,二次项系数化为 1,得 x2 2 x ,配方,得 x 2 2 x 123 312 ,即 x 1213.因为实数的平方不会是负数,所以 x 取任何实数时,上式都不成立,所以原方程无实数根练一练解:(1)移项,得 x +8x=4,配方,得 x +8x+4 =4+4 ,即(x+4) =12.直接开平方,得 x 42 3 , x 4 2 3 ,x 4 2 3 .1 2(2)整理,得 x +2x+1=0,配方,得(x+1) =0.直接开
10、平方,得 x 1 0 , x1x21 .(3)整理,得 x -3x=4,配方,得 x3 72 4,原方程无实数根.思考 1 解:移项时需注意改变符号.思考 2 解:移项,二次项系数化为 1;左边配成完全平方式;左边写成完全平方形式;降次; 解一次方程.探究点 2:配方法的应用例 2 解:k24k5=k24k41=(k2)21.因为(k2)20,所以(k2)211.k24k5 的值必 定大于零.练一练 (1)解:原式 = 2(x - 1) +3,当 x =1 时,有最小值 3.(2)解:原式= -3(x -1) - 4,当 x =1 时,有最大值-4.例 3解 : 对 原 式 配 方 , 得a
11、32b 42c 5 0,由 代 数 式 的 性 质 可 知a 3 0, b 4 0, c 5 0, a 3,b 4,c 5, a2b2324252c所以 abc 为直角三角形.当堂检测1.解:(1)此方程无解; (2) x16 ,x22 ; (3) x13 + 214,x23421; (4) x13 ,x21.2 2 23.解:xx1=(x1 1 1 3 1 1 31 32 222.解:根据题意得 x +1=2x+4,整理得 x 2x3=0,配方得(x1) =4,解得 x =1,x =3.1 22 2+x+ )+ 1=(x+ )2 .(x+ )20,(x+ )2 0.x2x4 4 2 4 2 2 41 的值总是负数.当 x=
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