2020秋九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1第2课时配方法导学案

1、4第二十一章一元二次方程21.2.1 配方法 第 2 课时 配方法学习目标：1.了解配方法的概念.2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题. 3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.重点：运用配方法解一元二次方程及解决有关问题.难点：探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.自主学习一、知识链接1.用直接开平方法解下列方程.(1)9x2=1 (2)(x2)2=2.2. 你还记得完全平方公式吗？填一填：(1) a2+2ab+b2=( )2；(2) a22ab+b2=( )2.3.下列方程能用直接开平方法来解吗?(1) x2+6x+9 =5 (2)x2+4x+1=0课堂探究二、要点探究探

2、究点 1：用配方法解方程试一试 解方程： x2+6x+9 =5填一填 1 填上适当的数或式，使下列各等式成立. (1)x2+4x+ = ( x + )2(2) x26x+ = ( x )2(3) x2+8x+ = ( x+ )2(4) x2 x+ = ( x )23你发现了什么规律？要点归纳：配方的方法：二次项系数为 1 的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方. 填一填 2 x2+px+( )2=(x+ )2想一想 怎样解方程 x2+4x+1=0？问题 1 方程 x2+4x+1=0 怎样变成(x+n)2=p 的形式呢？问题 2 为什么在方程 x2+4x=1 的两边加上 4？加其他数行吗？

3、要点归纳：像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.配方法解方程的基本思路：把方程化为(x+n)2=p 的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解 典例精析例 1 (教材 p7 例 1)解下列方程：(1) x28x+1=0； (2) 2x2+1=3x； (3) 3x26x+4=0.练一练 解下列方程：(1)x2+8x+4=0； (2)4x2+8x=-4； (3)-2x2+6x-8=0.归纳总结：一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p 的形式： 当 p0 时，则 x n p ，方程的两个根为 x n p ， x n p .1 2当 p=0 时，则(x+

4、n)2=0，开平方得方程有两个相等的实数根 x =x =n.1 2当 p0 时，则方程(x+n)2=0 无实数根.思考 1 用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？思考 2 用配方法解一元二次方程的一般步骤？探究点 2：配方法的应用例 2 试用配方法说明：不论 k 取何实数，多项式 k24k5 的值必定大于零.练一练 应用配方法求最值.(1) 2x24x+5 的最小值； (2)3x2+ 5x +1 的最大值.例 3 若 a，b，c 为abc 的三边长，且 a26a b28b c 5 25 0 ，试判 abc 的形状.归纳总结：配方法的应用类别1. 完全平方式中的配方2. 求最值或证明代数

5、式的值为恒 正(或负)3. 利用配方构成非负数和的形式三、课堂小结解题策略如：已知 x22mx16 是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平 方等于 16，即 m2=16，m=4.对于一个关于 x 的二次多项式通过配方成 a(x+m)2n 的形式后， (x+m)20，n 为常数，当 a0 时，可知其最小值；当 a0 时，可 知其最大值.对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口 往往是配方成多个完全平方式得其和为 0，再根据非负数的和为 0， 各项均为 0，从而求解.如：a2b24b4=0，则 a2(b2)2=0，即 a=0，b=2.配方法的定义 配方法的步骤通过配成完全平方形

6、式解一元二次方程的方法. 一移常数项；二配方配上（一次项系数2）2；配方法的应用三写成(x+n)2=p (p0)； 四直接开平方法解方程. 求代数式的最值或证明当堂检测1.解下列方程.（1）x2+4x9=2x11； （2）x(x+4)=8x+12；（3）4x26x3=0； （4）3x2+6x9=0.2.已知代数式 x2+1 的值与代数式 2x+4 的值相等，求 x 的值.3.利用配方法证明：不论 x 取何值，代数式x2x1 的值总是负数，并求出它的最大值.z4.若 x24 x y26 y z 2 13 0 ，求(xy) 的值.5.已知 a，b，c 为abc 的三边长，且 a2+b2+c2aba

7、cbc=0，试判 abc 的形状.参考答案自主学习 一、知识链接122122 2 2 2 224 422 2 2 2 22 2222222，211.解：(1) x ，x313(2) x 2+ 2 ，x 2 2 1 22. a+b a-b3. 解：(1)可以，方程可以转化成(x+3)2=5 的形式，再利用开平方法求解；(2)可以，方程可以转化成(x+2)2=3 的形式，再利用开平方法求解.课堂探究二、要点探究探究点 1：用配方法解方程试一试 解：方程变形为(x+3) =5.开平方，得 x 3填一填 1 (1)22 2 (2)32 3 (3)42 4 (4)(5 ， x 3 5 ，x 3 5 .

8、2 2) 23 3规律：对于二次项系数为 1 的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方时，可以进行配方.填一填 2p p2 2问题 1 解：移项，得 x2+4x=-1.两边都加上 4，得 x2+4x+4=-1+4.整理，得(x+2)2=3.问题 2 解：二次项系数为 1，常数项等于一次项系数一半的平方时，可以进行配方，方程两边同 时加上 4.加其他的数不行.典例精析例 1解：(1)移项，得 x 8x=1，配方，得 x 8x+4 =1+4 ，即(x-4) =15.直接开平方，得 x 415 ， x =4 + 15 ，x =4 - 15 . 1 2(2)移项，得 2x 3x=1，二次项系数化为

9、 1，得 x232x12，配方，得 x 232x34212342，即x342116.直接开平方，得 x3414， x 1 ，x 1 212.(3)移项，得3x 6x=4，二次项系数化为 1，得 x2 2 x ，配方，得 x 2 2 x 123 312 ，即 x 1213.因为实数的平方不会是负数，所以 x 取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根练一练解：(1)移项，得 x +8x=4，配方，得 x +8x+4 =4+4 ，即(x+4) =12.直接开平方，得 x 42 3 ， x 4 2 3 ，x 4 2 3 .1 2(2)整理，得 x +2x+1=0，配方，得(x+1) =0.直接开

10、平方，得 x 1 0 ， x1x21 .(3)整理，得 x -3x=4，配方，得 x3 72 4，原方程无实数根.思考 1 解：移项时需注意改变符号.思考 2 解：移项，二次项系数化为 1；左边配成完全平方式；左边写成完全平方形式；降次； 解一次方程.探究点 2：配方法的应用例 2 解：k24k5=k24k41=(k2)21.因为(k2)20，所以(k2)211.k24k5 的值必 定大于零.练一练 (1)解：原式 = 2(x - 1) +3，当 x =1 时，有最小值 3.(2)解：原式= -3(x -1) - 4，当 x =1 时，有最大值-4.例 3解 ： 对 原 式 配 方 ， 得a

11、32b 42c 5 0，由 代 数 式 的 性 质 可 知a 3 0， b 4 0， c 5 0， a 3，b 4，c 5， a2b2324252c所以 abc 为直角三角形.当堂检测1.解：(1)此方程无解； (2) x16 ，x22 ； (3) x13 + 214，x23421； (4) x13 ，x21.2 2 23.解：xx1=(x1 1 1 3 1 1 31 32 222.解：根据题意得 x +1=2x+4，整理得 x 2x3=0，配方得(x1) =4，解得 x =1，x =3.1 22 2+x+ )+ 1=(x+ )2 .(x+ )20，(x+ )2 0.x2x4 4 2 4 2 2 41 的值总是负数.当 x=