不等式专题——不等式的解法

1、12二v1.0 可编辑可修改知识回顾一、一元一次不等式的解法 1一元一次不等式 ax b ( a 0)专题复习不等式的解法的解集情况是（1）当a 0时，解集为x | x b b （2）当 a 0 时，解集为x | x a a2两个一元一次不等式所组成的一元一次不等式组的解集情况，可以归结为以下四种基本类型：类型（设a ax bx ba bx ax aabx ba x babx bfab二、一元二次不等式的解法一元二次不等式可利用一元二次方程 ax2+bx +c =0与二次函数y =ax2+bx+c的有关性质求解，具体见下表：a 0，d=b 2 -4 acd0d=0d0的解集x | x x 1

2、2x | x x 1r次不等ax2不等式 +bx +c 0的解集x | x x x 1 2 注：1解一元二次不等式的步骤：（1） 把二次项的系数a变为正的（如果a 0 且 d0 时，定一元二次不等式的解集的口诀：“小于号取中间，大于号取两边” 1第1页共 4 页()()()f xfx()()() ()aa()()() ()aa2()v1.0 可编辑可修改三、含有绝对值的不等式的解法 基本口诀：“小于号取中间，大于号取两边”（1）（2）（3）f (x)g(x)-g(x)f(x)g(x)f(x)g(x) f (x)g(x)f2 (x)g2(x)（4）零点分段法：x -a + x -b 0（或f (

3、 x ) 0），一般用数轴标根法求解，其步骤是：（1） 将（2） 将f ( x)f ( x)的最高次项的系数化为正数；分解为若干个一次因式的积；（注意：确保每个因式x系数为正）（3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线；（注意：“奇穿偶不穿”）（4）根据曲线显现出f ( x)值的符号变化规律，写出不等式的解集如：若a a a l01 2 n或( x -a )(x -a ) l( x -a ) 01 2 n的解法如下图（即“数轴标根法”）：五、分式不等式的解法对于解f ( x) f ( x )0(0 f ( x ) g ( x) 0 （2）g ( x) g ( x )0

4、f ( x ) g ( x) 0f ( x ) （3）g ( x )0 f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) f ( x ) g ( x ) 00 g ( x ) 0 （4） g ( x ) g ( x ) 0六、指数、对数不等式的解法 1、指数不等式（1）当0 a 1时，af(x)g(x)（2）当a 1时，af(x)a g x f (x)0 t=amt2+nt +l 0 （注意 t 0 ）2、对数不等式（一定注意真数大于零，底数大于零且不等于一）（1）当0 a 0log f x g x（2）当a 1时，f(x)0log f x log g x fx 0t=logafxmt a2

5、+nt +l 0注意：解指数、对数不等式主要用“同底法”将不等式化成底数相同的指数或对数式;换元法，注意中间 变元的取值范围。解指数、对数不等式应和分式不等式一样，需先将非标准形式化成标准形式再求解，解对数 不等式一定注意真数、底数的取值范围。2第2页共 4 页( x -1)( x +1)-422212v1.0 可编辑可修改例题精解【例 1（1）】解下列不等式组，并在数轴上表示出它们的解集：x -2 02 x -1 4 x +31 - x -5 0 3 2 （2）x -8 0（2）2 x -32 -3 x1（3）( x +2)2( x -1)3( x +1)( x -2) x +1（5）x +

6、2 + x -1 9（6）2x 2-2 x -310 （8） 2 log12x +7 log x +3 0 【点评】解常规不等式的关键是将所解不等式转化为“标准”不等式，然后按相应方法求解。【例3】解关于x的不等式：（1）x2 -( a +a 2 ) x +a 31（3）2loga(x-1)log 1+a(x-2)a(a1)（4）ax-1 + a2 x-3 2(a0,a 1)3第3页共 4 页v1.0 可编辑可修改4第4页共 4 页22v1.0 可编辑可修改【例4】已知 f(x)=ln x -1 + 1a，设f(x)=f(x)-m +ax，其中 a 0 ，求 f (x)的单调区间；【点评】解含

7、有参数的不等式的关键是对参数的讨论，明确什么时候才需要讨论 ，按什么标准分类讨论 ，不能盲目胡乱分类讨论。【例 5】（1）关于 x 的不等式 ax2+bx+c0 的解集为x|x(0 的解集. （2）已知不等式 (m2+4m -5 )x2-4(m-1)x+30对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围【点评】 1、不等式解区间端点，就是使得等式等于零的方程的根。2、要使不等式 ax2 +bx +c 0对一切实数 x 恒成立的，则一般分这两种情况讨论：一种是当a =0时特殊情况，一种是当 a 0 且 d0 时的情况3、要使不等式 ax2 +bx +c 0对一切实数 x 恒成立的，则一般分这两种情况讨论：一种是当a =0时特殊情况，一种是当 a 0 且 d0（3）x + x -1 log (2 x +10)13 32、解关于 x 的不等式（1）a3 x -4 x -5a2 x -3x +1（2）ax2-(a+1)x+102、（1）若不等式2 x2-bx +a 0 的解集为 x | 1 x 5 ，求 a、b 的值。5第5页共 4 页v1.0 可编辑可修改（2）关于 x 的不等式ax2+bx +c 0的解集为1x | x - 2，求关于 x 的不等式ax2-bx