现代控制理论习题解答(第二章)

1、第三部分现代控制理论习题详解第二章 状态空间表达式的解 状态空间表达式的解 3-2-1 试求下列矩阵 A对应的状态转移矩阵0( t ) (1) 0 1 0 1 A (2)A 0 2 40 0 1 0 1 0 (3) A (4) A 0 0 1 1 2 2 5 4 0 1 0 0 0 0 0 /u、0 0 1 0 0 1 0 (5) A (6) A 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 【解】： 1 1 L1 s s(s 2) 1 0 (s 2) (1) 1 11Is1 (t) L (si A) L 0 s 2 1 0.50.5 L1 s s (s 2) 2t 10.5 0.5

2、e 0 1 c2t 0e (s 2) s 1 L 1 s24 s24 cos 2t 0.5sin 2t 4 s 2sin 2t cos2t 2 2 s 4 s 4 (2) 1 s (t) L (si A) L 4 s (3) s 21 (t)(si A) 1 L1 s12 L1 (s 1)(s s1) 1 s 21s (s 1)2 (s 1)2 (t) te t e t te t te t e t te t (4) 特征值为：12 1，32。 由习题3-1-7(3)得将A阵化成约当标准型的变换阵 19 第三部分现代控制理论习题详解第二章状态空间表达式的解 1 0 1 P 112 ， P 12

3、4 线性变换后的系统矩阵为: 1 1 0 1 A P AP 010 0 0 2 ettet0 eAt0et0 00e2t 10 1 e2t 00 (t) At e At Pe P 11 20ettet (1) 23 1 2 400 et 2t e 2tet 2e2t 3tet 2et e2 tet et (t)2e2t 2tet 2et 4e2t 3tet 5et 2e2t tet 2et ,2t 4e 2tet 4et 8e2t 3tet 8et 4e2t tet 3et (5) (t) eAt 为结构四重根的约旦标准型。 1 2 34 0 1丄2 1丄3 丄1x2 1 3 1 t t t

4、1 tt2 t3 2! 3! 2 6 Att 亠 1 2 12 (t) eAt e t 0 1 t t 0 1t t 2! 2 0 0 1 t 0 0 1 t 0 0 0 1 0 0 0 1 (6) 1 2 34 虽然特征值相同，但对应着两个约当块。 eA1t 0 A2t t 丄t 1 丄2t e te t e 2 0 t e te t 0 0 t e eA2t (t) eAt 或(t) L 1(sI A) 1 1 0 te t e t 0 0 1 .2 t e 2 te t t e L1 0 te t e t 0 1 3 (s ) 1 (s ) + 2 t e te t t e s 已知系统

5、的状态方程和初始条件 1 0 0 1 x 0 1 0 x, x(0) 0 0 1 2 1 3-2-2 (1) 用laplace法求状态转移矩阵; (2) 用化标准型法求状态转移矩阵; (3) 用化有限项法求状态转移矩阵; (4) 求齐次状态方程的解。 【解】： 第三部分现代控制理论习题详解第二章状态空间表达式的解 121,32。 0 0 0 rank ( 11 A) rank 0 0 0 山 1 0 1 1 0 0 0 rank ( 11 2 A)rank 0 0 0 n21 0 1 1 1 (t) L (si A) s 100 i L 0 s 10 01 s 2 1 0 0 (s 1) t

6、e 0 0 L 10 1 0 0 et0 (s 1) t2t2t 1 1 1 0 e e e 0 (s 1) (s 2) (s 2) （2） 特征方程为: 1 0 0 2 0 1 0 ( 1)( 0 1 2 2) 0 特征值为: 由于n2 n1 1，所以1对应的广义特征向量的阶数为1。 求满足（1l A）R 0的解R，得： 0 0 0 P11 1 0 0 0 P21 0，P1 0 0 1 1 P31 0 再根据（2l A）F2 0，且保证P、P2线性无关，解得: P20 11 T 对于当32的特征向量，由（3l A）P30容易求得: 所以变换阵为: PPlP2P3 线性变换后的系统矩阵为： A

7、 P At e et0 (t) eAtP 0 et 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 ，P1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1AP 0 1 0 0 0 2 et 0 0 0 t e 0 0 0 2t e 0 t e 0 0 0 P1 0 t e 0 e2t 0 t e 2t e 2t e (3) 特征值为: 1 2 1, 3 2。 e 1ta0 a1 1 2 a2 1 te lta12a 2 1 021et 25 3t 2 aai 3 a2 3 it ao ai a2 e te 1t 3t 1111et 012tet 124e2t 232 tet 2t e 第三部分

8、现代控制理论习题详解第二章 状态空间表达式的解 2tet 2t e 2et 3tet 2e2t e t . t te 2t e At. ea0l a1 A a2 a2A t e 0 0 0 t e 0 0 t e 2t2t e e 0 e t2t 0 e e x(t) (t)x(O) 0 1 t e 0 0 0 2t e 1 2t e 29 3-2-3试判断下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求对应的矩阵A。 (1) (t)0si ntcost ( 2) 0 cost sin t 2t (t) 0 0.5(e 2：) t2tt2tt3tt3t 2ee2e2e“、，、0.5e0.5e

9、0.25e0.25e (3)t2tt2 2t( 4)t3t05t0 5 3t 2eee0.5e0.5 【解】： (1) sin t cost cost sin t 不满足状态转移矩阵的条件。 (2) (0) 0.5(1 e 2t e 2t 满足状态转移矩阵的条件。 由(t) A (t)，得(0) A (0) (3) (4) 3-2-4 (t) 0 e 2t 2e 2t (0) 2e t e t 2t e 2t e (0) 2t e 2e 2t 满足状态转移矩阵的条件。 A (0) 2e t e t 2e 2t 2e 2t (0) 0.5e t e 3t 0.5e 3t e 满足状态转移矩阵的条

10、件。 A (0) 0.5e t t e 1.5e3t 3e3t 【解】： 2e t e t 2e t et 2t 2e 2e 2t 4e 2t 4e 2t 0.25e t 0.5e t 0.25e3t 0.5e3t 0.25e t 0.5e t 0.75e3t 1.5e3t 2t 1 已知线性时变系统为 xx，试求系统的状态转移矩阵。 2t A(ti) 2t1 1 1 2t1 A(t2) 2t2 1 1 2t2 ,得：A(tJ*A(t2) A(t2)* A(ti) (t,t0) t A( )d et0 to 1 2! to 1 (to t2) t；) t。) t0 to t2 t0 t2 (t

11、2 t2) 掃)-(tt0) 2 3-2-5 已知线性定常系统的状态方程为x 01 x 0 u，初始条件为x(0)1试 2311 求输入为单位阶跃函数时系统状态方程的解。 【解】： 第三部分现代控制理论习题详解第二章状态空间表达式的解 1 1 (t) L (si A) 3-2-6 (t) L1 (S s 3 1 ct2t 2ee etc 2e2e t2t ee tc 2t e2e 1)(s 2 2) (s 1)(s s 2) (s 1)(s 2) (s 1)(s 2) 2t x(t) (t)x(0) A 1I (t)B 0.5 0.5e 2t 已知线性定常系统的状态空间表达式为x 0 5 2

12、0U，y 1 2X，已知 2 # 状态的初始条件为x(0)0，输入量为u(t) e t (t 0),试求系统的输出响应。 1 【解】： 5 t 1 5t 1t 1 5t e e e e 4 4 4 4 5 t 5 5t 1t 5 5t e e e e 4 4 4 4 (t)(si A) 1 t y(t) c (t)x(0) c (t )Bu( )d 0 5 t 1 5t e e 1 2 4 4 5 t 5 5t e e 4 4 (t ) 5(t) 1t 1 5t e e 0 4 4 0 1t 5 5t 1 e e 4 4 (t ) 5(t ) 5 e 4 5 e 4 (t 1 e 4 5 e

13、4 5(t 1 e 4 1 (t e 4 1 e 4 5 e 4 5(t 5t 5e (t e 2 5 e 2 (t 1 5(t e 2 55(t e 2 5t 5t 4 )d 5 te 2 -e 5t (t 0) 8 第三部分现代控制理论习题详解第二章 状态空间表达式的解 t e t，试求: e 2t1 X(t) ；e浜；而当x(0)1时，状态方程的解为x(t) (1) 系统的状态转移矩阵(t)； (2) 系统的系数矩阵 Ao 【解】： x(t) (t)x(O) 2t e 2e 2t 11 11 (t) 11 21 X1(t) X2 (t) 11 21 11 21 12 12 12 22 1

14、2 22 X1(0) X2(0) 12 22 2t e ， 2e 2e 11 21 12 1 22 1 21 21 2 22 2e 2t 22 2t e 2e 2t e 2t 2e 2t 39 (t) t 0 3-2-8 0 1 1 已知线性时变系统为Xx, x(0)，试求系统状态方程的解。 0 t1 【解】： 对任意时间t 1和12有A(t1) 0 1 0 t1 ， Ag 0 0 1 t2 得：A(t1)*A(t2) A(t2)*A(t1) 所以有 t t 1 (t,0) I A( )d A( 1 )A( 2)d 2d 1 0 0 0 1 0 0 t 0 h2 2 0 1 0 2 0.5t2

15、 0 t3 6 x(t) (t,O)x(O)( 0 0 1 0 t 2 00.5t2 It2 2 -t3 6 1 1 2 t - t2 2 0 1 0.5t2 !t3 6 x(t) (1 1 t -t 2 21,3 0.5t t 6 3-2-9已知线性定常离散系统的状态空间表达式为 1 1 x1(k 1)T 2 8 X1(kT)1 0 U1 (kT) X2(k 1)T 1 1 X2(kT)0 1 U2 (kT) 8 2 y(kT) 1 1 X1(kT) ” J X1(0) 1 X2(kT) X2(0) 3 若u,kT）与U2（kT）为同步采样时，且（kT）是来自斜坡函数t的采样，即山t, U2

16、（kT） 是来自指数函数u2（t） e t的采样。试求系统的输出响应 y （KT）。 【解】： 方法一： 利用Z变换的方法求解: ZU1(t)Z(t) Tz (z 1)2 ZU2 (t) Z(e t) z (z e T) Tz U(z) (z 1)2 z (z e T) 1 1 X(z) (zI G) zx(0) (zI G) HU (z) X(z) z 0.5 0.125 1 0.1251 z z 0.53 1 z 0.50.125 HU (z) 0.125 z 0.5 32( 2z 1) 8 2 X(z)64 z 64 z 15 8 64z2T 64z264z 1564z2 64z 15

17、(z e 1 ) 64z 32(2z 1) 15 z 1 3 2 64 z 64 z 15 64z264z 15 32(2z 1) 8 64 z2 64 z 8 15 64 z264 z 32 (2 z 1) 15 1 0 15U (z) 0 1 64 z2 64 z 15 64 z264 z 15 32z(2z 1) 8z 64z264 z 15 2 1 64z64z 151 8z 32z(2z 1)3 64z264 z 15 64z264z 15 32(2z 1)8Tz 2 2 2 64z64z 1564z64z 15 (z 1) 832(2z 1)z 第二部分为: 2z z _3 5 z

18、 z - 88 2z z _35 z z - 88 Tz (z 8)(z |) (z市 8 8 1 8 35 (z )(z) 88 (z 0.5) 1 z (z 次z |)(z eT) 8 8 Tz (z 1)2 (z (z 0.5) z 証尹J 32 Tz 32 Tz 32 Tz 1088 Tz 25 3 z 9z 5 15 (z 1)2 225 z 1 8 8 +第二部分 =第一部分 (z 3、,3 T )(z 5、 / 5 t e ) ( e 8八8 8 8 32 Tz 32 Tz 8 Tz 25 3 z - 9 5 z 15 (z 1)2 8 8 0.5z 0.5z 05z0.5z )

19、8(z e T)(- e T)(- e T) 512 Tz 225 z 1 (0.5 e T)z T ) (z沁 e e T) zeT) e 8 32 0.5 5 k 32 T () T 9 5T 8 15 e 8 1088 T 225 kT e 8(3 e T)(5 e T) 8 8 32 T 0.5 3 k (8)k 32t 25 3 T 9 e 8 0.5 5 e 8 (5)k kT 15 512(0.5 eT)ekT 225 x(kT) x1(kT) x2(kT) y(kT) Cx( kT) 1 1 x(kT) y(kT) 1 (3)k 色T 1 3T 8 9 5T e e 8 8 方

20、法二： 利用递推算法求解差分方程组： (5)k kT 15 1600 T 225 (0.625 eT )ekT 强eT 8 )(5 8 e T) k 1 1 xdT 2 8 X1 (0) 10u1(0) X2T 1 1 X2 (0) 01 U2(0) 8 2 0 2 8 1 113 8 2 19 y(0) 1X1() X2 (0) 2; y( T) 1 1 x1(T) X2 (T) 8 19 特征方程为 zI A (z 0.375)(z 0.625)0 特征值为： z10.375, z2 0.625。 1110.5 0.5 P，P 110.50.5 k 0.375k 0 1 (k) P k P

21、 0 0.625 0.5 0.375k 0.5 0.625k 0.5 0.375k 0.5 0.625 k (k) 0.5 0.375k 0.5 0.625k 0.5 0.375k 0.5 0.625k k-1 利用x(k) (k)x(0) (k-j-1)Hu(j) 得: x(T) -0.1250 2.3750 x(3T) x(2T) 15/64 +T 75/64 + e -T -T 135/512 +5/2* T+ 1/8* e T 315/512 +1/8*T+1/2*e 1 -2T -T-2T 855/4096 + 273/64 *T+1/8*e+ 1/8* e 1395/4096 +

22、3/8*T + 17/64*e-T +1/2* e-2T + e-3T x(5T) y(kT) M(kT) X2 (kT) y(T) 2.25 -T y(2T)90/64 + T + e -T-2T y(3T)450/512 + 2.625T + 0.625e T +e -T-2T-3T y(4T)2250/4096 + 4.6406T +0.3906e+ 0.625e e 3-2-10 xi(k X2(k X3(k y(5T) 已知连续系统的状态方程为： 1)T 1 0 0 X1(kT) 1 1)T 0 2 2 X2 (kT) 0 u(kT) 1)T 1 1 0 X3(kT) 1 j 0 第

23、三部分现代控制理论习题详解第二章 状态空间表达式的解 X1 (0)1 系统的初始状态为X2 (0)0 X3(0)2 试求当控制序列为u(kT) 2kT (T 1秒)时离散系统的状态x(kT)。 【解】： 利用递推算法求解差分方程组： 1 0 0 k (k) Gk 0 2 2 1 1 0 1 0 0 1 0 0 (1) G10 2 2， 2 (2) G 2 2 4 1 1 0 1 2 2 1 0 0 1 0 0 G36 0 4， (4) G4 10 4 0 1 2 4 5 0 4 1 x (1)x(0) (0)Hu(0) 4 1 3 x(2)(2)x(0)(1)Hu(0)(0)Hu(1)6 7

24、7 x(3)(3)x(0)(2)Hu(0)(1)Hu(1)(0)Hu(2)2 13 13 x(4)(4)x(0)(3)Hu(0)(2)Hu (1)Hu(2)(0)Hu(3)30 x(5) 3-2-11 已知离散系统的结构图如题3-2-11图所示, 题3-2-11图 （1）求系统离散化的状态空间表达式； 当采样周期T 0.1秒时，输入为单位阶跃函数，且初始条件为零时离散系统的输出 y(kT)。 【解】： 方法一： 依据方框图求闭环脉冲传递函数: G 开(z)(1 1） s（ s 1）（ s 2） G开（1 1） 0.5 0.5 r2 G开（z） (1 z 0.5z ) ) z e G开(z) (

25、z 1)(笛 z 1 C（ z） R（ z） G 开(z) 1 G开（z） 0.5(1 0.5(1 4e T、2 e ) z 2T e )z 0.5e 0.5e T(1 e T)2 (1 2e T 3e 2T X1(k1)T X2(k1)T 0.5e T(1 2e T 3e 2T) 1 0.5(1 4e T 2T X1(kT) )X2(kT) 0 1 r(kT) y(kT) 0.5e T(1 e T)2 0.5(1 e T)2 X1(kT) X2(kT) 当采样周期 0.1秒时 C (z) R( z) G开(z) 0.0046z 0.0041 1 G开(z) z21.7190z0.7448 4

26、3 依据闭环脉冲传递函数写出状态空间表达式: 第三部分现代控制理论习题详解第二章状态空间表达式的解 x1(k 1)T 0 1 X1 (kT) 0 r(kT) X2【(k 1)T 0.7448 1.7190 X2 (kT) 1 X1(kT) y(kT) 0.0041 0.0046 J X2(kT) 求零初始条件下单位阶跃输入的输出y(kT)。 (k) Gk 0 k 1 0.7448 1.7190 (1) G1 (2) G2 (3) G3 (4) G4 x(k) (k)x(0) 0 1 0.7448 1.7190 0.74481.7190 1.28032.2102 1.28032.2102 1.6

27、4612.5190 1.64612.5190 1.87612.6840 k 1 (k j 1)Hu(j) j 0 又因为输入为单位阶跃函数，且初始条件为零，所以 k 1 x(k)(k j 1)H j 0 0 0 x(1) (0) 1 1 x(2)(1)H (0)H 1 2.7190 x(3)(2)H (1)H (0)H 2.7190 4.9292 4.9292 x(4) H (2)H(1)H(0)H 7.4482 x(5) y(k) Cx(k) Du(k) y(k) Cx(k) 0.0041 0.0046 x(k) y Cx(1) 0.0041 0.0046 x(1) 0.0046 y(2) Cx(2) 0.0041 0.0046 x(2) 0.0166 y(3) Cx(3) 0.0041 0.0046 x(3) 0.0388 y(4) Cx(4) 0.0041 0.0046 x(4) 0.0545 1 49 方法二： 系统中连续时间被控对象的传递函数为: G(s)( s 1)( s 2) 系统中连续时间被控对象的状态空间表达式为: 1 (s 1) 1 (s 2) 状态转移矩阵为: 1 1 (t) L (si A) L1 (s 1) 1 (s 2) H(T)