线性代数基础和常考知识点

1、线性代数基础知识点 A可逆 r（A） n A的列（行）向量线性无关 A的特征值全不为0 Ax 只有零解x ，Ax Rn,Ax总有唯一解 ATA是正定矩阵 A E A pi p2 Ps Pi是初等阵 存在n阶矩阵B,使得AB E或AB E （注注：全体n维实向量构成的集合Rn叫做n维向量空间 A不可逆 r（A） n A的列（行）向量线性相关 0是A的特征值 0的特征向量 Ax 有非零解,其基础解系即为A关于 15 O aE bA r(aE bA) (aE bA)x = =-b n 有非零解 具有 反身性、对称性、传递性 向量组等价 矩阵等价（） 矩阵相似（：） 矩阵合同（；） V 关于 e,%

2、,en: 称为？ n的标准基，？ n中的自然基，单位坐标向量p教材87 ； e,e2, ,en线性无关; e,e2, ,en 1 ； trE= n ； 任意一个n维向量都可以用e,仓，,en线性表示 a11 2 L a1n a21 a22 L a2n M M M an1 an 2 L ann 行列式的定义Dn (1) jL jn (ML jn) aij1 a2j2 L anjn V行列式的计算: 行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘 积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 若A与B都是方阵（不必

3、同阶） A O O B O A B O AB (i)mn|AB （拉普拉斯展开式） 上三角、下三角、主对角行列式等于主对角 ai n 关于副对角线：a2n 1 N aniO 取自不同行不同列的 n个元素的乘积的 O% a2n 1n(n 0 (1)FQna2nK ani(即：所有 N an1O 1 1 L 1 X1 X2 L Xn 范德蒙德行列式： 2 X1 2 X2 L 2 Xn M M M n 1 X1 n 1 X2 L n 1 Xn 矩阵的定义 由m n个数排成的 m行n A aij 或Am n m n A1 A21 L An1 *T A2 A22 L Ai2 伴随矩阵 AAj M M M

4、 A1n A2n L Ann V逆矩阵的求法 Xi Xj 1 j i n a11 *12 L a1 n *21 A21 a22 L *2n称为m n矩阵记作: M M M am1 am2 L amn Aj为A中各个元素的代数余子式. 示.即： C的列向量能由 A的列向量线性表示， B为系数矩阵 同理： C的行向量能由 B的行向量线性表示， A为系数矩阵 an a12L a1n 1Ci an 1a12 2 L a1n 2 G 即： a21 a22L a2n 2 C2 a21 1 a22 2 L a2n 2 C2 M M M MM L L L an1 an2L n弔 am1 1 am2 2 L a

5、mn 2 Cm 用对角矩阵 乘一个矩阵 ,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的 ( 用对角矩阵 （右乘一个矩阵 ,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的 ( 彳行向量; 歹列向量. ad bC c 换位 变号 (AME) 初等行变换 (EMA 1) a1 a2 a2 a2 ai a3 a2 as as V方阵的幕的性质: AmAn (Am)n (A)mn V设Am n，Bn s，A的列向量为 2, n , B的列向量为 则 AB Cm s bn b21 M b22 M b1s b2s M C1,C2 ,L Cs Ci (i 1,2 ,L ,s) 1,A 2, bn1 bns Ax C

6、i C1 C2,L Cs q,C2丄 ,Cs可由 n线性表 V两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘 V分块矩阵的转置矩阵： A T B at CT C D bt dt A 1 A1 1 A B 1 分块矩阵的逆矩阵： B B 1 B A 1 A 1 C A1 A 1CB 1 A 1 O A 1O O B O B C B B 1CA 1 B 分块对角阵相乘：A A11 A22 ,B B11 AB A11B11A n ,A A22 B22 分块对角阵的伴随矩阵: BA 1)mn A B AB (1)mn B A 矩阵方程的解法（A 0）:设法化成（I） AX B 或(II) XA B

7、(I) 的解法：构造（AW） 初等行变换 （EMX） (II) 的解法：将等式两边转置化为atxt BT， 用（I）的方法求出XT，再转置得X 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.（向量个数变动） 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关 ,原向量组相关.（向量维数变动） 两个向量线性相关 对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关 P教材114 向量组 1? 2, n中任一向量i （1 i w n）都是此向量组的线性组合 向量组 n线性相关向量组中至少有一个向量可由其余n 1个向量

8、线性表示 向量组 n线性无关向量组中每一个向量i都不能由其余 n 1个向量线性表示. m维列向量组 2, n线性相关 r(A) n ； m维列向量组 2, n线性无关 r(A) n. n线性无关，而 线性相关，则可由 1, 2, n线性表示,且表示法唯 矩阵的行向量组的秩 列向量组的秩矩阵的秩.行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数 行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为0;每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶 梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在列的其他元素都是0 时，称为行最简形矩阵 ? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩，且不改变列向量间的

9、线性关系; 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩，且不改变行向量间的线性关系 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩 V矩阵的初等变换和初等矩阵的关系: 对A施行一次初等(行行变换得到的矩阵，等于用相应的初等矩阵 困乘A ; 对A施行一次初等少变换得到的矩阵，等于用相应的初等矩阵 乘A. 矩阵的秩如果矩阵A存在不为零的 r阶子式，且任意r 1阶子式均为零，则称矩阵A的秩为r .记作 r(A) r 向量组的秩向量组 2丄，n 的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩记作 r( 1, 2 丄,n) 1, 矩阵等价 A经过有限次初等变换化为 B.记作：A%B 向量组等价 1 , 2, n可以相互线性表示记

10、作: ? 矩阵A与B等价PAQ B , P,Q 可逆 r(A) r(B), A,B为同型矩阵 A,B作为向量组等 价,即：秩相等的向量组不一定等价 矩阵A与B作为向量组等价 r( 1, 2, n) r( n) r( 1, 2, 矩阵A与B等价. ? 向量组 1, 2, s可由向量组 n线性表示 AX B有解 r( n)= r( 2, s) r ( 1， 2， s)三 r( ? 向量组 2, s可由向量组 n线性表示 ,且s n，则 s线性相关. 向量组 2, s线性无关，且可由 2, n线性表示,则s n. ? 向量组 2, s可由向量组 n线性表示，且r( r( 1, 2, n)，则两向 量

11、组等价; P教材94,例10 ? 任一向量组和它的极大无关组等价向量组的任意两个极大无关组等价 ? 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定 若两个线性无关的向量组等价 , 则它们包含的向量个数相等 ? 设A是m n矩阵,若r(A) m， A 的行向量线性无关； 若 r(A) n， A 的列向量线性无关 , 即： 12 n 线性无关 . V矩阵的秩的性质: r(A) 若 A O r(A) min(m,n) r(A) r(AT) (A A)P 教材 101,例 15 r(kA) r(A) 若k 0 若 Amn,Bns，若(AB) 0 r(A) r(B) n B的列向量全部是Ax

12、 0的解 r(AB) min r(A), r(B) 若A可逆 若B可逆 r(AB) r(B) r(AB) r(A) 即:可逆矩阵不影响矩阵的秩 Ax 只有零解 若 r(Am n) r(AB) r(B) A在矩阵乘法中有左消去律 AB AB AC 若 (Bn s) n (AB)(B) B在矩阵乘法中有右消去律 若 (A) A与唯一的 E O OO 等价，称 EO 为矩阵A的等价标准型 r(A B) r(A) r(B) max r(A), r(B) r(A, B) r(A) r(B) A O O A AC r r(A) r(B) r r(A) r(B) O B B O OB 可由i, 2,L ,

13、n线性表示 Ax 有解 r(A) r(AM ) Ax有无穷多解 表示法不唯一 当A为方阵时 A 0 1, 2,L , n线性相关 Ax 0有非零解 Ax有唯一组解 当A为方阵时 A 0 克莱姆法则 表示法唯一 1, 2,L ,.线性无关 Ax 只有零解 r(A) r(AM ) 不可由1, 2,l , n线性表示 Ax无解 r(A) r(AM ) r(A) 1 r(AM ) 教材72 讲义87 有无穷多解 有唯一解 其导出组有非零解 其导出组只有零解 17 线性方程组的矩阵式 Ax 向里式 X11X22LXn n a11 a12 L ai n 1j aa21 a22 L a2n X2 J b2

14、2j.一 A ,x j M，j L，n M M M M M am1 3m2 L amn xn bm mj X2 Xn 矩阵转置的性质： (At)t A (AB)t btat (kA)TkAT at IA (A B)t At Bt (A1)T (At) 1 (AT ) (A )T 矩阵可逆的性质： 1 1 (A )A 1 1 1 (AB)B A 1 1 1 (kA)k A A1 IA1 1 1 1 (A B)AB (A1)k (Ak) 1 Ak 伴随矩阵的性质： (A ) An 2 A (AB) B A (kA) kn1A A| IAn1 * * * (A B) A B (A1) (A)1 十

15、(Ak)(A)k n若 r(A)n r(A)1若 r(A)n1 0若 r(A)n1 |AB A b |kA Ak IAk a B IA IB AA AA |AE （无条件恒成立） 线性方程组解的性质: 1, 2 是 Ax 的解，j2也是它的解 是Ax 的解,对任意k, k也是它的解 齐次方程组 1, 2 ,L , k是Ax的解，对任意k个常数 1 , 2 ,L , k,1 12 2 k k也是它的解 是Ax 的解，是其导出组Ax 的解， 是Ax 的解 1, 2 是 Ax 的两个解，“2是其导出组 Ax 的解 2是Ax 的解,则也是它的解1 2是其导出组 Ax 的解 1, 2 , L , k是A

16、x的解，则 1 12 2k k也是Ax的解12 k1 1 12 2k k是Ax 0的解 1 2 k0 定有解, r(A) r(AM ) Ax m 设A为m n矩阵,若r(A) 当m n时,一定不是唯一解 方程个数 向量维数 未知数的个数 向量个数 则该向量组线性相关 21 m是r(A)和r (AM )的上限. V 判断 1, 2,L , s 是 Ax 的基础解系的条件: 1, 2丄，s线性无关； 1, 2,L , s都是Ax 的解; s n r(A)每个解向量中自由未知量的个数 V 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一. V若 是Ax的一个解，1, ,L , s是Ax的一个解1, ,L , s,

17、线性无关 V Ax与Bx同解(代B列向量个数相同)，则： 它们的极大无关组相对应，从而秩相等； 它们对应的部分组有一样的线性相关性； 它们有相同的内在线性关系 . A V两个齐次线性线性方程组 Ax 与Bx 同解 rr(A) r(B). B V两个非齐次线性方程组 Ax 与Bx都有解，并且同解r AMr(A) r(B). BM 矩阵Amn与Bl n的行向量组等价齐次方程组 Ax 与Bx 同解 PA B (左乘可逆矩阵 P ); p教材仙 矩阵Amn与Bl n的列向量组等价AQ B (右乘可逆矩阵Q ). V关于公共解的三中处理办法： 把(I)与(II)联立起来求解； 通过(I)与(II)各自的

18、通解，找出公共解； 当(I)与(II)都是齐次线性方程组时，设1, 2, 3是的基础解系，4, 5是(II)的基础解系，则(I)与 (II)有公共解基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示 即：r( 1,2,3) r( 1,2,3MC1 4 勺 5) 当(l)与(II)都是非齐次线性方程组时，设101c22是(I)的通解，2c33是(II)的通解，两方程 组有公共解 2 03 3 i可由i, 2线性表示.即卩：r( i, 2) r ( 1, 2 M2 C331) 设(I)的通解已知，把该通解代入(II)中，找出(I)的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而求公共解。 标准正交

19、基 n个n维线性无关的向量，两两正交，每个向量长度为1. )ah. a1bia?b2Lanbn i 1 亠冃TT 向量a1,a2丄,an与 b,b,L ,bn的内积 ( 与正交(，)0 记为: 1 n 向量a1,a2,L ,an 丁 的长度 | | J( , ) a2屈a| L/ 1i 1 是单位向量 II 7( , ) 1.即长度为1的向量 V内积的性质 正定性：(，)0,且(，)0 对称性：(，)(，) 双线性：(，12)( , 1)( , 2) 2 ,) (1, ) ( 2,) (C ,) 0( ,)(,c ) A的特征矩阵 E A. A的特征多项式 E A () (1 ()是矩阵A的特

20、征多项式(A) O A的特征方程E A 0.Ax x ( x为非零列向量)Ax与x线性相关 n V A 1 2L ni tr A , tr A称为矩阵A的迹. 1 V上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素 V若A 0,则 0为A的特征值，且Ax的基础解系即为属于0的线性无关的特征向量 V r(A) 1 A - a1 2 ,0、A(aQ a?b2 L anbn) A,从而A的特征值为: a2 定可分解为A= M b, b2, L 1 tr A a1b1 an a?b2Lanbn, 23L n0P 指南 358 . 迸印总,L ,an T为A各行的公比， d,b2,L ,bn

21、为A各列的公比. V若A的全部特征值1, 2,L , n, f (A)是多项式,则： 若A满足f(A) O A的任何一个特征值必满足f( i) 0 f(A)的全部特征值为 f( 1), f( 2), L , f( n) ； f(A) f( I)f ( 2)L f( n). V初等矩阵的性质: |E(i,j)|1 |Ei(k)| k |Ei,j(k)| 1 E(i, j)T E(i, j) Ei(k)T Ei(k) Ei, j(k)T Ej,i(k) 1 E(i, j)E(i,j) Ei(k) 1Ei(4) 1 Ei, j(k)Ei, j( k) E(i, j)*E(i, j) Ei(k)*kE

22、i(Q Ei, j(k)* Ei, j( k) V 设 f(x) amXm am iXm 1 La，对 n 阶矩阵 A规定：f (A) amAm am iAm 1 LaA aE 为 A的 一个多项式 kA aA bE At |A1 2L 3 V 是A的特征值,则：A1分别有特征值 A A2 Am 1 2 # kA aA bE A 1 x是A关于 的特征向量，则x也是 A A2 Am A2,Am的特征向量不一定是 A的特征向量 A与At有相同的特征值, 但特征向量不一定相同 关于 門 1 2L 3 2 A与B相似 P 1AP （P为可逆矩阵） 记为：A: B 的特征向量. A与B正交相似 P 1

23、AP （P为正交矩阵） A可以相似对角化 A与对角阵 相似.记为：A: （称是A的相似标准形） V A可相似对角化 n r( jE A) kik为i的重数 A恰有n个线性无关的特征向量这时，P为A的特 征向量拼成的矩阵, P 1AP为对角阵 ,主对角线上的元素为 A的特征值设j为对应于 i的线性无关的特征向量 则有: A( 1,2 ,L , n) (A 1, A 2 ,L , A n) (11 ,22 ,L , n n)( 1 ,2,L , n) 1 44 2 4 43 p 44 2 4 43 p 442 迸：当i 0为A的重的特征值时, A可相似对角化 i的重数 n r(A) Ax基础解系的

24、个数 若n阶矩阵A有n个互异的特征值 A可相似对角化 若A可相似对角化，则其非零特征值的个数（重根重复计算） r(A). g( 1） 若A: Ak=P kP 1, g(A) Pg( )P 1 P g( 2) O g( n) 相似矩阵的性质: E B ,从而 代B有相同的特征值，但特征向量不一定相同 23 x是A关于0的特征向量,P 1x是B关于0的特征向量 tr A tr B A B 从而 代B同时可逆或不可逆 r(A) r(B) At : Bt ; A1 : B 1 (若代 B 均可逆)；A* : B* Ak : Bk ( k 为整数)；f(A) : f(B)， f(A)| |f (B) A

25、: B,C : D 前四个都是必要条件 V数量矩阵只与自己相似 V实对称矩阵的性质： 特征值全是实数，特征向量是实向量; 不同特征值对应的特征向量必定正交； ：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 一定有n个线性无关的特征向量. 若A有重的特征值，该特征值i的重数=n r( iE A)； 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形; 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形； 两个实对称矩阵相似 有相同的特征值 27 正交矩阵| AAt E A的n个行(列)向量构成 的一组标准正交基 V A为正交矩阵 V正交矩阵的性质： A A 1 ； aat ata e ； 正交阵的行列式等于1或-1 ； A是正交阵,则A , A 1也是正交阵; 两个正交阵之积仍是正交阵; A的行(列)向量都是单位正交向量组 n n ajXjXjaijaji，即A为对称矩阵，x j 1 (Xi,X2丄 ,Xn)T A； (A,B为实对称矩阵，C为可逆矩阵 负惯性指数二次型的规范形中负项项数 两个矩阵合同它们有相同的正负惯性指数 他们的秩与正惯性指数分别相等 两个矩阵合同的充分条件是：A: B 两个矩阵合同的必要条件是：r(A)