1.4.1倒格子和布里渊区

1、 一一. 定义定义 二二. 倒易点阵和晶体点阵的关系倒易点阵和晶体点阵的关系 三三. 倒易点阵的物理意义倒易点阵的物理意义 四四. 倒易点阵实例倒易点阵实例 五五. 布里渊区布里渊区 1.4 倒格子和布里渊区倒格子和布里渊区 (Reciprocal lattice; Brillouin zones) 一一. 定义：定义：假设 是一个晶体点阵的基矢，该点阵的 格矢为： 原胞体积是： 现在定义现在定义 3个新的基矢个新的基矢 构成一个新点阵：构成一个新点阵： 23 1 123 31 2 123 12 3 123 2 2 2 aa b aaa aa b aaa aa b aaa vv v vvv v

2、v v vvv vv v vvv 位移矢量位移矢量 就构成了上面点阵的就构成了上面点阵的 倒易点阵，倒易点阵，上面变换公式中出现的 因子，对于晶体学 家来说并没有多大用处，但对于固体物理研究却带来了极 大的方便。倒易点阵的概念是Ewald 1921年在处理晶体X 射线衍射问题时首先引入的，对我们理解衍射问题极有帮 助，更是整个固体物理的核心概念更是整个固体物理的核心概念。 123,a a a r r r 123 111 nRn an an a rrrr 123,b b b r r r 2 123hklGhbkblb u rrrr （ h,k,l 是整数。） 123 ()aaa vvv 二二.

3、倒易点阵和晶体点阵之间的关系倒易点阵和晶体点阵之间的关系： 倒易点阵是从晶体点阵（以后简称正点阵）中定义出的， 可以方便地证明它和正点阵之间有如下关系它和正点阵之间有如下关系： 2. 两个点阵的格矢之积是 的整数倍： 3. 两个点阵原胞体积之间的关系是： 4. 正点阵晶面族 与倒易点阵格矢 相互垂直， 1. 两个点阵的基矢之间： 2 ( ,k,l)hhklG u r hkl123Ghbkblb u rrrr 且有： 2 1, 0 , ijij ij ba ij ij v v 2 hkl hkl d G u r 2 hkln GRm vv 3 * 123 (2 ) ()bbb vvv 2. 证明

4、： 1. 证明：根据矢量运算规则，从倒格矢定义即可说明。 3. 证明见习题1.11 4. 证明：先证明倒格矢 与正格子的晶面系 正交。 如图所示，晶面系 中最靠近原点的晶面（ABC） 在正格子基矢 的截距分别为： 123 ,123 123 h h hGh ah ah a u u ru ru ru r 1 23 ()hh h 1 23 ()hh h 123,a aa r r r 123 123 , aaa hhh u ru ru r 1 12233123 123 (m) () () 2 ()2 nhkl R Gn an an ahbkblb n hn kn lm vvvvv vvv 为整数 13

5、 13 23 23 aa CAOAOC hh aa CBOBOC hh rr uu ruu ruur rr uu ruu ruur 于是： 同理 而且 都在（ABC)面上， 所以 与晶面系 正交。 ,CA CB uu r uu r 1 2 3 h h hG u r 1 23 ()hh h 1 2 3 0 h h h GCB v uu r 1 2 3 31 1 12233 13 () () 220 h h h GCA aa hbh bh b hh v vv vvv uu r 晶面系的面间距面间距就是原点到ABC面的距离，由于 可以证明： 1 2 3 () h h hGABC u r 由此我们得出

6、结论：由此我们得出结论：倒易点阵倒易点阵的一个的一个基矢基矢是和是和正点阵正点阵晶格中晶格中 的的一族晶面一族晶面相对应的，它的方向是该族晶面的法线方向，而相对应的，它的方向是该族晶面的法线方向，而 它的大小是该族晶面面间距倒数的它的大小是该族晶面面间距倒数的2 2倍。又因为倒易点阵基倍。又因为倒易点阵基 矢对应一个阵点，因而可以说：晶体点阵中的晶面取向和晶矢对应一个阵点，因而可以说：晶体点阵中的晶面取向和晶 面面间距这面面间距这 2 2 个参量在倒易点阵里只用一个点阵矢量（或说个参量在倒易点阵里只用一个点阵矢量（或说 阵点）就能综合地表达出来。阵点）就能综合地表达出来。 1 2 3 1 2

7、3 1 2 31 2 3 2 h h h h h h h h hh h h G dOA GG v uur vv 上述第上述第4点的图示。点的图示。 5. 正点阵和倒易点阵是正点阵和倒易点阵是互易的互易的: :由正点阵 给出倒易 点阵 现假定 为正点阵，则其 倒易点阵根据定义为： 123,b bb r r r 23 1 * 2 ()cbb rr 2 2331121 22(2 ) ()()bbaaaaa rrrrrrr 利用三重矢积公式： 可以得到： 2 111 * 2(2 ) caa rrr 又因为： 所以： 2233,caca rr rr 同样可以证明： 123,b bb r r r 123

8、,a a a u r u u r ur ()()()ABCB A CC A B vvv vv vvvv *23 12311 ()(2 ) ()(2 )bbba b vvvv v 三. 倒易点阵（Reciprocal lattice）的物理意义： 倒易点阵的物理意义和在分析周期性结构和相应物性中作 为基本工具的作用，需要我们在使用中逐步理解。 当一个点阵具有位移矢量 时，考虑到周期性特点，一个物理量在 r 点的数值 也应该具有周期性： 两边做Fourier展开展开，有： 显然： 即： 123 111 nRn an an a rrrr ( ) r ( )()nrrR rrr 既然既然 是正点阵的格

9、矢，符合该关系的是正点阵的格矢，符合该关系的 就是倒易点阵就是倒易点阵 的格矢。所以，同一物理量在正点阵中的表述和在倒易点阵中的格矢。所以，同一物理量在正点阵中的表述和在倒易点阵中 的表述之间服从的表述之间服从Fourier变换关系。变换关系。 nR r hklG u r ()exp()()exp()exp() hklhklhklhklhkln KK GiGrGiGriGR vvvv vv exp()1 2 hkln hkln iGR GRm vv vv 实际上，晶体结构本身就是一个具有晶格周期 性的物理量，所以也可以说：倒易点阵是晶体点阵的倒易点阵是晶体点阵的 FourierFourier变

10、换变换，晶体点阵则是倒易点阵的Fourier逆变换。 因此，正格子的量纲是长度 L, 称作坐标空间，倒格 子的量钢是长度的倒数 L-1，称作波矢空间。例如：正 点阵取cm,倒易点阵是cm-1, 下一节我们将看到： 晶体的晶体的显微显微图像是图像是真实真实晶体结构晶体结构在坐标空间的映像在坐标空间的映像。 晶体的晶体的衍射衍射图像则是晶体图像则是晶体倒易点阵的映像倒易点阵的映像。 倒易点阵是在晶体点阵（布拉菲格子）的基础上定 义的，所以每一种晶体结构，都有每一种晶体结构，都有 2 2个点阵与其相联系，个点阵与其相联系， 一个是晶体点阵，一个是晶体点阵，反映了构成原子在三维空间做周期排反映了构成原

11、子在三维空间做周期排 列的图像；列的图像；另一个是倒易点阵，另一个是倒易点阵，反映了周期结构物理性反映了周期结构物理性 质的基本特征质的基本特征。 倒格子基矢是从点阵基矢引出的，它们之间的联系需要我 们通过具体实例来理解：根据右面定义， 四四. 倒易点阵实例：倒易点阵实例： 23 1 123 31 2 123 12 3 123 2 2 2 aa b aaa aa b aaa aa b aaa vv v vvv vv v vvv vv v vvv 显然 ： 1a r 2a r 1b r 2b r 左图是一个二维斜方点阵和它的 倒易点阵， 1221,baba rr rr 123231 312 ,

12、, baa baa baa rrr rrr rrr 1122 2a bab vv vv 1221 0abab vv vv 简立方点阵： 123 ,aai aa j aak rrr 倒易点阵仍是简立方点阵： 123 222 ,bi bj bk aaa rrr 六角点阵的倒易点阵： 见Ashcroft p88 六角点阵： c 轴方向不变，a 轴在垂直于c 轴的 平面上旋转30度。 所以所以倒格子倒格子也是也是布拉菲格子布拉菲格子。 正格子空间六方结构，在倒格子空间亦为六方结 构。不过其基矢尺寸关系发生变化，基矢方向也转了 一个角度。 正格子空间中长 的基矢a3对应于 倒格子空间短的 基矢b3，反之

13、亦 然。推广，正格 子空间长长的线条 对应于倒格子空 间短短的线条。 三维例子三维例子： 正点阵为简正点阵为简 单点阵，倒单点阵，倒 易点阵也是易点阵也是 简单点阵简单点阵。 正点阵为有心点阵时，倒易点阵也是有心点阵， 但有心类型可能不同，例如：体心立方点阵的倒格子体心立方点阵的倒格子 为面心立方点阵。为面心立方点阵。 而面心立方点阵的倒格子为体心立方点阵而面心立方点阵的倒格子为体心立方点阵。 r r空间（实空间）空间（实空间）k k空间空间( (相空间相空间) ) 布拉伐布拉伐格子格子 原胞原胞 倒格子倒格子 布里渊布里渊区区 （倒空间中的（倒空间中的Wigner-SeitzWigner-S

14、eitz原胞）原胞） 不同空间描写晶体的对称性不同空间描写晶体的对称性 正（坐标）空间正（坐标）空间 周期性周期性 倒（动量）空间倒（动量）空间 数学：正格子数学：正格子 观察：显微镜观察：显微镜 数学：倒格子数学：倒格子 观察：观察：X X射线衍射射线衍射 正、倒格子对应关系正、倒格子对应关系 第一布里渊区的确定：取法和正点阵中Wigner-Seitz 原胞取法相同。它是倒易点阵的原胞倒易点阵的原胞。 五五. 布里渊区：布里渊区： Lon Brilliouin （1889-1969） 布里渊区定义：布里渊区定义：在倒易点阵中，以某一格点为坐标原点，做所有 倒格矢的垂直平分面，倒易空间被这些平

15、面分成许多包围原 点的多面体区域，这些区域称作布里渊区，其中最靠近原点最靠近原点 的平面所围成的区域称作第一布里渊区的平面所围成的区域称作第一布里渊区，第一布里渊区界面第一布里渊区界面 与次远垂直平分面所围成的区域称作第二布里渊区与次远垂直平分面所围成的区域称作第二布里渊区，依次类 推得到二维正方格子的布里渊区图见下页。 由于布里渊区界面是某倒格矢 的垂直平分面，如果 用 表示从原点出发、端点落在布里渊区界面上的倒易空 间矢量，它必然满足方程： G u u r k u r 该方程称作布里渊区的界面方程布里渊区的界面方程 2 1 2 k GG v v 布里渊区布里渊区界面方程界面方程 布里渊区的

16、界面是某一倒格矢布里渊区的界面是某一倒格矢 的垂直平分面，界面方的垂直平分面，界面方 程式可以写成：程式可以写成： 即即 在在 上的投影是上的投影是 的的0.50.5倍倍 。 是倒格子空间中的矢量。满足上式的是倒格子空间中的矢量。满足上式的 的端点将落在的端点将落在 的垂直平分面上，所有的垂直平分面上，所有 的末端的格点构成布里渊区的界的末端的格点构成布里渊区的界 面，只要给定面，只要给定 ，就可以求出对应的布里渊区界面。，就可以求出对应的布里渊区界面。 G r 2 1 2 k GG r r k r G r G r 0) 2 ( G kG 2 G k k r 2 G G k r k r k r

17、 G r G r 正方点阵布里渊区正方点阵布里渊区 第二到第九第二到第九Brillouin区区约化约化到第一布里渊区到第一布里渊区 各布里渊区的形状，不管被分成多少部分，对原点都是对称的各布里渊区的形状，不管被分成多少部分，对原点都是对称的 六方点阵布里渊区图六方点阵布里渊区图 见黄昆书图424 （p194) Kittel （p28) 黄昆书图黄昆书图412（p179) 见黄昆书图412 （p179) 体心立方的Wigner-Seitz原胞及第一布里渊区 面心立方的Wigner-Seitz原胞及第一布里渊区 Kittel （p29）,黄昆书图黄昆书图413（p179) 见黄昆书图413 （p1

18、79) SymbolDescription Center of the Brillouin zone Simple cube MCenter of an edge RCorner point XCenter of a face Face-centered cubic KMiddle of an edge joining two hexagonal faces LCenter of a hexagonal face UMiddle of an edge joining a hexagonal and a square face WCorner point XCenter of a square

19、face Body-centered cubic HCorner point joining four edges NCenter of a face PCorner point joining three edges Hexagonal ACenter of a hexagonal face HCorner point KMiddle of an edge joining two rectangular faces LMiddle of an edge joining a hexagonal and a rectangular face MCenter of a rectangular fa

20、ce 倒易点阵和14种晶体点阵是一一对应的，因 此也只有只有14种类型的倒易点阵和种类型的倒易点阵和14种不同形状的种不同形状的 第一布里渊区第一布里渊区。第一布里渊区的形状只与晶体的第一布里渊区的形状只与晶体的 布拉维点阵的布拉维点阵的几何性质几何性质有关，与晶体的化学成分、有关，与晶体的化学成分、 晶胞中的原子数目无关。晶胞中的原子数目无关。 布里渊区是一个对称性原胞，它保留了相应 的布拉菲点阵的点群对称性。因此第一布里渊区 里依然可以划分为几个完全等同的区域。 对一种晶体来说，它的所有布里渊区都有同对一种晶体来说，它的所有布里渊区都有同 样大小的体积样大小的体积，利用平移对称性可以找出第

21、一布 里渊区和所有较高的布里渊区之间的全等性。 体心立方格子的基矢和原胞体心立方格子的基矢和原胞体心立方格子的体心立方格子的WSWS原胞原胞 （黄昆书（黄昆书P179P179） 倒格子具有以下基本性质：倒格子具有以下基本性质： （1）以倒格子基矢）以倒格子基矢b1,b2,b3为棱边构成的平行六面体称为倒格子原胞，其体积为为棱边构成的平行六面体称为倒格子原胞，其体积为v*。 （2）倒格矢）倒格矢 和正格子空间中面指数为（和正格子空间中面指数为（h1h2h3）的晶面族正交，即）的晶面族正交，即Gh沿沿 晶面族的法线方向。晶面族的法线方向。 （3）晶面族（）晶面族（h1h2h3）的面间距）的面间距dh与倒格矢与倒格矢Gh的模成反比，关系为的模成反比，关系为 。 （4）正格矢正格矢 与倒格