直线和圆知识点总结

1、. 练习一（直线和圆部分） 知识梳理 1直线的倾斜角的范围是 ；求直线斜率的两种方法：定义： k ； () 2 斜率公式：答案k 21 21 yy xx 12 ()xx0 ,180 2直线方程的几种形式： 点斜式 ，适用范围：不含直线； 0 xx 特例：斜截式 ，适用范围：不含垂直于轴的直线；x 两点式 ，适用范围：不含直线和直线 112 ()xx xx ； 112 ()yy yy 特例：截距式 ，适用范围：不含垂直于坐标轴和过原点的直线； 一般式 ，适用范围：平面直角坐标系内的直线都适用 3求过，的直线方程时： 111 ( ,)P x y 222 (,)P xy （1）若，且时，直线垂直于轴

2、，方程为； 12 xx 12 yyx 1 xx （2）若，且时，直线垂直于轴，方程为； 12 xx 12 yyy 1 yy （3）若，且时，直线即为轴，方程为； 12 0 xx 12 yyy0 x （4）若，且时，直线即为轴，方程为。 12 xx 12 0yyx0y 4已知直线：，直线：，则 1 l 11 yk xb 2 l 22 yk xb 与相交 ； 与平行 ； 1 l 2 l 1 l 2 l 与重合 ； 与垂直 1 l 2 l 1 l 2 l 5已知直线：，直线：，则 1 l 111 0AxB yC 2 l 222 0A xB yC 与相交 ； 与平行 ； 1 l 2 l 1 l 2 l

3、 与重合 ； 与垂直 1 l 2 l 1 l 2 l 6两点，之间的距离 ； 111 ( ,)P x y 222 (,)P xy 12 =PP 点到直线 ：的距离 ；(,)P x y l0AxByCd . . 两平行直线：与：之间的距离 1 l 1 0AxByC 2 l 2 0AxByCd 7圆的标准方程为，其中 为圆心， 为半径 222 ()()(0)xaybrr ； 圆的一般方程为表示圆的充要条件是， 22 0 xyDxEyF 22 40DEF 其中圆心为 ，半径为 8点与圆的位置关系 圆的标准方程为，点， 222 ()()xaybr 00 (,)M xy （1）点在圆上：； 222 00

4、 ()()xaybr （2）点在圆外：； 222 00 ()()xaybr （3）点在圆内：。 222 00 ()()xaybr 9直线与圆的位置关系 判断直线与圆的三种位置关系常用的两种判断方法： （1）代数法：直线方程和圆的方程联立方程组消去或整理成一元二次方程后，xy 计算判别式 ； 2 40bac ； 2 40bac 。 2 40bac （2）几何法：利用圆心到直线的距离和圆半径的大小关系d ； ； 。drdrdr 10圆的切线方程 若圆的方程为，点在圆上，则过点，且与圆相 222 xyr 00 (,)P xyP 222 xyr 切的切线方程为； 2 00 xxyyr 经过圆上的的切线

5、方程为： 222 ()()xaybr 00 (,)P xy 。 2 00 ()()()()xa xayb ybr)( 00 xxkyy 点在圆外，则可设切线方程为 )( 00 xxkyy ,利用直线与圆相切，利用 00 (,)P xy 圆心到直线的距离等于半径，解出 k。 11计算直线被圆截得的弦长的两种方法： （1）几何法：运用弦心距、弦长的一半及半径构成直角三角形计算。 （2）代数法：利用韦达定理及弦长公式 . . 222 1(1) ()4 ABABAB ABkxxkxxx x 12设圆：，圆：，则有两圆 1 C 222 111 ()()xxyyr 2 C 222 222 ()()xxyy

6、r 相离 ；外切 ；内切 12 C C 12 C C 12 C C ； 相交 ；内含 12 C C 12 C C 13对称问题 点关于点的对称：利用中点坐标公式。 直线关于点对称：利用取特殊点法或转移法。 点关于直线对称：利用垂直和平分。 直线关于直线对称：转化为点关于直线对称问题解决。如果是平行直线，还可以利用 平行直线之间距离。如果是相交直线，可以利用已知交点，夹角相等的方法。 常用的对称关系：点(a,b) 点(a,b)关于原点的对称点(-a,-b), 点关于点的对称点的坐标为( , )a b 00 (,)a b 00 (2,2)aaba 点(a,b)关于 x 轴的对称点(a,-b)， 点

7、(a,b)关于 y 轴的对称点为(-a,b)， 点(a,b)关于直线 y=x 的对称点为(b,a)， 点(a,b)关于直线 y= -x 的对称点(-b,-a)， 点(a,b)关于直线 y=x+m 的对称点为(b-m,a+m), 点(a,b)关于直线 y= -x+m 的对称点(m- b,m-a). 练习题（第一部分） 1直线的倾斜角为若，则此直线的斜率是（ ）, 3 sin 5 A B C D 4 3 3 4 4 3 3 4 2.直线 过点（-1，2）且与直线垂直，则 的方程是xy 3 2 A B. 0123yx0723yx C. D.0532 yx0832 yx 3已知两条直线和互相垂直，则等

8、于（ ）2yax(2)1yaxa A2 B1 C0 D1 解析：两条直线和互相垂直，则， a=1，选 D.2yax(2)1yax(2)1a a 点评：直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系，同时兼顾到斜率为零和不 存在两种情况 4已知、，直线 过且与线段有交点，设直线 的斜率为，(2, 3)A( 3, 2)B l(1,1)PABlk 则的取值范围（ ）k . . A或 B C 或 D 3 4 k 4k 3 3 4 k 3 4 k 1 4 k 3 4 4 k 解析：过点、的直线斜为，过点、的( 3, 2)B (1,1)P 1 1 ( 2)3 1 ( 3)4 k (2, 3)A(1,1)

9、P 直线斜率为，画图可看出过点的直线与线段有公共点 2 1 ( 3) 4 1 2 k (1,1)PAB 可看作直线绕点从旋转至的全过程。(1,1)PPBPA 5直线 经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为，如果符合条件的直线l(2,1)PS 能作且只能作三条，则（ ）lS A B C D3458 解析：设直线方程为，则有，当时，1 xy ab 21 1 ab ,0a b 212 12 abab 得，即 与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积的最小值为 4，显然与两坐8ab l 标轴围成的三角形在二、四象限时各有一个面积为 4，共可作且只可作三条符合条 件的直线 。l 6已知直线 ：，：，若直线与

10、关于 对称，则的方程l10 xy 1 l220 xy 2 l 1 ll 2 l 为（ ） A B 210 xy 210 xy C D10 xy 210 xy 解析：在上取两点，则它关于直线 的对称点为，所以的 1 l(0, 2),(1,0)l( 1, 1),(1,0) 2 l 方程为。210 xy 7已知点，点在直线上，若直线垂直于直线) 1, 0( MN01 yxMN ，032yx 则点的坐标是（ ）N A B C D) 1, 2()3 , 2() 1 , 2() 1 , 2( 二、填空题 8过点（1，2）且与直线平行的直线方程是_ . 210 xy 250 xy 9已知两条直线若，则 _.

11、 12 :330,:4610.laxylxy 12 /lla . . 解：两条直线若，则2 12 :330,:4610.laxylxy 12 /ll 2 33 a a 10若过点和的直线的倾斜角为钝角，那么实数的取值范围是)1 ,1 (aaP)2 , 3(aQa .( 2,1)a 11如果直线的倾斜角为且则, 0ab0cbyax,sin1sin1 2 sin 直线的斜率为._ 解析：由，sin1 sin1 sinsincossincos 22222 因为直线的倾斜角为所以，又，, 0ab0cbyax,tan0 a b 0, 所以，所以，(, ) 2 (,) 24 2 0cossin 22 所以

12、，sin(sincos)(sincos)2cos 222222 所以，。tan2 2 2 2tan 4 2 tan 3 1tan 2 k 三、解答题 12.已知直线 经过直线与直线的交点，且垂直于直线l3420 xy220 xyP .210 xy （）求直线 的方程；l （）求直线 与两坐标轴围成的三角形的面积.lS 解：（）由 解得 3420, 220. xy xy 2, 2. x y 由于点 P 的坐标是（，2）.2 则所求直线 与直线垂直，l210 xy 可设直线 的方程为 .l20 xyC 把点 P 的坐标代入得 ，即.2220C 2C 所求直线 的方程为 .l220 xy （）由直线

13、 的方程知它在轴、轴上的截距分别是、， lxy12 . . O y X DC B(A) 所以直线 与两坐标轴围成三角形的面积. l 1 1 21 2 S 13.求经过直线：与直线：的交点 M，且满足下列条件 1 l3450 xy 2 l2380 xy 经过原点；与直线：平行；与直线：垂直的直 3 l250 xy 4 l250 xy 线方程。答案：250 xy 14.在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的长为 2，宽为 1，AB、AD 边分别在轴、x 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，将矩形折叠，使 A 点落在线段 DC 上，若折y 痕所在的直线的斜率为，试写出折痕所在直线的方程。k 解：

14、（1）当时，、重合，折痕所在直线方程为0kAD 2 1 y （2）当时，设折叠后落在线段上的点为，0kA) 1 ,(aG 所以与关于折痕所在直线对称。AG ，可得 ,1kkAGka 从而 ，线段之中点为，) 1 ,( kG OG) 2 1 , 2 ( k M 折痕所在直线方程为，化简得。) 2 ( 2 1k xky 2 1 2 2 k kxy 练习题（第二部分） 1直线与圆的位置关系是（） 3 3 yx 22 (1)1xy A相交但直线不过圆心 B. 相切 C.相离 D.相交且直线过圆心 2与圆同圆心，且面积为圆面积的一半的圆的方程为（ 0352: 22 xyxCC ） A. B. 18) 1

15、( 22 yx9) 1( 22 yx C. D. 6) 1( 22 yx3) 1( 22 yx 3圆心为的圆与直线交于、两点，为坐标原点，且满 1 ,3 2 C :230l xyPQO 足，则圆的方程为（ ）0OP OQ C . . A B 22 15 ()(3) 22 xy 22 15 ()(3) 22 xy C D 22 125 ()(3) 24 xy 22 125 ()(3) 24 xy 4是曲线上任意一点，则的最大值为（ ）( , )P x y 1 cos , sin . x y 22 (2)(4)xy A B C D3626256 5两个圆：与：的公切线有且 1 C 22 2220

16、xyxy 2 C 22 4210 xyxy 仅有（ ） A 条 B条 C条 D条 1234 解析：因为，所以，所以两圆相 121212 0,4,13rrrrOO 121212 rrOOrr 交，故两圆公切线有条。2 6从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余 22 2210 xxyy 3,2P 弦值为（ ） A B C D 1 2 3 5 3 2 0 解析：圆的圆心为 M(1，1)，半径为 1，从外一点向这个 22 2210 xxyy (3,2)P 圆作两条切线，则点 P 到圆心 M 的距离等于，每条切线与 PM 的夹角的正切值5 等于，所以两切线夹角的正切值为，该角的余弦值等于。 2

17、1 1 2 4 2 tan 1 3 1 4 3 5 7若圆上至少有三个不同点到直线 :的距离为 22 44100 xyxyl0axby ,则直线 的斜率的取值范围是( )2 2l A B C D 2 23, 2 23,23 3 , 3 3 0, 解析：圆整理为，01044 22 yxyx 222 (2)(2)(3 2)xy 圆心坐标为(2，2)，半径为 3，2 要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，0:byaxl22 . . 则圆心到直线的距离应小于等于， 2 ， ， 22 |22 | 2 ab ab 2 ( )4( ) 1 aa bb 0 ， ，选 B.23( )23 a b ( ) a

18、 k b 2323k 8若直线按向量平移后与圆相切，则的值为（ 20 xyc1,-1a = 22 5xyc ） A或 B或 C或 D或82644628 解：将直线按向量平移得，20 xyc1,-1a =2(1)(1)0 xyc 即，因为与圆相切，所以，230 xyc 230 xyc 22 5xy 3 5 5 c 或。358cc2c 二、填空题 9. 圆关于直线对称的圆的方程是，则实 22 210 xyaxy 1xy 22 10 xy 数的值是 2 a 10若半径为 1 的圆分别与轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程y 3 (0) 3 yx x 为 解析：若半径为 1 的圆分别与轴的正半轴和射线

19、相切，y 3 (0) 3 yx x 则圆心在直线上，且圆心的横坐标为 1，所以纵坐标为，3yx3 这个圆的方程为。 22 (1)(3)1xy 11已知圆：，直线 ：，下面四个命题：M 22 (cos )(sin )1xylykx 对任意实数与，直线 和圆相切；klM 对任意实数与，直线 和圆有公共点；klM 对任意实数，必存在实数，使得直线 与和圆相切klM 对任意实数，必存在实数，使得直线 与和圆相切klM 其中真命题的序号是_（写出所有真命题的序号） 解：，圆心坐标为，( cos ,sin ) . . 。 2 22 |kcossin |1k |sin| 1k1k d （） |sin|1=（

20、） 12函数的最小值为 22 ( )4131237f xxxxx4 2 13从原点向圆作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 22 12270 xyy 解析：利用数形结合解此题有优势。 因为，所以，圆心在，半径为 3， 22 12270 xyy 22 (6)9xy(0,6) 设圆心为，切点为，则在中，,，所以,MNRt OMN6OM 3MN 6 MON 所以两切线的夹角为，劣弧所对的圆心角为，故劣弧的弧长为。 3 2 3 2 2 33 l l 三、解答题 14求过直线和圆的交点，且满足下列条件之一240 xy 22 2410 xyxy 的圆的方程 （1）过原点；（2）有最小面积 15如果实数满足，求的最大值；的最小值；, x y 22 410 xyx x y yx 的最值 22 xy 分析：表示以点为圆心，半径为的圆，为圆上的点与 22 410 xyx (2,0)3 x y M 原点连线的斜率；设，则，可知是斜率为 1 的直线在轴上的截距，yxbyxbby 于是问题实质上是求圆上的点与原点连线的斜率的最大值；实质