2020-2021中考数学备考之平行四边形压轴突破训练∶培优篇含详细答案

1、2020-2021 中考数学备考之平行四边形压轴突破训练培优篇含详细答案 一、平行四边形1如图，在 abc 中， b=90，ac=60cm， a=60，点 d 从点 c 出发沿 ca 方向以 4cm/秒的速度向点 a 匀速运动，同时点 e 从点 a 出发沿 ab 方向以 2cm/秒的速度向点 b 匀 速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点 d、e 运动的时间是 t 秒（0t15）过点 d 作 dfbc 于点 f，连接 de，ef（1） 求证：ae=df；（2） 四边形 aefd 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 t 值，如果不能，说明理由； （3）当 t 为何值时 def

2、 为直角三角形？请说明理由【答案】（1）见解析；（2）能，t=10；（3）t=152或 12.【解析】【分析】（1） 利用 t 表示出 cd 以及 ae 的长，然后在直 cdf 中，利用直角三角形的性质求得 df 的长，即可证明；（2） 易证四边形 aefd 是平行四边形，当 ad=ae 时，四边形 aefd 是菱形，据此即可列方 程求得 t 的值；（3） def 为直角三角形，分 edf=90和 def=90两种情况讨论.【详解】解：（1）证明： 在 abc 中， c=90 a=30， ab=1 1ac= 60=30cm，2 2 cd=4t，ae=2t，又 在 cdf 中， c=30， df

3、=12cd=2t， df=ae；（2）能， df ab，df=ae， 四边形 aefd 是平行四边形，当 ad=ae 时，四边形 aefd 是菱形，即 604t=2t，解得：t=10， 当 t=10 时，aefd 是菱形；（3） def 为直角三角形，有两种情况：如图 1， edf=90，de bc，则 ad=2ae，即 604t=22t，解得：t=如图 2， def=90，deac，152，则 ae=2ad，即2t =2(60 -4t)，解得：t=12，综上所述，当 t=152或 12 时 def 为直角三角形.2已知 abd 中，边 ab=ob=1， abo=90问题探究：（1） 以 ab

4、 为边，在 abo 的右边作正方形 abc，如图（1），则点 o 与点 d 的距离 为 （2） 以 ab 为边，在 abo 的右边作等边三角形 abc，如图（2），求点 o 与点 c 的距 离问题解决：（3）若线段 de=1，线段 de 的两个端点 d，e 分别在射线 oa、ob 上滑动，以 de 为边向 外作等边三角形 def，如图（3），则点 o 与点 f 的距离有没有最大值，如果有，求出最大 值，如果没有，说明理由2 22=22【答案】(1)、 5 ；(2)、 【解析】【分析】6 + 2 3 + 2 +1 ；(3)、 .2 2试题分析：(1)、如图 1 中，连接 od，在 odc 中，根

5、据 od=oc2+cd2 计算即可(2)、如图 2 中，作 ceob 于 e，cfab 于 f，连接 oc在 oce 中，根据oc=oe2+ce2 计算即可(3)、如图 3 中，当 ofde 时，of 的值最大，设 of 交 de 于h，在 oh 上取一点 m，使得 om=dm，连接 dm分别求出 mh、om、fh 即可解决问 题【详解】试题解析：(1)、如图 1 中，连接 od， 四边形 abcd 是正方形， ab=bc=cd=ad=1， c=90 在 odc 中， c=90， oc=2，cd=1， od=oc 2 +cd2 =22 +12 = 5(2)、如图 2 中，作 ceob 于 e，

6、cfab 于 f，连接 oc fbe= e= cfb=90， 四边形 becf 是矩形， bf=cf=123，cf=be= ，2在 oce 中，oc= oe2+ce2 3 = 1+ + 1 6 + 2 (3)、如图 3 中，当 ofde 时，of 的值最大，设 of 交 de 于 h，在 oh 上取一点 m，使得 om=dm，连接 dm1 fd=fe=de=1，ofde， dh=he，od=oe， doh= doe=22.5， om=dm，2 mod= mdo=22.5， dmh= mdh=45， dh=hm=122， dm=om= ，2 fh=df 2 -dh 2 =3 2 1 3 3 +

7、2 +1 ， of=om+mh+fh= + + =2 2 2 2 2 of 的最大值为3 + 2 +1 2考点：四边形综合题3如图（1）在正方形 abcd 中，点 e 是 cd 边上一动点，连接 ae，作 bfae，垂足为 g 交 ad 于 f（1） 求证：afde；（2） 连接 dg，若 dg 平分 egf，如图（2），求证：点 e 是 cd 中点；（3） 在（2）的条件下，连接 cg，如图（3），求证：cgcd【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）cgcd，见解析【解析】【分析】（1） 证 baf ade（asa）即可解决问题（2） 过点 d 作 dmgf，dnge，垂足分别为点 m，

8、n想办法证明 afdf，即可解决 问题（3） 延长 ae，bc 交于点 p，由（2）知 decd，利用直角三角形斜边中线的性质，只要 证明 bccp 即可【详解】（1）证明：如图 1 中，在正方形 abcd 中，abad， bad d90o， 2+ 390又 bfae， agb90 1+ 290， 1 3baf ade 中， 1= 3 ba=ad baf= d， baf ade（asa） afde（2）证明：过点 d 作 dmgf，dnge，垂足分别为点 m，n由（1）得 1 3， bga and90，abad bag adn（aas） agdn，又 dg 平分 egf，dmgf，dnge，

9、dmdn， dmag，又 afg dfm， agf dmf afg dfm（aas）， afdfde1 1ad cd，2 2即点 e 是 cd 的中点（3）延长 ae，bc 交于点 p，由（2）知 decd，y x ade ecp90， dea cep， ade pce（asa） aepe，又 ce ab， bcpc，在 bgp 中， bcpc， cg12bpbc， cgcd【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性 质定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问 题，属于中考压轴题4如图，四边形abcd是知形，ab =

10、1, bc =2，点 e 是线段bc上一动点(不与b, c重合)，点 f 是线段 ba 延长线上一动点，连接 de, ef , df , ef 交 ad 于点 g .设be =x, af =y，已知 与 之间的函数关系如图所示.（1）求图中 y 与 x 的函数表达式;（2）求证:de df;（3）是否存在 x 的值，使得 deg 是等腰三角形?如果存在，求出 x 的值;如果不存在， 说明理由【答案】（1）y2x+4（0x2）；（2）见解析；（3）存在，x 【解析】【分析】545 - 5 3或 或 2 2 （1）利用待定系数法可得 y 与 x 的函数表达式； （2）证 cde adf，得 adf

11、 cde，可得结论； （3）分三种情况：1 若 dedg，则 dge deg，2 若 deeg，如图，作 eh cd，交 ad 于 h， 若 dgeg，则 gde ged，分别列方程计算可得结论【详解】（1）设 ykx+b，由图象得：当 x1 时，y2，当 x0 时，y4， k +b =2 k =-2代入得： ，得 ，b =4 b =4 y2x+4（0x2）；（2） bex，bc2 ce2x，ce 2 -x 1 cd 1 = = , =af 4 -2 x 2 ad 2，ce cd=af ad， 四边形 abcd 是矩形， c daf90， cde adf， adf cde， adf+ edg

12、cde+ edg90， dedf；（3）假设存在 x 的值，使 deg 是等腰三角形， 若 dedg，则 dge deg， 四边形 abcd 是矩形， ad bc， b90， dge geb， deg beg，def 和 bef 中，fde =b def =bef，ef =ef def bef（aas）， debex，ce2x， 在 cde 中，由勾股定理得：1+（2x）2x2，2x54；若 deeg，如图，作 eh cd，交 ad 于 h， ad bc，eh cd， 四边形 cdhe 是平行四边形， c90， 四边形 cdhe 是矩形， ehcd1，dhce2x，ehdg， hgdh2x，

13、ag2x2， eh cd，dc ab， eh af， ehg fag，eh hg=af ag，1 2 -x=4 -2 x 2 x -2，x =15 - 5 5 + 5, x = （舍）， 2 2若 dgeg，则 gde ged， ad bc， gde dec， ged dec， c edf90， cde dfe，ce de=cd df， cde adf，de cd 1= =df ad 2，ce 1=cd 2， 2x1 3，x ，2 25 5- 5 3综上，x 或 或 4 2 2【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似和全等 的性质和判定，矩形和平行四边形

14、的性质和判定，勾股定理和逆定理等知识，运用相似三 角形的性质是解决本题的关键5如图 1， abc 中，abac，adbc 于 d，分别延长 ac 至 e，bc 至 f，且 ceef， 延长 fe 交 ad 的延长线于 g（1） 求证：aeeg；（2） 如图 2，分别连接 bg，be，若 bgbf，求证：beeg；（3） 如图 3，取 gf 的中点 m，若 ab5，求 em 的长【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）52【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和等腰三角形的三线合一的性质得： cad g，可得 aeeg； （2）作辅助线，证 bef gec（sas），可得结论；（3）如图

15、3，作辅助线，构建平行线，证明四边形 dmen 是平行四边形，得 emdn12ac，计算可得结论【详解】证明：（1）如图 1，过 e 作 ehcf 于 h， adbc， eh ad， ceh cad， hef g， ceef， ceh hef， cad g， aeeg；（2）如图 2，连接 gc， acbc，adbc， bdcd， ag 是 bc 的垂直平分线， gcgb， gbf bcg， bgbf， gcbe， ceef， cef1802 f， bgbf， gbf1802 f， gbf cef， cef bcg， bce cef+ f， bce bcg+ gce， gce f，bef gc

16、e 中，ce =ef q gce =f，cg =bf bef gec（sas）， beeg；（3）如图 3，连接 dm，取 ac 的中点 n，连接 dn，由（1）得 aeeg， gae age，在 acd 中，n 为 ac 的中点， dn12acan， dan adn， adn age， dn gf，在 gdf 中，m 是 fg 的中点， dm12fggm， gdm age， gdm dan， dm ae， 四边形 dmen 是平行四边形， emdn12ac， acab5， em52【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性 质，等腰三角形的性质和判

17、定，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是作辅助 线，并熟练掌握全等三角形的判定方法，特别是第三问，辅助线的作法是关键6已知aob =90，点 c 是 aob 的角平分线 op 上的任意一点，现有一个直角mcn 绕点 c 旋转，两直角边 cm ， cn分别与直线 oa ， ob 相交于点 d ，点 e .（1）如图 1，若 cd oa ，猜想线段 od ， oe ， oc 之间的数量关系，并说明理由. （2）如图 2，若点 d 在射线 oa 上，且 cd 与 oa 不垂直，则（1）中的数量关系是否仍 成立？如成立，请说明理由；如不成立，请写出线段od ， oe ， oc 之间的数量关系，

18、并加以证明.（3）如图 3，若点 d 在射线oa的反向延长线上，且od =2，oe =8，请直接写出线段ce的长度.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3） 34 【解析】【分析】（1）先证四边形odce为矩形，再证矩形odce为正方形，由正方形性质可得；（2）过点c作cg oa于点g，ch ob于点 h ，证四边形ogch为正方形，再证dcgd dche ( asa)，可得；（3）根据dcgd dche ( asa)，可得oe -od =oh +og = 2oc . 【详解】解：（1）aob =90，mcn =90，cd oa， 四边形odce为矩形. op 是 aob的角平分线，do

19、c =eoc =45， od =cd ， 矩形 odce 为正方形，oc =2od ， oc = 2oe .od +oe =2oc .（2）如图，过点c作cg oa于点g，ch ob于点 h ，op平分aob，aob =90， 四边形ogch为正方形，由（1）得： og +oh =2oc ，在 dcgd 和dche中，cgd =che =90 cg =chdcg =ech ，dcgd dche ( asa )， gd =he ，od +oe =2oc .（3） og +oh =2oc ，dcgd dche ( asa) gd =he .，od =gd -og ， oe =oh +eh，oe -

20、od =oh +og = oc =3 2 ，2oc ，ce =34 ，ce的长度为 34 .【点睛】考核知识点：矩形，正方形的判定和性质.熟练运用特殊四边形的性质和判定是关键.7（1）如图 1，将矩形abcd折叠，使bc落在对角线 bd 上，折痕为 be ，点c落在点c 处，若adb =42o，则 dbe 的度数为_ o .（2）小明手中有一张矩形纸片abcd， ab =4 ，ad =9.（画一画）如图 2，点 e 在这张矩形纸片的边 ad 上，将纸片折叠，使 ab 落在 ce 所在 直线上，折痕设为 mn （点 m ， n 分别在边 ad ， bc 上），利用直尺和圆规画出折痕mn（不写作法

21、，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；（算一算）如图 3，点 f 在这张矩形纸片的边 bc 上，将纸片折叠，使 fb 落在射线 fd上，折痕为 gf ，点 a, b 分别落在点 a，b 处，若ag =73，求 b d的长.【答案】（1）21；（2）画一画；见解析；算一算：b d=3【解析】【分析】（1） 利用平行线的性质以及翻折不变性即可解决问题；（2） 【画一画】，如图 2 中，延长 ba 交 ce 的延长线由 g，作 bgc 的角平分线交 ad 于 m，交 bc 于 n，直线 mn 即为所求；【算一算】首先求出 gd=9-7 20=3 3，由矩形的性质得出 ad bc，bc=ad=9

22、，由平行线的性质得出 dgf= bfg，由翻折不变性可知， bfg= dfg，证出 dfg= dgf，由等腰三角形的判定定理证出 df=dg=203，再由勾股定理求出 cf，可得 bf，再利用翻折不变性，可知 fb=fb，由此即可解决问题 【详解】（1）如图 1 所示： 四边形 abcd 是矩形，2 ad bc， adb= dbc=42，由翻折的性质可知， dbe= ebc= 故答案为 21（2）【画一画】如图所示：12 dbc=21，【算一算】 如 3 所示： ag=73，ad=9， gd=9-7 20=3 3， 四边形 abcd 是矩形， ad bc，bc=ad=9， dgf= bfg，由

23、翻折不变性可知， bfg= dfg， dfg= dgf， df=dg=203， cd=ab=4， c=90， 在 cdf 中，由勾股定理得：cf=df2-cd220 = -43 216= ，3 bf=bc-cf=9-16 11=3 3，abe cde bec cdg由翻折不变性可知，fb=fb=113， bd=df-fb=20 11- =33 3.【点睛】四边形综合题，考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、平 行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决 问题8（感知）如图，四边形 abcd、cefg 均为正方形可知 be=dg（拓展）

24、如图，四边形 abcd、cefg 均为菱形，且 a= f求证：be=dg（应用）如图，四边形 abcd、cefg 均为菱形，点 e 在边 ad 上，点 g 在 ad 延长线 上若 ae=2ed， a= f ebc 的面积为 8，菱形 cefg 的面积是_（只填结 果）【答案】见解析【解析】试题分析：探究：由四边形 abcd、四边形 cefg 均为菱形，利用 sas 易证得 bce dcg，则可得 be=dg；应用：由 ad bc，be=dg，可得的面积，继而求得答案试题解析：探究： 四边形 abcd、四边形 cefg 均为菱形， bc=cd，ce=cg， bcd= a， ecg= f a= f

25、， bcd= ecg bcd- ecd= ecg- ecd，即 bce= dcgbce 和 dcg 中，bccdbcedcgcecg=s =8，又由 ae=3ed，可求 cde=s =8，=2s ecg bce dcg（sas）， be=dg应用： 四边形 abcd 为菱形， ad bc， be=dg，abecde bec cdg ae=3ed，cde=148 =2,ecgcde cdg=10 s菱形cefg=20.9如图 1，在正方形 abcd 中，ad=6，点 p 是对角线 bd 上任意一点，连接 pa，pc 过点 p 作 pepc 交直线 ab 于 e（1） 求证：pc=pe;（2） 延

26、长 ap 交直线 cd 于点 f.如图 2，若点 f 是 cd 的中点， ape 的面积；若 ape 的面积是21625，则 df 的长为（3） 如图 3，点 e 在边 ab 上，连接 ec 交 bd 于点 m,作点 e 关于 bd 的对称点 q，连接pq，mq，过点 p 作 pn cd 交 ec 于点 n，连接 qn，若 pq=5，mn= 面积是7 23，则 mnq 的【答案】（1）略；（2）8，4 或 9；（3）56【解析】【分析】（1） 利用正方形每个角都是 90，对角线平分对角的性质，三角形外角等于和它不相邻的 两个内角的和，等角对等边等性质容易得证;（2） 作 adp dfp 的高，

27、由面积法容易求出这个高的值.从而得 pae 的底和高， 并求出面积.第 2 小问思路一样，通过面积法列出方程求解即可;( )（3）根据已经条件证 mnq 是直角三角形，计算直角边乘积的一半可得其面积. 【详解】(1) 证明： 点 p 在对角线 bd 上， adp cdp, ap=cp, dap = dcp, pepc， epc= epb+ bpc=90, pea= ebp+ epb=45+90- bpc=135- bpc, pae=90- dap90- dcp, dcp= bpc- pdc= bpc-45, pae=90-( bpc-45)= 135- bpc, pea= pae, pc=pe

28、;（2）如图 2，过点 p 分别作 phad,pgcd,垂足分别为 h、g.延长 gp 交 ab 于点m. 四边形 abcd 是正方形，p 在对角线上， 四边形 hpgd 是正方形， ph=pg,pmab,设 ph=pg=a, f 是 cd 中点，ad6，则 fd=3, sn adf=9,s = s +s n adf n adp n dfp=1 1ad ph + df pg 2 2,1 1a 6 + a 3 =9 2 2,解得 a=2, am=hp=2,mp=mg-pg=6-2=4,又 pa=pe, am=em,ae=4, sn ape=1 1ea mp = 4 4 =8 2 2,设 hpb,

29、由可得 ae=2b,mp=6-b, sn ape=1 216 2b 6 -b =2 25,解得 b=2.4 或3.6 ,222a +b = 3 s = s +s n adf n adp n dfp=1 1ad ph + df pg 2 2,1 1 16 b + df b = df 6 2 2 2, 当 b=2.4 时，df=4；当 b3.6 时，df9, 即 df 的长为 4 或 9;（3）如图， e、q 关于 bp 对称，pn cd, 1 2， 2+ 3 bdc=45, 1+ 4=45, 3= 4,易 pem pqm, pnq pnc, 5= 6, 7= 8 ,em=qm,nq=nc, 6+

30、 7=90, mnq 是直角三角形,设 em=a,nc=b 列方程组 7 2 a +b =5 2 -37 2 ,可得1 5ab= ,2 6sv mnq=56,【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角 形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，证明三角 形全等是解决问题的关键.要注意运用数形结合思想.10 abc 为等边三角形，af =abbcd =bdc =aec(1)求证：四边形 abdf 是菱形(2)若 bd 是abc的角平分线，连接 ad ，找出图中所有的等腰三角形【答案】(1)证明见解析；(2)图中等腰三角形 a

31、bc， bdc abd adf， adc， ade【解析】【分析】（1）先求证 bd af，证明四边形 abdf 是平行四边形，再利用有一组邻边相等的平行四 边形是菱形即可证明；（2）先利用 bd 平分 abc，得到 bd 垂直平分线段 ac，进而证明 dac 是等腰三角形，根据 bdac,afac，找到角度之间的关系,证 dae 是等腰三角 形，进而得到 bcbdbaafdf，即可解题,见详解.【详解】(1)如图 1 中， bcd bdc， bcbd， abc 是等边三角形， abbc， abaf， bdaf， bdc aec， bd af， 四边形 abdf 是平行四边形， abaf， 四

32、边形 abdf 是菱形(2)解：如图 2 中， babc，bd 平分 abc， bd 垂直平分线段 ac， dadc， dac 是等腰三角形， af bd，bdac afac， eac90， dac dca， dac+ dae90， dca+ aec90， dae dea， dade， dae 是等腰三角形， bcbdbaafdf， bcd abd adf 都是等腰三角形，综上所述，图中等腰三角形 abc bdc abd， adf， adc， ade【点睛】本题考查菱形的判定，等边三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，属于中考常考题 型，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键11问题情境在四边形

33、 abcd 中，babc，dcac，过点 d 作 de ab 交 bc 的延长线于点 e，m 是边 ad 的中点，连接 mb，me.特例探究(1) 如图 1，当 abc90时，写出线段 mb 与 me 的数量关系，位置关系；(2) 如图 2，当 abc120时，试探究线段 mb 与 me 的数量关系，并证明你的结论； 拓展延伸(3) 如图 3，当 abc 时，请直接用含 的式子表示线段 mb 与 me 之间的数量关系【答案】(1)mbme，mbme；(2)me 3 mb证明见解析；(3)membtan 【解析】【分析】（1） 如图 1 中，连接 cm只要证 mbe 是等腰直角三角形即可；（2）

34、 结论：em= 3 mb只要证 ebm 是直角三角形，且 meb=30即可；a2.（3）结论：em=bmtana2证明方法类似；【详解】(1) 如图 1 中，连接 cm acd=90，am=md， mc=ma=md， ba=bc， bm 垂直平分 ac， abc=90，ba=bc， mbe=12 abc=45， acb= dce=45， ab de， abe+ dec=180， dec=90， dce= cde=45， ec=ed， mc=md， em 垂直平分线段 cd，em 平分 dec， mec=45， bme 是等腰直角三角形， bm=me，bmem故答案为 bm=me，bmem(2)

35、me 3 mb证明如下：连接 cm，如解图所示 dcac，m 是边 ad 的中点， mcmamd babc， bm 垂直平分 ac abc120，babc，1 mbe abc60， bac bca30， dce60.2 ab de， abe dec180， dec60， dce dec60， cde 是等边三角形， eced mcmd， em 垂直平分 cd，em 平分 dec，1 mec dec30，2 mbe meb90，即 bme90. 在 bme 中， meb30， me 3mb(3) 如图 3 中，结论：em=bmtana2理由：同法可证：bmem，bm 平分 abc，所以 em=b

36、mtana2【点睛】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰 三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学 知识解决问题12问题探究（1）如图，已知正方形 abcd 的边长为 4点 m 和 n 分别是边 bc、cd 上两点，且 bm cn，连接 am 和 bn，交于点 p猜想 am 与 bn 的位置关系，并证明你的结论 （2）如图，已知正方形 abcd 的边长为 4点 m 和 n 分别从点 b、c 同时出发，以相同 的速度沿 bc、cd 方向向终点 c 和 d 运动连接 am 和 bn，交于点 p， apb 周长的最 大值

37、；问题解决（3）如图，ac 为边长为 2 3 的菱形 abcd 的对角线， abc60点 m 和 n 分别从 点 b、c 同时出发，以相同的速度沿 bc、ca 向终点 c 和 a 运动连接 am 和 bn，交于点 p apb 周长的最大值【答案】（1）ambn，证明见解析；（2） apb 周长的最大值 4+42 ；（3 pab 的周长最大值=2 3 +4【解析】试题分析：根据全等三角形的判定 sas 证 abm bcn，即可证得 ambn； （2）如图，以 ab 为斜边向外作等腰直 aeb， aeb=90，作 efpa 于 e，作 egpb 于 g，连接 ep，证明 pa+pb=2ef，求出

38、ef 的最大值即可；（3）如图，延长 da 到 k，使得 ak=ab， abk 是等边三角形，连接 pk，取 ph=pb， 证明 pa+pb=pk，求出 pk 的最大值即可.试题解析：（1）结论：ambn理由：如图中， 四边形 abcd 是正方形， ab=bc， abm= bcn=90， bm=cn， abm bcn， bam= cbn， cbn+ abn=90， abn+ bam=90， apb=90， ambn（2）如图中，以 ab 为斜边向外作等腰直角三角 aeb， aeb=90，作 efpa 于 e，作 egpb 于 g，连接 ep efp= fpg= g=90， 四边形 efpg 是

39、矩形， feg= aeb=90， aef= beg， ea=eb， efa= g=90， aef beg， ef=eg，af=bg， 四边形 efpg 是正方形， pa+pb=pf+af+pgbg=2pf=2ef， efae， ef 的最大值=ae=2， apb 周长的最大值=4+4（3）如图中，延长 da 到 k，使得 ak=ab， abk 是等边三角形，连接 pk，取 ph=pb ab=bc， abm= bcn，bm=cn， abm bcn， bam= cbn， a pn= bam+ abp= cbn+ abn=60， apb=120， akb=60， akb+ apb=180， a、k、

40、b、p 四点共圆， bph= kab=60， ph=pb， pbh 是等边三角形， kba= hbp，bh=bp， kbh= abp， bk=ba， kbh abp， hk=ap， pa+pb=kh+ph=pk， pk 的值最大时 apb 的周长最大， 当 pk abk 外接圆的直径时，pk 的值最大，最大值为 4， pab 的周长最大值=2 +413已知点 o abc 内任意一点，连接 oa 并延长到 e，使得 ae=oa，以 ob，oc 为邻边 作 obfc，连接 of 与 bc 交于点 h，再连接 ef（1） 如图 1， abc 为等边三角形，求证：efbc；ef= bc；（2） 如图

41、2， abc 为等腰直角三角形（bc 为斜边），猜想（1）中的两个结论是否成 立？若成立，直接写出结论即可；若不成立，请你直接写出你的猜想结果；（3） 如图 3， abc 是等腰三角形，且 ab=ac=kbc，请你直接写出 ef 与 bc 之间的数量 关系【答案】（1）见解析；（2）efbc 仍然成立；（3）ef=bc【解析】试题分析：（1）由平行四边形的性质得到 bh=hc= bc，oh=hf，再由等边三角形的性质得到 ab=bc，ahbc，根据勾股定理得到 ah= bc，即可；（2） 由平行四边形的性质得到 bh=hc= bc，oh=hf，再由等腰直角三角形的性质得到 ab= bc，ahb

42、c，根据勾股定理得到 ah=bc，即可；（3） 由平行四边形的性质得到 bh=hc= bc，oh=hf，再由等腰三角形的性质和ab=ac=kbc 得到 ab=bc，ahbc，根据勾股定理得到 ah= 试题解析：（1）连接 ah，如图 1，bc，即可 四边形 obfc 是平行四边形， bh=hc= bc，oh=hf， abc 是等边三角形， ab=bc，ahbc，在 abh 中，ah2=ab2bh2， ah=bc， oa=ae，oh=hf， ah oef 的中位线， ah= ef，ah ef， efbc，bc= ef， efbc，ef=bc；（2）efbc 仍然成立，ef=bc，如图 2， 四边

43、形 obfc 是平行四边形， bh=hc= bc，oh=hf， abc 是等腰三角形， ab= bc，ahbc，在 abh 中，ah2=ab 2bh2=（ ah=bh= bc， oa=ae，oh=hf， ah oef 的中位线， ah= ef，ah ef， efbc， bc= ef， efbc，ef=bc；（3）如图 3，bh）2bh2=bh2， 四边形 obfc 是平行四边形， bh=hc= bc，oh=hf， abc 是等腰三角形， ab=kbc，ahbc，在 abh 中，ah2=ab 2bh2=（kbc）2（ bc ah=bh= bc， oa=ae，oh=hf， ah oef 的中位线， ah= ef，ah ef，）2=（k2- ）bc2， efbc，bc= ef， ef= bc考点：四边形综合题14已知一次函数 y= x+3 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 a、b 两点，以线段 ab 为直角边在第二象限内左等腰直角三角形 abc， bac=90，如图 1 所示（1）填空：ab=，bc=（2） abc 绕点 b 逆时针旋转，1