控制工程基础答案

1、控制工程基础第 2 章答案第 2 章系统的数学模型 （ 习题答案 ）2.1 什么是系统的数学模型？常用的数学模型有哪些？ 解：数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、 特性、输出与输入关系的数学表达式。常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间 模型等。2.2 什么是线性系统？其最重要的特性是什么？ 解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的一个最重要的特性就是 它满足叠加原理。2.3 图（ 题 2.3） 中三图分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程 , 图中 xi 表示 输入位移 , xo 表示输出位移 , 假设输出端无负载效应。题

2、图 2.3解：图 （a）：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得整理得将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得于是传递函数为图 (b) ：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点 A，并设 A 点位移为 x，方向朝下； 而在其下半部工。引出点处取为辅助点 B。则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从 A 和 B 两点可以分别列出如下原始方程：消去中间变量 x，可得系统微分方程对上式取拉氏变换，并记其初始条件为零，得系统传递函数为图 (c)：以 的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：移项整理得系统微分方程对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即则系统传递函

3、数为2.4 试建立下图(题图 2.4)所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点， 其中电压 ur(t)和位移 xr (t)为输入量；电压 uc (t )和位移 xc (t )为输出量； k,k1和 k2为弹簧弹性系数； f 为阻尼系数。CR1xr(t)ur(t)R2(c)uc(t)xc(t)(b)题图 2.4解】： (a)方法一：设回路电流为i ，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组：ur1iucCRidtuc消去中间变量，整理得：RCducdtucRCdur dt方法二：Uc(s)Ur(s)RR1CsRCsRCs 1RCducdtRCdur dt(b)由于无质量，各受力点任何时刻均

4、满足0，则有：f(ddxtrddxtc ) kxcf dxc k dtxcf dxr k dt1(c) Uc(s)2 Cs(c) U rc(s) R R Cs1R1 R2CsR2R2Cs 1R1 R2 Cs 1duc(R1 R2 )C dtucR2Cdurdt ur(d) 设阻尼器输入位移为 xa ，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程k1(xr xc) k2(xc xa)k2(xr xa)f dxadtk1 k2 f dxck1k2 dtxcf dxr k2 dtxr结论： (a)、 (b) 互为相似系统， (c)、(d) 互为相似系统。四个系统均为一阶系统2.5 试求下图(题图 2.5)

5、所示各电路的传递函数(a)R1R1C1ur (t)R2C2uc(t)CR2 L) t ( u(b)uc(t)(d)(c)题图 2.5解】：可利用复阻抗的概念及其分压定理直接求传递函数(a)Uc(s)Ur(s)( 1 R2 ) / Ls CsR1 ( 1 R2 )/ Ls2 LCR2s2 2(R1 R2 )LCs2 (R1R2C L)s R1(b)Uc(s)R1 /1C1s2R1R2C1C2s(R1C1R2C2)s 1(c)Ur (s)1(R1 / C11s)R21C2s2R1R2C1C2s(R1C1R2C2R1C2 )sUc(s)Ur(s)1/(R2 Ls)Cs1R1/(R2 Ls)CsR2

6、Ls2R1LCs2 (R1R2C L)s R1 R2(R ) / R(d) Uc(s)Ur (s)C2sC1sR11 111(R )/ R (R )/R RC1sC2sC1sC2sC1s22R2C1C2s2 2RC1s 122R C1C2s (2RC1 RC2 )s 12.6 求图 （ 题图 2.6） 所示两系统的微分方程。题图 2.6解（ 1）对图（ a）所示系统，由牛顿定律有2）对图（ b ）所示系统，由牛顿定律有其中2.7 求图（ 题图2.7） 所示机械系统的微分方程。 图中 M 为输入转矩，Cm为圆周阻尼，J 转动惯量。圆周半径为 R，设系统输入为 M（即 M（t），输出为 （即 ），

7、题图 2.7解：分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：消除中间变量 x，即可得到系统动力学方程+k(c )2.8 求图( 题图 2.8) 所示系统的传递函数( f(t)为输入， y2(t)为输出)解分别对 ， 进行受力分析，列写其动力学方程有对上两式分别进行拉氏变换有消除 得2.9 若系统传递函数方框图如图 (题图 2.9) 所示 , 求：(1) 以R(s)为输入，当 N(s) = 0 时，分别以 C(s)，Y(s)， B(s)，E(s) 为输出的闭环传递 函数。(2) 以N(s)为输入，当 R(s) = 0 时，分别以 C(s)，Y(s)，B(s)，E(s) 为输出的闭环传递函

8、(3) 比较以上各传递函数的分母，从中可以得出什么结论题图 2.8 题图 2.9 解(1)以 为输入，当 N( )=0 时：若以 C( )为输出，若以 Y( )为输出，有若以 B( )为输出，若以 E( )为输出，有2)以 为输入，当 R( )=0 时：若以 C( )为输出，有若以 Y( )为输出，若以 B( )为输出，若以 E( )为输出，3)从上可知：对于同一个闭环系统，当输入的取法不同时，前向通道的传递函数不同，反馈回路的传递函数不同，系统的传递函数也不同，但系统的传递函数分母保持不 变，这是因为这一分母反映了系统的固有特性，而与外界无关2.10 求出图( 题图2 .10) 所示系统的传

9、递函数 Xo(S)/ Xi(S)题图 2.10H4G4X0(s)解方法一：利用公式（ 2.3.1），可得方法二：利用方框图简化规则，有图（题 2.16.b）2.11 求出图（ 题图2 .11） 所示系统的传递函数 Xo（S）/ Xi（S）解根据方框图简化的规则，有图（题 2.17.b）题图 2.11Xi(s)2.12 图（题图2 .12） 所示为一个单轮汽车支撑系统的简化模型。 m1代表汽车质量， B代表振 动阻尼器， K1为弹簧， m2为轮子的质量， K2 为轮胎的弹性，试建立系统的数学模型。题图 2.12问题 2 质点振动系统。这是一个单轮汽车支撑的简化模型。代表汽车质量， B 代表振动阻

10、尼器，系统为弹移系簧，为轮子的质量，为轮胎的弹性，建立质点平统数学模型解答：拉氏变换：2.13 液压阻尼器原理如图 （题图 2.13）所示。其中，弹簧与活塞刚性联接，忽略运动件的惯性力，且设 xi 为输入位移， xo 为输出位移， k 弹簧刚度， c 为粘性阻尼系数，求输出与输入之间的传递函数。题图 2.13解：1）求系统的传递函数活塞的力平衡方程式为经拉氏变换后有解得传递函数为kxo (t)dc xi (t) dtxo(t)kXo(s)csXi (s)Xo(s)G(s)Xo(s)TsXi (s)Ts 1式中， T RC 为时间常数2.14 由运算放大器组成的控制系统模拟电路图如图（ 题图 2

11、.14）所示，试求闭环传递函数Uc（s）/Ur （s）C1题图 2.14解：式（ 1）（2）（ 3）左右两边分别相乘得即所以：2.15 某位置随动系统原理方块图如图(题图 2.15)所示 。已知电位 器最大 工作角 度max 3300 ，功率放大级放大系数为 K3 ，要求：(1) 分别求出电位器传递系数 K 0 、第一级和第二级放大器的比例系数 K1和 K2；(2) 画出系统结构图；(3) 简化结构图，求系统传递函数 o(s)/ i(s) ；题图 2.15 位置随动系统原理图解：(1)=3 =2(2)系统结构图如下：3)系统传递函数2.16 设直流电动机双闭环调速系统的原理图如图 (题图 2.16)所示，要求：(1)分别求速度调节器和电流调节器的传递函数；(2)画出系统结构图(设可控电路传递函数为 K2/( 3s 1) ；电流互感器和测速发电机的 传递函数分别为 K4和 K5)；(3)简化系统结构图，求系统