2019高考数学(文科)一轮复习 第三单元 基本初等函数(Ⅰ)

1、第三单元基本初等函数()考点一 化简求值类1.(2017 年北京卷)根据有关资料 ,围棋状态空间复杂度的上限 m约为 3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数 n 约为 1080.则下列各数中与(参考数据:lg30.48)最接近的是( ).a.1033b.1053c.1073d.1093【解析】由题意得,lg =lg=lg3361-lg1080=361lg3-80lg103610.48-801=93.28.又 lg1033= 33,lg1053= 53,lg1073= 73,lg1093= 93, 故与 最接近的是 1093.故选 d .【答案】d2.(2015 年浙江卷)若 a=log3,

2、则 2a+ 42-a= .【解析】a=log3=4lo 3= log3=2log2,2a+2-a= +-= + = + = .【答案】3.(2015 年山东卷)已知函数 f(x)=ax+b (a0,a1)的定义域和值域都是-1,0,则 a+b= .【解析】当 a1 时,函数 f(x)=ax+b在-1,0上为增函数,由题意得-无解.当 0ab1,0c1,则( ).a.acb cb.abcbacc.alogcbblogcad.logcb1,0cb c,选项 a 不正确.y=x,(-1,0)在(0,+)上是减函数,当 ab1,0c1,即-1c-10 时,ac-1bac,选项 b 不正确.ab 1,l

3、galgb0,algablgb0, .又0c1,lgc0. ,alogc logc,选项 d 不正确.a b【答案】c5.(2017 年天津卷)已知奇函数 f(x)在 r 上是增函数,g(x)=xf(x).若 a=g(-log5.1),b=g2关系为( ).(20.8),c=g(3),则 a,b,c 的大小a. abcb. cbac. bacd. bca【解析】a=g(-log5.1)=2(-log5.1)f(-log5.1)=2 2log5.1f(log5.1)=g 2 2(log5.1). 2已知 f(x)在 r 上是增函数,可设 0x 则 f(x )f(x ).1 2从而 x f(x )

4、x f(x ),即 g(x )g (x ). 1 1 2 2 1 2所以 g(x)在(0,+ )上也为增函数.20,20.80,30,且 log5.12log8=23,20.8213,20.821=log4 log5.1 220.80,所以 cab.-故选 c .【答案】c6.(2017 年全国卷)设 x,y,z为正数,且 2x=3y=5z,则( ).a.2x3y5zb.5z2x3yc.3y5z2xd.3y2x1,则 x=logt=2,同理,y=,z= .2x-3y= -=2x-3y.= 0,又2x-5z=-=- =0,-2x5z,3y2x 0.若存在实数 b,使得关于 x 的方程 f(x)=

5、b 有三个不同的根,则 m 的取值范围是【解析】.作出 f(x)的图象如图所示.当 xm 时,x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m 2,要使方程 f(x)=b 有三个不同的根,则有 4m-m20.又 m0,解得 m3.【答案】(3,+ )高频考点:二次函数、指数函数、对数函数的图象和性质及其应用,关于指数函数、对数函数的复合函 数,特别是涉及指数函数、对数函数、幂函数有关知识的大小关系的比较.命题特点:以选择题、填空题的形式考查,题目注重基础.3.1二次函数与幂函数一二次函数1.二次函数解析式的三种形式一般式:f(x)=(a0).顶点式:f(x)=a (x-h)2+k (a0),顶点坐标

6、为.两根式(交点式):f(x)=a(x-x)(x-x)(a0),x ,x 分别为 f(x)= 0 的两个实根.(函数对应的方程1 2 1 2有实根的情况)2.二次函数的图象与性质函数y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0 时,幂函数 y=x在(0,+ )上是增函数.已知幂函数 f(x)=x 的图象过点(4,2),若 f(m )= 3,则实数 m 的值为 2.( )( )3函数 y=的大致图象是( ).4已知函数 f(x)=ax2+x+5 的图象在 x轴上方,则 a的取值范围是.5幂函数 y=-(m z)的图象如图所示,则 m 的值为.知识清单1、 1.ax2+bx+c2、 1.

7、y=x基础训练(h,k)1.【解析】(1)错误,当 b=0 时,二次函数 y=ax2+c(xr)是偶函数.(2)错误,因为 xa,b,所以该函数的最值也可能在端点处取得. (3)错误,当 0 时,幂函数 y=x在(0,+ )上是增函数.【答案】(1) (2) (3) (4)2.【解析】由已知得 2=4,则 =,所以 f(m )= =3,解得 m=9.【答案】93.【解析】取值验证可知,函数 y=【答案】b的大致图象是选项 b 中的图象.4.【解析】因为 f(x)=ax2+x+5 的图象在 x轴上方,所以 =1-20a0,解得 a .【答案】5.【解析】y=-(m z)的图象与坐标轴没有交点,m

8、2-4m0,即 0m4.又该函数的图象关于 y 轴对称,且 m z,m 【答案】22-4m为偶数,m= 2.题型一 二次函数的图象与性质【例 1】已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x-4,6.(1)若 y=f(x)在-4,6上是单调函数 ,求实数 a 的取值范围; (2)当 a=-1 时,求 f(|x|)的单调区间.【解析】(1)函数 f(x)=x2+2ax+3 的图象的对称轴为直线 x=- =-a,f(x)在-4,6上为单调函数,-a-4 或-a6,解得 a4 或 a-6.故实数 a 的取值范围是(-,-64,+ ).(2)当 a=-1 时,f(|x|)=x=- -2-2|x|+3其图象

9、如图所示.又x-4,6,f(|x|)的单调递减区间是 -4,-1)和0,1),单调递增区间是-1,0)和1,6.解决二次函数的图象与性质的问题,关键是充分利用图象的对称轴及图象与坐标轴的交点.【变式训练 1】函数 f(x)=ax2+(a-3)x+1 在-1,+ )上单调递减,则实数 a的取值范围是( ).a.-3,0) b.(-,-3 c.-2,0 d.-3,0【解析】当 a=0 时,f(x)=-3x+1,它在-1,+ )上单调递减,满足题意;当 a0 时,f(x)图象的对称轴为直线 x=由 f(x)在-1,+ )上单调递减,知,解得-3a0.综上可知,实数 a 的取值范围是-3,0,故选 d

10、 . 【答案】d题型二 二次函数最值的求法【例 2】已知 m r,函数 f(x)=-x2+ (3-2m )x+ 2+m.(1) 若 0m ,求|f(x)|在-1,1上的最大值 g(m );(2) 对任意的 m (0,1,若 f(x)在0,m 上的最大值为 h(m ),求 h(m ).【解析】(1)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=,0 0,g(m )= 4-m.(2)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=,且函数图象开口向下.m (0,1, 0.当m,即 m1 时,h(m)=f =m 2-2m+;当 m,即 0m时,h(m )=f(m )=-3m2+4m+2.h(m)=-解决二次函数最值问

11、题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”是指区间的两个端点和中点,“一 轴”指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.【变式训练 2】已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a在0,1上的最大值为 2,求 a的值.【解析】函数 f(x)=-(x-a)2+a2-a+1 的图象的对称轴为直线 x=a,且开口向下,分三种情况讨论:当 a0 时,函数 f(x)=-x2+ 2ax+1-a在0,1上是减函数,f(x) =f(0)= 1-a,由 1-a=2,得 a=-1;max当 0a 1 时,函数 f(x)=-x2+2ax+1-a在0,a上是增函数,在a,1上是减函数 ,f(x)m

12、ax=f(a)=a2-a+1,由 a2-a+1=2,解得 a=或 a=,0a 1,两个值都不满足,舍去;当 a1 时,函数 f(x)=-x2+2ax+1-a在0,1上是增函数,f(x)max=f(1)=a,a=2.综上可知,a=-1 或 a=2.题型三 幂函数的图象和性质【例 3】已知幂函数 y=x3m- 9(m n*)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+ )上函数值随着 x 的增大而减小,则满足(a+1-(3-2a-的实数 a 的取值范围为.-【解析】由题意可知该幂函数在(0,+ )上单调递减,因此 3m-90,即 m3,又 mn*,故 m= 1 或 m= 2.由函数 y=x3m-9的图象关

13、于 y 轴对称,得 3m- 9 为偶数,所以 m= 1,故(a+1- 3-2a0 或 3-2aa+ 1 0 或 a+1 0 3-2a,解得【答案】 (-,-1)a或 a0;若幂函数 y=xa在(0,+ )上单调递减,则 a0.【变式训练 3】已知幂函数 f(x)=(n2+2n-2)-(nz)在(0,+ )上是减函数,则 n 的值为( ).a.-3 b.1 c.2 d.1 或 2【解析】因为 f(x)为幂函数,所以 n2+ 2n-2= 1,解得 n= 1 或 n=-3.当 n= 1 时,f(x)=x-2=,它在(0,+ )上是减函数.当 n=-3 时,f(x)=x 18,它在(0,+ )上是增函

14、数. 所以 n= 1 符合题意,故选 b .【答案】b方法一 利用待定系数法求二次函数的解析式根据已知条件确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,但所给条件不同,选取的求解方法也不同,选 择规律如下:【突破训练 1】已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值是 8,试确定此二次函数的解析式.【解析】设 f(x)=ax2+bx+c(a0),由题意得-解得-故所求二次函数的解析式为 f(x)=-4x2+4x+7.方法二 分类讨论思想在求解含参数的二次函数的最值问题中的应用二次函数在某个区间上的最值问题的处理,常常要利用数形结合思想和分类讨论思想,若二次函数的

15、表 达式中含有参数或所给区间是变化的,则需要观察二次函数的图象特征(开口方向、对称轴与该区间的位置 关系),抓住顶点的横坐标是否属于该区间,结合函数的单调性进行分类讨论.【突破训练 2】已知函数 f(x)=x2+mx+3,x-1,5,求 f(x)的最小值.【解析】函数 f(x)= +3-(x-1,5)的图象关于直线 x=- 对称.当-1,即 m 2 时,f(x)在-1,5上为增函数,f(x)min=f(-1)=1-m+3=4-m.当-1-5,即-10m5,即 m-10 时,f(x)在-1,5上为减函数,f(x)min=f(5)=25+5m+3=28+5m.综上可知,当 m 2 时,f(x)mi

16、n=4-m;当-10m 2 时,f(x) =min3-;当 mbc且 a+b+c=0,则它的图象可能是 ( ).【解析】由 a+b+c=0,abc知 a0,c0,排除 a ,c.又因为 f(0)=c0,所以排除 b ,故选 d.【答案】d4.(2017 浙江湖州模拟)如果函数 f(x)=x 2+bx+c对任意的实数 x,都有 f(1+x)=f(-x),那么( ).ac.f(-2)f(0)f(2) b.f(2)f(0)f(-2) d.f(0)f(-2)f(2).f(0)f(2)f(-2)【解析】由 f(1+x)=f(-x)知 f(x)的图象关于直线 x=对称.又因为抛物线 y=f(x)开口向上,

17、所以结合图象(图略)可知,f(0)f(2)0,若函数 y=,当 xa,2a时,y 的取值范围为 ,则 a 的值为( ).a .2 b .4 c .6 d .8【解析】由题意知【答案】b解得 a=4.10.(2017 广东揭阳第二次月考)若函数 f(x)=x 2+a|x|+a(xr)在3,+ )和-2,-1上均为增函数,则实数 a 值范围是( ).a . - - b .-6,-4的取c.-3,-2 d.-4,-3【解析】f(-x)=x2+a|x|+a=f(x),f(x)在 r 上是偶函数.由函数 f(x)在3,+ )和-2,-1上均为增函数,可知 f(x)在1,2上是减函数,只需-【答案】b2,

18、3,解得-6a-4,故选 b.11.(2017 江西九江一中期中)函数 f(x)=(m 2-m-1)- -是幂函数,对任意的 x ,x (0,+ )且 x x1 2 1 2满足-0,若 a,br,且 a+b 0,ab0,满足题意;当 m=- 1 时,指数 4(-1)9-(-1)5-1=-4 0,a-b.又 ab0,不妨设 b-b0,f(a)f(-b) 0.又 f(-b)=-f(b),f(a)-f(b),f(a)+f(b) 0. 故选 a .【答案】a12.(河南南阳一中 2018 届月考)已知 f(x)=1+2x-x2,则 g(x)=f(f(x)( ).ac.在(-2,1)上单调递增 b.在(

19、-1,1)上单调递增 d.在(0,2)上单调递增.在(1,2)上单调递增【解析】令 t=f(x),则 g(x)=f(t).当 x(-2,1)时,f(x)在(-2,1)上单调递增,t(-7,2),此时 f(t)在(-7,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,所以 g(x) 在(-2,1)上不是单调函数,a 错误;当 x(0,2)时,t(1,2)且 f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,f(t)在(1,2)上单调递减,所以 g(x)在 (0,2)上不是单调函数,b 错误;当 x(-1,1)时,f(x)在(-1,1)上单调递增,t(-2,2),此时 f(t)在(-2,1)上单调递

20、增,在(1,2)上单调递减,所以 g(x) 在(-1,1)上不是单调函数,c 错误;当 x(1,2)时,t(1,2)且 f(x)在(1,2)上单调递减,f(t)在(1,2)上也单调递减,所以 g(x)在(1,2)上单调递增,d 正确.【答案】d13.(保定市涞水中学 2018 届第一次调研 )若函数 f(x)=(x-a)(x+3)为偶函数,则 f(2)= .【解析】因为函数 f(x)=xr,f(-x)=f(x), 所以(x-a)(x+3)是偶函数,即(-x-a)(-x+3)= (x-a)(x+ 3),即 x2+(a-3)x-3a=x2-(a-3)x-3a,解得 a=3,所以 f(2)= (2-

21、3)(2+ 3)=-5. 【答案】-514.(2017 江苏南京模拟)直线 l:x+y-3=0 与 x轴、y轴的交点分别为 a、b,幂函数 y=f(x)的图象经过点(2,4),若点 p 在 y=f(x)的图象上,且abp 的面积等于 3,则所有满足要求的点 p 的横坐标的和为.【解析】由已知得点 a(3,0),b(0,3),则|ab|=3.设幂函数 f(x)=x a,2.将点(2,4)代入上式得 a=2,f(x)=x设点 p (x,x2),则点 p 到直线 l的距离 d=-.abp= 3-=3,x2+x-3= 2,即 x2+x-5= 0 或 x2+x-1= 0.由方程可知这样的点 p 有四个,

22、其横坐标的和为-1-1=-2. 【答案】-23.2指数与指数函数一分数指数幂1.规定:正数的正分数指数幂的意义是=(a 0,m ,nn ,且 n 1);正数的负分数指数+幂的意义是-=(a 0,m ,nn ,且 n 1);0 的正分数指数幂等于 ;0 的负分数指数+幂.2.有理数指数幂的运算性质(1)aras=(a0,r,sq);(2)(ar)s=(a0,r,sq);(3)(ab)r=(a0,b 0,rq).二指数函数的图象与性质y=axa1 0acbb.cabc.abcd.bac4计算:- -+ -= .5若指数函数 y= (2-a)x 在定义域内是减函数,则 a 的取值范围是.6设 x+x

23、-1= 3,则 x2+x -2的值为.知识清单一、1.0 没有意义2.(1)ar+s(2)ars(3)arbr二、r (0,+ ) (0,1) 1 减函数基础训练1.【解析】(1)错误,当 n 是偶数时结论不成立.(2)错误,应为(-1= =1.(3)错误,当 a1 时,函数 y=a-x是 r 上的减函数. 【答案】(1) (2) (3)2.【解析】由-得所以函数 f(x)的图象恒过定点 a (2,3).【答案】b3.【解析】因为 a=22.51,b=2.50=1,c=bc.【答案】c4.【解析】原式= +【答案】22- =2.5.【解析】因为 y=(2-a)x在定义域内是减函数,所以 0 2

24、-a1,解得 1a 2.【答案】(1,2)6.【解析】因为 x+x-1= 3,所以 x2+x -2= (x+x-1)2-2= 7. 【答案】7题型一 指数幂的运算【例 1】化简下列各式:(1)(0.06 )-2.5- -0;(2)- .【解析】(1)原式=- -1=- -1= - -1=0.(2)原式=-=(-2 ) =a =a2.-指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,然后根据法则计算,注意运算顺序. 【变式训练 1】化简下列各式:(1)+2-2 -(0.01) .5;(2) b-2(-3 b-1)(4b-3.【解析】(1)原式=1+ - = 1+ - = 1+ - = .(2

25、)原式=- b-3(4b-3=- b-3(2-)=-=- .题型二 指数函数的图象及其应用【例 2】(1)已知实数 a,b 满足等式 2017a=2018b,给出下列五个关系式:0ba ;ab 0;0ab ;ba 0;a=b.其中不可能成立的关系式有 ( ).a.1 个 b.2 个 c.3 个 d.4 个(2)已知函数 f(x)=| 2x-1|,abf(c)f(b),则下列结论中,一定成立的是( ).a.a0,b0,c0b.a0c .2-a 2c【解析】(1)d .2a+ 2c 2如图,观察易知 a,b 的关系为 ab 0 或 0ba 或 a=b= 0,不可能成立的关系式的个数是 2,故选 b

26、 .(2)作出函数 f(x)=| 2x-1|的图象,如图.x-babf(c)f(b),结合图象知,0f(a)1,a0,0cf(c),1-2a2c-1,2a+2c1,b1,b00c.0a0d .0a 1,b 0【解析】由图象可得函数 f(x)=a x-b在定义域上单调递减,所以 0a 1.函数 f(x)=a的图象是由函数f(x)=ax的图象向左平移得到的 ,所以 b 0.【答案】d题型三 指数函数的性质及其应用【例 3】已知函数 f(x)=-.(1) 若 f(x)有最大值 3,求 a 的值;(2) 若 f(x)的值域是(0,+ ),求不等式 f(x)-的解集.【解析】令 g(x)=ax2-4x+

27、3,则 f(x)= .(1)因为 f(x)有最大值 3,所以 g(x)应有最小值-1,因此必有-解得 a=1,即当 f(x)有最大值 3 时,a 的值为 1.(2)由指数函数的性质知,要使 f(x)=的值域为(0,+ ),应使 g(x)=ax2-4x+3 的值域为 r,因此只能a=0(因为若 a0,则 g(x)为二次函数 ,其值域不可能为 r).所以原不等式化为-,即 x2-2x-4x+3,解得-3x1.故所求不等式的解集为x|-3x 1.73b .0.6-1 0.62c.0.8-0.11.250.2 d.1.70.3 0 时,f(x)= 1-2-x,则不等式 f(x) 0.62.(2)由 1

28、-2-x ,得 2-x 1.因为 f(x)是定义在 r 上的奇函数,所以 f(x)- 的解集是(-,-1).【答案】(1)b (2)(-,-1)方法一 利用换元法解决有关指数函数的问题【突破训练 1】函数 y= - + 1 在-3,2上的值域是.【解析】令 t=,则 t ,故 y=t2-t+1=-+ .当 t= 时,y = ;当 t=8 时,y min max= 57.故所求函数的值域为【答案】.方法二 数形结合思想在解题中的应用【突破训练 2】已知 x2-ax0 且 a1)对任意的 x(-1,1)恒成立,求实数 a 的取值范围.【解析】由已知得 x2- 1 时,在(-1,1)上,要使 y =

29、ax2的图象落在 y =x 2-1的图象的上方,则 a-1 ,解得 a2,1a2.当 0a 1 时,在(-1,1)上,要使 y =ax 的图象落在 y =x 2-2 1综上可知,实数 a 的取值范围是 (1,2.的图象的上方,则 a , a0,将表示成分数指数幂的形式,其结果是( ).a.b .c .d .【解析】=-=,故选 c .【答案】c2.(教材改编)已知函数 f(x)=3x-b(2x4,b 为常数)的图象经过点(2,1),则 f(x)的值域为( ).a.9,81 b.3,9 c.1,9 d.1,+ )【解析】由 f(x)的图象经过点(2,1)可知 b=2,因为 f(x)=3x-2在2,4上是增函数,所以f(x)min=f(2)=1,f(x) max=f(4)=9.故 f(x)的值域为1,9.【答案】c3.(2017 徐汇区校级模拟)已知函数 f(x)=ax+a -x,且 f(1)= 3,则 f(0)+f(1)+f(2)的值是( ).a.14 b.13 c.12 d.11【解析】因为 f(1)=a+ =3,所以 f(2)=a2+a-2= -2=7,f(0)=1+1=2,所以 f(0)+f(1)+f(2)=2+3+7=12,故选 c .【答案】c4.(2017 湖南益阳六中模拟)若 0a0,且 ab+a -b=2 ,则 ab-a-b等于( ).a.b.-2 或